《勾股定理》典型练习题83618

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（

3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，

25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探

索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）

A. S 1- S 2= S 3

B. S 1+ S 2= S 3

C. S 2+S 3< S 1

D. S 2- S 3=S 1

S 3

S 2S 1

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S

、、

12、，则+++=_____________。

S S S S S S

341234

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）

A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍

5、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1

n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）

A、2n

B、n+1

C、n2－1

D、1

n2+

7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

A. 222

c b a

+= C. 222

+= D.以上都有可能+= B. 222

a c b

a b c

8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）

A、242

c m D、602

c m

c m B、36 2

c m C、482

9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5

B、25

C、7

D、15

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A. 4，5，6

B. 2，3，4

C. 11，12，13

D. 8，15，17

2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）

A、2∶3∶4

B、3∶4∶6

C、5∶12∶13

D、4∶6∶7

3、下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

，则这个三角形一定是（）

4、若三角形的三边之比为

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.不等边三角形

5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222

+++=++，试判断△ABC的形

a b c20012a16b20c

状。

8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。

例3：求

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。

（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，

A

C

B

你能帮他算出来吗

2、一架长m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离

墙底m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑m，那么梯子底端将向左滑动米

3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端

距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，

梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，

或“小于”）

4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；?另外一只爬到树顶D处后直

8

6

C

A D

B

接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .

6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟

从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．

7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在

A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍

后又往西走3km ，再折向北方走到5km

处往东一拐，第5题图7

第6题图

153

2

8B

A

仅1km ?就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少

考点七：折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A. 425

B. 322

C. 47

D. 35

2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC ?于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．

3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,A B C

E D

求CF 和EC 。

4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一

点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，

设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED

的面积 D C B A F E

5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少

6、如图，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点A B

C

E

F D

F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在

C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，重合部分△EBD的面积为

________．

9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折

叠，使C点与A点重合，?则折叠后痕迹EF的长为（）

A． B． C． D．

2-5

11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD 上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm 若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段

EF的长。

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪

声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为

18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒

考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

2、最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 2、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

考点九、图形问题

1、如图1，求该四边形的面积

2、如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC A B

C

D

E

F G 4

31213

D

的长为．

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方

形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=ｍ，ＢＣ=2ｍ,

现有一辆装满货物的卡车,高为ｍ,宽为ｍ,问这辆卡车

能否通过公司的大门并说明你的理由

.

4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的

圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。

5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA?垂直AB于A，CB 垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处

考点十：其他图形与直角三角形

如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

考点十一：与展开图有关的计算

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

B 2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

A

3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合

架设一条线路，他们设计了

四种架设方案，如图实线部

分．请你帮助计算一下，哪

种架设方案最省电线．

考点十二、航海问题

1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距________海里．

2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M 处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险试说明理由。

3、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该

市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险

考点十三、网格问题

1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 D B C

A

2、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.以上答案都不对

3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )

A ． 25 B. C. 9 D.

B C A A B C

C

（图1） （图2） （图3）

4

、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

①使三角形的三边长分别为3

；

②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

甲

乙

课后练习

一、填空题（每题3分，共24分）

1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.不能确定

2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ）

3．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ）

C.427

D.3

16 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） 或32 或 33

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