微积分与数学思想方法

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想

函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）

解：设其中一段铁丝的长度为x，则另一段为l?x，面积为s 根据题意得：

s?x?x?l?x?l?x4444

整理得：

222x?2lx?l s?16

求导数，并令导数等于零，解得： lx?2

分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式，

l借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当 x?时导函数的函2数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。 例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？

分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们

要找到关键问题，利润是由房间数乘以房间定价让后减去房间数乘以房间维护费，所以关键就是房间数，我们设房间定价为x元，利润为s， 则

?x?180???x?20??s??50??10??对x进行求导，并令导数为零，得到x?350，即可解得利润的最大值 把数学问题用函数表示出来，借助“微积分工具”去解决数学问题，这是我们常用的方法，即函数思想结合“微积分”去解决问题。特别的我们在学习了“微积分”之后，这种题型是我们常见题型及常考题型之一。 5.2极限思想

我们所谓的极限思想是我们微积分的基本思想之一，所谓极限思想是指：利用极限概念去分析及解决问题的一种数学思想方法。

高中数学新版教材微积分虽然不学习极限理论，但是在问题解决中却处处应用了极限思想。由于中学生对极限思想已经不再陌生，早在学习求圆的面积公式时就有了极限思想（刘徽的割圆术）、后来学习球的体积公式时对极限思想有了更进一步的体会。因此在导数、定积分定义的引入和导数的几何意义学习过程中，学生可以再次体会到极限思想在问题解决中的重要价值[21]。

（1）我们在求一个物体的瞬时速度时，是规定在很小的时间间隔?t，即：

00?t?0时，物体的平均速度 就是物体在t0这个时刻时的瞬时速

v(t??t)?v(t0)度，即：

v?lim0?t?0?t

v(t??t)?v(t)?t（2）我们在解决曲边梯形面积时：我们首先把曲边梯形的面积S进行无限分割，从而就把有限变成了无限，我们把小矩形的面积用?S?来表示，用来表示

?S；再把小的矩形无限累加得到曲边梯形的近似值，又从无限回到有限。最终

我们求得曲边梯形的面积为：

S?lim?f??i??x?x?0i?1n导数：函数y?f(x)在x?x0处的导数，就是此函数在此点的瞬时变化率，

f(x0??x)?f(x0) f?(x0)?lim?x?0?x

定积分：我们表示函数f?x?在区间?a,b?上的定积分，是指将区间[a,b]等分成n个小区间，当n??时，它们的和式就无限接近的一个确定值，即 nbb?a f(x)dx?limf(?i)??an??ni?1

（3）对于学习导数的几何意义，我们是从函数y?f(x)在x0处的切线开始

的学习的，我们通过观察函数在点x0处的切线的变化趋势，总结得到的导数的几何意义。

（4）高中新版教材“微积分”部分在解决求变速直线运动的路程，求平面图形面积、变力做功中也都应用到了极限思想。[13] 5.3数形结合思想

数形结合思想是我们中学解决数学问题中常用的一种思想方法。所谓数形结合是指：把比较抽象的数学符号和语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过直观的图像来帮助我们简化问题和解决问题，就是在研究数学问题时，由数思形、见行思数、数形结合考虑问题的一种思想方法[14]。数形结合思想往往能够帮助我们分析问题，使复杂的问题通过图像形象直观的表达出来。在新版教材中“微积分”领域的习题中比较常见，例如：

1求函数 f?x??x3?4x?4在?0,3?上的最大值与最小值。

3解：分析：在我们学习“微积分”之前这类问题不容易解决，但现在学习了“微积分”这个有利的“工具”就比较简单。先求函数的导函数易得f'?x??x2?4 令导函数等于零，得到极值点，根据函数性质画出函数的图像?0,3?如图：

13??fx?x?4x?4在?0,3?的最大值及最小值。 从图形中易得函数 3数形结合思想更加倾向于帮助我们分析问题，了解问题的本质，这个本质是

利用图像来表示出来，使得我们能够直观的观察问题的本质，从而能够更好地解决问题。例如我们在研究函数的单调性与导数的关系时，我们就是通过图形，先求得函数的导函数，然后画出导函数的函数图像，我们可以直观的通过观察函数的图像，从而得知单调性与导数之间的关系。我们利用导数来研究函数的单调性，然后讨论导数与函数的极值、导数与函数的最值等问题时，我们都是借助于函数的图像来得到直观的结论[22]。我们在学习研究定积分的概念时，就是通过研究曲边梯形的面积，首先画出它的草图，然后借助图形，直观地确定被积函数的上、下限。

例如：计算由曲线y2?x,y?x2所围图形的面积s.

分析：画出图形，易知阴影部分为所求的面积 我们通过观察直观的图像来确定被积函数 的上、下限。

综上可知，数形结合思想在“微积分”的内容上是解决问题的至关重要的一个思想方法。借助数形结合的思想方法不但有利于学生的抽象思维能力，提高学生探究问题、解决问题的能力，而且有助于学生具体地看到数学来源于生活，是现实生活的高度抽象，有着广泛的应用价值，使学生自然而然地产生学好数学的愿望。 5.4模型思想

要懂得模型思想，首先要懂得数学建模。数学建模是指对现实世界中原型进行具体构造数学模型，是问题解决的一个重要方面和类型，将考察的实际问题转化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解答的过程。我们构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解答的过程[28]，数学模型是关于现实世界的，为一定目的而作的抽象，简化的数学结构。它用数学符号、公式、图像等刻画客观事物的本质属性与内在规律。数学的模型方法是指：我们在解决数学问题时，把问题抽象成一个模型，利用数学知识去解决这个模型，我们称之为建模，如下图：

在我们高中新版教材中，运用了大量的建模思想，特别是在微积分的内容中，例如：利用导数处理解决汽车汽油使用效率最高、磁盘的最大存储量、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响等优化问题的基本思路就应用了以上形式的数学

实际问题的解 还原 实际数学问题 数学抽象 数学模型 推理计算 数学模型的解 模型：（新版教材课本36页）

建模思想现在在中学发展比较迅速，我国每年都会组织数学建模大赛，以加强中学生对该知识的学习，培养学生的学习兴趣，有助于开发学生的思维能力。特别在学习“微积分”这类知识时运用的更加广泛，例如新版教材中的题目相对来说比较“抽象”，我们运用建模思想来解决此类题目。 5.5转化与化归思想

转化与化归思想是我们中学数学在解决问题时常用的思想方法之一，所谓转化与化归思想是指：我们在解决数学问题时，把我们不会的知识转化一下，归结成我们已经会的知识（旧知识），从而把问题解决掉。

例如：新版教材中定积分概念的引入，求曲边梯形面积时就应用了转化与化归的思想，其步骤是：曲边梯形分解成小曲边梯形，然后转化成小矩形（我们熟悉的矩形，求矩形的面积，化归思想），最后利用和式极限求出面积，即定积分。用下图来表示：

曲边梯形的面积 （化归）求小矩形的面积 求小矩形的面积之和 解得 优化问题 用函数表示数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 波利亚是这样说的：“去设计并解出一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道，这是最富有特色的一类智力活动。”

[18]

在定积分概念的引入，求曲边梯形面积时就应用了这样的思想，对曲边梯形通过分割（分解的思想）成小的曲边梯形，在无限小的范围内，近似认为是小的矩形（化归的思想），在通过对小矩形的累加求和，使问题得到解决，这一过程可以归结为[19]：

分 解 曲边梯形 小曲边梯形 转换 组 合 和式极限（定积分）小矩形 [13] 通过以上叙述，数学习题是数学思想方法的直接表达方式，我们在做习题时应该挖掘习题中所蕴含的思想方法，通过挖掘思想方法来节省巩固我们所学习的知识。

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