第3章线性系统的时域分析法

第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
2014年11月
自动控制原理

第三章 线性系统的时域分析法?
分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控 制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法 等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时 域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析 的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方 法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定 的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件 变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特 性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以 采用试验信号来评价系统性能是合理的。自动控制原理
?
?
?
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第一节 典型输入函数和时域性能指标一、典型输入信号 Typical input signals单位阶跃函数（Unit Step function） 1 ( t ) , t ≥ 0 阶跃函数u(t) = U 0
{
t≥0 t<0
1 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。 X r (s) = 室温调节系统和水位调节系统 s 1 单位斜坡函数（Unit X r (s) = 2 t , t ≥0 Ramp function） 速度 s
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化 u(t) = Ut 0 的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 单位加速度函数（Unit Acceleration function）抛物线1 2 t , t ≥0 22014年11月
{
t≥0 t<0
1 X r ( s) = 3 s
自动控制原理
?1 ? 2 Ut ? u (t) = ? ? 0 ? ?
2
t ≥ 0 t < 0

（单位）冲激函数（Impulse function） δ (t ) , t = 0
X r ( s) = 1
? ? ? ? ?
u (t) = U δ (t) = ∞ 0 +∞ ∫?∞ u (t)dt = U
{
t=0 t≠0
正弦函数（Simusoidal function），当输入作用具有周期性 变化时。
u(t) = Asin ωtAω s2 + ω2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统 一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨 论系统对非周期信号（Step、Ramp)的响应。对正弦试验信 号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论
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图形u(t) U u(t) U
0
t
0
t
u(t)U 2
u(t)
0
1
t
0
t
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自动控制原理

二、时域性能指标一、对控制性能的要求 1、系统应是稳定的
稳 准 快
2、系统达到稳定时，应满足给定的 稳态误差的要求 3、系统在暂态过程中应满足暂态品 质的要求
规定时域性能指标通常是以零初始条件下的单位 阶跃响应曲线为依据的。
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暂态（动态）性能指标
c(t)超调量 误差带
1延迟时间 t d ：?
1 0.5 0 td tr tp t
（Delay Time） 响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。 （Rise Time）响 应曲线第一次达 到稳态值所需的 时间。上升时间 越短，响应速度 越快
2上升时间 t r :?
ts
（Peak Time）：响 应曲线第一次达到峰值所需的时间2014年11月 自动控制原理
3峰值时间
tp

暂态（动态）性能指标
④调节时间 t s ：（Settling Time） 响应曲线与响应稳态 值的偏差达到允 许范围（一般取 稳态值的或）以 后不再超出这个 范围所需的最短 时间。
c(t)超调量 误差带
1 0.5 0tr或
⑤最大超调量?
td tr tp
ts
t
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 σ % = c(t p ) ? c(∞) ×100% c (∞ ) σ % 评价系统的阻尼程度。2014年11月 自动控制原理
ts
tp
评价系统的响应速度；
（Maximum Overshoot）：响 应曲线首次达到 的峰值超过稳态 值的百分数为超 调量。 即

稳态性能指标（准确性） z用稳态误差来表示。当 t → ∞ 时，输出响应期望 的理论值与实际值之差称为稳态误差。
?ess
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3.2 一阶系统的暂态响应 ? 用一阶微分方程描述的控制系 统称为一阶系统。 R duc (t ) duc + uc (t ) = r(t ) + + RC + uc = r(t ) T dt dt c(t) r(t)i(t) C （ a） 电 路 图
1 C (s) U C (s) = = T (s) = R( s) R( s ) Ts + 1K0 1 s = = K0 s + K0 Ts + 1 1+ s C(s) K T(s) = = R(s) Ts + 1C(s) = T(s) = R(s) K0
R(s)
K0
C(s)
?
s
R(s)（ c） 等 效 方 块 图2014年11月
C(s)
K为闭环放大系数；T为一阶 惯性时间常数。自动控制原理

一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
1 1 1 T C (s) = T (s)R (s) = ? = ? Ts + 1 s s Ts + 1
c (t ) = 1 ? ec(t)10.632 63.2%
?
t T
t≥0
c(t)=1-e
由于c(t)的终值为1，因 而系统单位阶跃输入时 的稳态误差为零。 动态性能指标：
t r = 2.20T t s = 3Tt
98.2%
86.5%
99.3%
95%
(5%误差带）
0
T
2T
3T
4T
5T
σ％不存在1 T
图 3-4指 数 响 应 曲 线2014年11月 自动控制原理

一阶系统的单位冲激响应1 C(s) = T(s)R(s) = (Ts + 1)c(t) = 1 Tt ? e T
c(t) 1 T 0.386 1 T 1 T t
t≥0
e
?
t T
称为一阶系统响应的自然模式
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例 试求该系统单位阶跃响应的调节时间。如果要求 ts<0.1 , 试 问系统的反馈系数应取何值？ 求闭环传递函数，将其化成
K Ts + 1 ? t s = 3T , t s = 4 T ,
-
100 s
T=
G B (s) =
C (s) 100 = R (s) s + 1 0 0 ? 0 .1
0.1图3-9 一阶系统的结构图
10 0 .1 s + 1
T = 0.1
? t s = 3T = 0.3(5%)2014年11月 自动控制原理

2、求 ts<0.1 时的反馈系数值
100 C (s) = G TB ( s ) = R ( s ) s + 100 ? K t1 = Kt
0 .0 1 s +1 Kt
0.01 ? t = 3T T = s ? Kt
? ts = 0.03
Kt
≤ 0.1
? Kt ≥ 0.3
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第三节 二阶系统的暂态分析二阶系统的研究具有重要的意义: 1）、二阶系统较为常见； 2）、高阶系统在一定条件下与二阶系统的响应性能近似，可 以按照满足近似条件的二阶系统的响应性能来分析和设计高 阶系统。 R(s) C(s) 一、二阶系统的数学模型 开环传递函数 闭环传递函数T(s) =G(s) = K s(Ts + 1)
?
K s(Ts + 1)
开环放大倍数：K
闭环放大倍数：1? 2 K ? ωn = T ? 1 ? 2 ζω n = T ?
G(s) K = 2 = 1 + G(s) Ts + s + K s2
K T 1 K + s+ T T
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T(s) =ωn =
ω2 n s 2 + 2ζωn s + ω2 nK T
二阶系统闭环传函的标准形式ζ= 1 2 KT
无阻尼自然振荡角频率
阻尼比
二、二阶系统的阶跃响应与时域性能指标闭环传递函数的分母多项式称为二阶系统的特征多项式 特征多项式等于零的方程称为二阶系统的特征方程； 求解特征方程得到的s值称为二阶系统的特征根。
s
2
2 + 2ζωns + ωn
=0
s1,2 =?ζωn ±ωn ζ2 ?1ω2 n s(s2 + 2ζωns +ω2 n)
单位阶跃响应2014年11月
C(s) = T(s)R(s) =
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1. 无阻尼的情形 ζ = 0闭环传递函数 T ( s ) =C (s ) = ω s2 2 n 2 n
s1,2 = ?ζωn ±ωn ζ 2 ?1 = ± jωn
ω s2
2 n 2 n
+ ω
+ ω
1 1 s ? = ? 2 ? c(t) = 1? cos ωn t s s + ω2 s n
t ≥0
xc(t) c (t)t2014年11月 自动控制原理
特点：等幅振 荡，超调量为 100％，振荡频 ωn 率为自然振荡角 频率 系统不稳定

2. 欠阻尼情形（0 < ζ < 1） s1,2 = ?ζωn ±ωnC(s) = ω2 n s(s 2 + 2ζω n s + ω 2 n)
ζ 2 ?1 = ?ζωn ± jωn 1?ζ 2
? C(s) =
A Bs + c + 2 2 s (s + 2ζω n s + ω n )
ζωn s +ζωn s + 2ζω n 1 1 = ? ? ? C(s) = ? 2 2 2 2 2 s s + 2ζω n s + ω n s (s +ζω ) + (ω 1?ζ ) (s +ζω )2 + (ω 1?ζ2 )2 n n n nc(t) = 1 ? e ?ζωnt (cos 1 ? ζ 2 ωn t + ζ 1? ζ2 sin 1 ? ζ 2 ωn t)
= 1?
1 1?ζ2
e?ζωnt sin(ωdt +θ)
t ≥ 0
ωd = 1?ζ2ωn
(0<ζ<1)
阻尼振荡角频率 二阶系统的阻尼角
1? ζ2 θ = arctan = arccos ζ = arcsin 1 ? ζ 2 ζ2014年11月
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s1,2 = ?ζωn ± jωn 1?ζ 2 = x ± jy
x 2 + y 2 = (ζωn ) 2 + (ωn 1?ζ 2 ) 2
? x 2 + y 2 = ωn 2等阻尼线（等ζ线）
θ = arccos ζ = arcsin 1 ? ζ 2s1 ωn
jωωd ζ3
ζ2
ζ1 ωn3
jωωn1 ζ3 >ζ2 >ζ1 ωn3 >ωn2 >ωn1
θ?ζωn2014年11月
σ0自动控制原理
σωn2
0等自然振荡角频率线

ξ <0
两个正实部的特征根
发散
，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统 ξ = 1 ，为两个相等的根 ξ >1 ，两个不相等的根 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡 ξ =0左 半 平 面 ξ>0
0 <ξ <1
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ<0
0<ξ<1ξ=1 两个相等根
ωd=ωn β0
σξ=0
jωn ξ>1 两个不等根 图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布2014年11月 自动控制原理

2
c(t)ζ=0.1 ζ=0.3 ζ=0.5 ζ=0.6 ζ=0.7 ζ=0.8 ζ=0 ζ=0.2 ζ=0.4
1
ζ=1 ζ=2 ζ=5 ζ=3
0
t
ζ值越小振荡性越强；ζ值越大振荡性越弱
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