食堂就餐问题（数学建模）

学校食堂就餐问题

参赛学院：电子科大成都学院 参赛队号： 参赛队员：曾胜泓

0005

曾传亮 李津源

摘要：

俗话说“民以食为天”，本文针对我校较为突出的用餐供求不平衡现象，运用数学建模的方法建立合理的满意度模型来评价食堂的服务质量，预测师生在三个不同的餐厅就餐的分布规律，建立模型，定量地刻划就餐者在早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日的就餐人数，在建模中整体采用概率统计的思想，在第一问及第二问中设计调查表，进行统计，第一问中收集同学们对食堂评价信息，用模糊数学的方法处理，得到最终的满意度评价，在第二问中，在统计的基础上运用回归方程构建模型，用MATLAB软件计算，计算概率的方法预测人数。在一二问的基础上形成第三问的报告提交后勤部门。

一、问题重述

背景：

我校目前有教职工、师生约16000人，三个食堂，其中正阳，晨曦食堂分布于蓝区，霞光食堂分布于红区且三者间相距较远，学生及食堂作息时间如下

上午7:40 下课 8:15上课 11:00开饭 11:40 下课 下午 5:00 开饭 5:25下课，

教学区分布于蓝区的有东教，西教，实验楼，红区的有二教，由于学校园区设施规划设计及食堂与学生作息时间存在的不合理性，以及学校各部门沟通不够，导致有时食堂米饭准备过多而倒掉浪费，中午下课的学生因开饭过早而吃不到可口饭菜，在老师来校监考期间，米饭准备又过少，急需一种有效地就餐者量化预测方法来解决这种不平衡的供求关系。 问题：

1、 运用数学建模的方法建立师生就餐满意度模型，评价食堂的服

务质量

2、 建立模型预测三个食堂就餐人数分布规律，定量刻划 3、 验证模型的实际效果，向后勤管理部门提出合理的建议。

二、问题的分析 对于问题1

建立的满意度模型采用调查的基本方法，根据学校实际情况及方案的可行性基础上确立合理的评价体系，列出详尽的评价指标，评价体系的数据包括受访学生对指标本身的评价还包括受访学生对该指标重要性的评价，指标的评价反应受访学生对食堂的满意度，采用模糊数学的方法根据指标重要性的评价确立各个指标在体系中所占的权重，进而利用指标的评价数据进行科学合理的计算。得到对食堂服务质量合理准确的评价。 对于问题2

建立多元线性回归预测模型，在统计数据的基础上，运用MATLAB软件进行计算，对于预测的研究，采用概率统计的思想来建立模型。 对于问题3

在问题1和2的基础上，根据满意度模型得到的对食堂的满意度评价以及食堂就餐人数的定量刻划，合理的提出相应的建议，改进食堂的服务体系，提高就餐效率，达到双赢的效果。

三、模型假设

1、假设每一个受调查者如实填写调查表。

2、调查人数必定有限，排除极个别的特例对结果的影响。 3、每一个人对不同食堂的评判标准相同。 4、假设红蓝区人数之比为1:1。

四、符号说明

1、j代表食堂编号 正阳为1，晨曦为2，霞光为3； 2、i代表学生编号； 3、k代表指标编号；

4、则由第i个学生对第j个食堂第k项的重要性评分所得对应的绝对权数设为Aijk

5、学生整体对第j 个食堂第k项的重要性评分所得对应的绝对权数设为Ajk，

6、第i个学生对第j个食堂第k项评价指标的重要性评分所得对应的相对权数设为Bijk，

7、学生整体对第j 个食堂第k项的评价指标的重要性评分所得对应的相对权数设为Bjk，

8、第i个学生对第j个食堂的指标评分所得相对应满意度的绝对权

数设为Cij

9、学生整体对第j个食堂的指标评分所得相对应的满意度相对权数设为Cj

10、第i名受访学生对j食堂就餐绝对满意度指标设为Dij； 学生整体对j食堂整体就餐的相对满意度指标设为Dj； 11、第i名受访学生对j食堂的第k项调查项目评分所得对应相对满意度设为Eijk

12、学生整体对j食堂第k项的相对满意度设为Eij；

五、模型的分析及建立 5.1模型一、 评测指标的设计

学生满意测评的指标体系设计是否合理，直接影响到结果的真实性和有用性。结合学生对于食堂服务，价格，环境等方面综合考虑。确定以下7个指标，尽最大可能的充分的代表了学生评价的基本诉求，满足了全面性、重要性、独立性和可操作等原则，我们进行评测指标的绝对权数计算继而得到相对权数，提高满意度模型的精确度，以此来进行模型的分析和建立，并得到如下结果：

编号 指标 1 食堂——宿舍的位置 2 3 4 5 6 7 食堂就餐排队等候时间 饭菜质量 饭菜性价比 食堂餐饮食堂服务食堂餐饮卫生状况 工作人员环境舒适服务态度 度 满意度评分 重要性评分

1、第i名受访学生对j食堂的第k项调查项目满意度评分设为Xijk，0≤Xijk≤10；

2、第i名受访学生对j食堂的第k项调查项目重要性评分设为Yijk，0≤Yijk≤10； 模型求解

在模型中根据调查的数据进行计算，第i个学生对第j个食堂第k项的重要性评分所得对应的绝对权数Aijk= 7Yijk

??=1????????

；

有相对权数与绝对权数的计算方法我们得到学生整体对第j 个食堂第k项的重要性评分所得对应的绝对权数 Ajk=

????=1????????

??

；

根据数据计算第i个学生对第j个食堂第k项评价指标的重要性评分所得对应的相对权数Bijk= 3Aijk

??=1????????

；

则学生整体对第j 个食堂第k项的评价指标的重要性评分所得对应的相对权数Bjk=

????=1B??????

??

；

第i个学生对第j个食堂的指标评分所得相对应满意度的绝对权数是

Cij= 7??=1?????? ×??????,

由绝对权数得学生整体对第j个食堂的指标评分所得相对应的满意度相对权数是Cj=

????=1??????

??

Cij

??=1??????

第i名受访学生对j食堂就餐绝对满意度指标Dij= 3学生整体对j食堂就餐的相对满意度指标Dj=由此得到食堂整体满意度的评分Dj；

????=1D??????/

??

;

在整体满意度的基础上，计算单个指标的满意度评分，更全面的反应食堂的服务质量，根据具体单项的指标评价提出详尽合理的建议，故得到

第i名受访学生对j食堂的第k项调查项目评分所得对应相对满意度Eijk= 3Xijk

??=1??????

; ????=1????????

??

学生整体对j食堂第k项的相对满意度Eij=

建立模型 5.2模型二

；

一．指标的编号在此用U1 ，U2 ，U3 ，U4，U5 ，U6，U7 来表示 在第二个问题的模型建立中我们采用多元线性回归方程来构造模型，假设食堂学生就餐与食堂满意度成正比。 我们可以得到各食堂学生就餐的比例|： Y=（46.7 38.6 48.6）。

由于食堂的满意度指标是在七个指标（U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7）基础上建立的。这七个指标是影响学生就餐比例的因素。对此我们建立多元线性回归模型。即建立学生就餐比例Y与自变量

X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7（这里X为前面所提到的评价指标U）之间的线性关系。

从以往的经验可以知道，X1-X7这7个变量中并不是每一个变量对Y都有显著的影响。从中挑选出对因变量Y显著的自变量X来建立回归模型。变量的选择标准，是把所有对因变量显著的自变量都选入模型，而影响不显著的自变量都不选入模型，从便于应用的角度应使模型中自变量的个数尽可能少。而逐步回归就是一种从众多的自变量中有效的选择重要变量的方法。 由此我们建立回归模型。

对应的多元线性回归预测模型如下：

Y=β0+β1XX1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X4+β6X6+β7X7

自变量X与因变量Y的值如下表： Y 1 正阳 7.8 晨曦 6.7 霞光 7.4

Y由第一问可以求解得到，而X值分别为部分学生分别对三个食堂各个指标进行问卷反馈得到的平均值。

X2 X3 X4 X5 5 X6 X7 X5.8 5.7 6.4 4.7 5.5 6.1 4.9 4.7 5.9 5.2 5.2 5.9 5.8 5.3 5.4 4.9 5.9

调查问卷标见附件。

运用MATLAB软件进行逐步回归并计算线性回归方程： 程序见附件。

程序输入后，得到结果窗口如下：

利用逐步回归得到各食堂就餐人数比例模型为： Y=7.23394X1-8.4145

带入数据，即可得到学生就餐的分布规律。 就餐人数

二．定量的刻画就餐人数。

正阳食堂 5832 晨曦食堂 4786 霞光食堂 5390

由题目条件及结合学校实际情况可知，可近似的看成1—6栋寝室到正阳食堂的距离，7-11栋到晨曦食堂的距离，红区到正阳和霞光的距离相等。上课同学的就餐选择经调查均选择离寝室较的食堂，所以上课和非上课同学的就餐选择可以相等看待。

首先考虑全体学生去食堂吃饭的概率为μ=｛μ

早，

μ

中，

μ晚｝，

然后从当前的位置考虑。住在1-6栋的学生去正阳，晨曦，霞光吃饭的概率分别为η=｛η1，η2，η3｝.7-11栋的学生去正阳，晨曦，霞光吃饭的概率分别为φ=｛φ1，φ2，φ3｝。红区学生去正阳，晨曦，霞光吃饭的概率分别为ψ=｛ψ1，ψ2，ψ3｝。

仅从对食堂满意度评价角度，根据第一问的求解，可知，，某同学去阳，晨曦，霞光吃饭的概率λ=｛λ1，λ2，λ3｝。

λi= 3????

??=1????

，i=1，2，3

其中Ni为食堂i 的综合评价得分。

综合某同学去食堂就餐的概率，寝室的位置，其当前所处的位置以及对各食堂的满意度，该同学去食堂 就餐的概率为

ξ ξ’=｛ ξ ξ

1-6

i=η

i·

λ

i·

i

7-11

i=φλi ，i=1，2，3

i

红区

i=ψi·λ

将三个区的同学在某食堂就餐的概率做统一规划处理。得规划后的概率为：

ξξ=｛ ξ

1-6

i= 3????·????????·????

??????=1????·

7-11i=3

??????=1????·

ξ其中ξ

红区

i= 3????·????

??????=1????·

7-11

1-6

表示1-6栋的同学去食堂i的概率，ξ

红区

表示7-11

栋的同学去食堂i的概率，ξ

就餐人数的定量

表示红区的同学去食堂i的概率。、

根据调查，学校大约有78%的学生去食堂吃早餐，而午餐和

晚餐吃饭的比例大致相同。因此可以把午餐和晚餐人数的定量分析看成整体。

P P=｛P

早

早1?6i

=P1?6

·μ·ξ·μ·ξ

早1?6早

，i=1，2，3

早

P

7?11i早

=P7?11红区

红区i

=P·μ·ξ

7?11早红区

对于正阳食堂吃早饭的都为1-6栋的学生，即 P

早1?6i

=O P=｛ P

早早

1?6i

=P

1?6

·μ·ξ

早1?6

i=1，2，3

对于晨曦食堂吃早饭的都为7-11栋的学生，即 P

早7?11i

=O P= P早早

7?11i

=P

7?11

·μ·ξ

早7?11

i=1，2，3

对于霞光食堂吃早饭的都为红区的学生，即 P

早红区i

=O P=｛P

早早

红区i

=P红区

·μ·ξ

早红区

i=1，2，3

午餐和晚餐

对于午餐和晚餐人数的预测，可以由以下公式得到； P· ξ

1-6

i= 37-11

????·????

??????=1????·

P·ξ=｛ P·ξ

P·ξ

i= 3????·????

??????=1????·

红区i=3

????·????

??????=1????·

*周一至周五就餐人数的预测

对于我校学生而言，周一到周五的就餐人数都大致相等 *周末节假日的就餐人数预测

经调查，周末节假回家或因出校不在学校就餐的人数占40%。 所以周末节假日到各食堂就餐的概率为 ξ’’=ξ’ ×（1-40%）

6. 关于本文建模所得结果形成的报告

长期以来供餐者和就餐者之间存在严重的供需矛盾问题。我们通过进行问卷调查（调查问卷见模型建立与求解），从中抽取部分合格样本统计数据建立合理的数学模型。将每个食堂的各个满意度因素量化提

出食堂的现存问题并给出可行性建议。以减少材料的浪费，提高餐厅的服务质量，工作质量和广大学生的满意度。

食堂的服务包括很多方面，有饭菜的质量还包括服务人员对就餐者和工作的态度等多方面，本次建模考虑到模型的有效性和实用性，选取7个的具有代表性的指标来作为评价系统的基础指标，有第一问的模型，结合满意度的统计调查表，看到食堂的服务有好的地方也有不足的地方，

调查表满意度 食堂——饭菜质量 饭菜性价食堂餐饮宿舍的位比 卫生状况 置 正阳食堂7.9 5.8 4.7 4.9 平均分数 晨曦食堂6.7 5.7 5.1 4.7 平均分数 霞光食堂7.4 6.2 6.1 5.9 平均分数 食堂服务工作人员服务态度 5 4.9 5.9 食堂餐饮环境舒适度 5.2 5.2 5.9 食堂就餐排队等候时间 5.8 5.3 5.5

同学们对饭菜质量的评价还是不错的，在就餐期间工作人员能够及时进行桌面的清理，为学生提供良好的就餐环境。在调查中反应较为多的就是希望增加饭菜的品种，在有关服务态度的打分评价中表现很不好，表现出许多餐厅服务人员的工作态度不够好，有一名同学反应在抱怨米饭质量不好时，遭到工作人员的冷语反驳，希望能够提高餐厅从业人员的自身素质，加强服务培训，对于老师来校监考期间的就餐问题，需要餐厅的负责人加强与学校教务处的交流与沟通一来可以适时的配合学校的某些教务等活动，提供良好的后勤支持，二来可以接收学生对餐厅就餐服务的反应，积极主动的进行自我改善。关于

食堂的就餐排队等候时间，由于早自习下课后不到30分钟时间的就餐时间，加之学校最初建校时的可容纳人数规模与后来扩招之后的差距，造成早晨就餐问题尤为突出，排队人数巨多，而就餐时间又有限，很多学生放弃了早餐，对此希望更多的增加窗口的数量，可以利用二楼的宽广场地开设临时性的窗口来解决这一十分突出的供求问题。

长期以来三大食堂的菜品丰富程度也应有所改进，几乎每天重复相同的种类是很难吸引到学生的，由于食堂的承包化使得饭菜的价格出现极端化，各个食堂饭菜价格不统一，不便于管理。食堂饭菜的质量也存在一定的问题，有时太咸有时又太淡并且有的食堂打饭并不上称，这就完全由打饭人员的主观意识来决定了，而且学校人数众多窗口又很少明显出现供不应求的状态，晨曦和正阳食堂有必要借鉴一下霞光食堂的打饭做法，每一处打菜的地方就可以打饭，这样可以多出很多的打饭地点，不会出现正阳食堂在下课之后排长队的现象。

虽然后勤部门已经实现了社会化化和商业化，但还是缺少竞争机制，并可以让学生对食堂进行定期或不定期的评比活动，评比结果可及时向老师和学生反映，从而建立奖惩制度，进而不断提高学校食堂的服务水平，正阳食堂的学生会监督点形同虚设，不少学生面对不公平的待遇只得忍气吞声。

食堂问题在现代大学中具有重要地位，它直接影响到了学校的正常运行及其以后的发展。学校食堂不仅能给师生带来方便和好处，而且这也关系到学校的整体形象。因此，我们应对其充分重视，学校应贯彻“为了学生的一切，一切为了学生”的理念，而恰恰食堂就是体

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