专转本数学前4讲

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ）

C． limx?x01 ?0f?x??g?x?D． limkf?x????k?0?

x?x0sinxx?sinx?1 B． limA． lim不存

x??x??x?sinxx在

C． limxsinx??解：?limkf?x??klimf?x??k??x?x0x?x0k?0?

?选D

1??1 D． limarctanx?

x??x24．若limx?01?tx1sintlim解：?limxsin ?选C

x??t?0xtf?2x??2， x则limx?0x? （ ）

f?3x?11 C．2 D． 32sinxsinxx?1?0?1 ?0;Blim注：Alimx??xx??sinx1?01?x1?2． 下列极限正确的是（ ）

A．3 B．

e?0 B． lim?e?0 A． lim?x?0x?01x1x2tx3x?2t3lim解：lim x?0f?3x?t?0f?2t??21211lim??? 3t?0f?2t?323tC． lim(1?cosx)x?0secx?e

1xD． lim(?x??1x)?e

???选B

?1?xsinx(x?0)??0(x?0)5．设f?x???且limf?x?x?0?xsin1?a(x?0)?x??存在，则a= （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解：?lim?x?0e?e解：?lim?x?01x1???0 ?选A e注：B:??,C:2,D:1

3． 若limf?x???，limg?x???，则

x?x0x?x0下列正确的是 （ ）

?A． lim?f?x??g?x?????

x?x0f?x??g?x??B． lim???? x?x0?sinx?1, x??1??limxsin??a??o?a ??x?0??x???1

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

?a?1 选C

6．当x?0时，f?x??1?x?1是比x?a解：?lim?1?x??0

x?1x?1高阶无穷小，则 （ ）

A．a?1 B．a?0

1?a?6?0,a??7

C．a为任意实数 D．a?1

?lim?x2?ax?6??0

a1解：lim1?x?12xaa?1x?0?x?limx?0?x0?a?1 故选A

二 、填空题（每小题4分，共24分）

x7．lim?x???x??1?x??? x解：原式

1?lim??1?1??exlim?x??1?x?e?1x???x?1?? 8．lim?x?1?12??x?1?x2?1??? 解：原式

?????limx?1?2x?1?x?1??x?1? ?lim11x?1x?1?2

9．lim?2x?1?3?3x?2?97x???3x?1?100?

?????????2x?1?397解：原式

limx????3x?1???lim?3x?2?x????3x?1?????2?38?3???27 x210．已知lim?ax?6x?11?x存在，

则a=

11．lim?1x?0???exsin1arcsinx?x2?x??? 解：?sin111xx1x2?1,limx?0?e?0?limx?0esinx2?0又?limarcsinxx?0x?limxx?0x?1 故 原式=1

12．若limx2ln?1?x2?x?0sinnx?0

且limsinnxx?01?cosx?0,则正整数n= 解：?limx2ln?1?x2?x?0limx2?x2sinnx?x?0xn n?40,limxnn?2x?0x20?n?2,n?4, 故2n?3

三、计算题（每小题8分，共64分）

13．求limsin3x?2xx??sin2x?3x

sin3x解： 原式=limx?2x??sin2x x?3?limsin3xx??x?0??1??sin3x?1,limx??x?0??

2

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

limsin2xx??x?0???sin2x?1,lim1x??x?0??? ?原式?0?20?3??23 14．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?

解：原式

有理化

limtanx?sinxx?0x(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) ?limtanx(1?cosx)1x?0x(1?cosx)?2 ?limtanxx??x?12?1x12limx?0x?2

15．求lim?21?xx????sinx?cosx??

解：令

1x?t，当x??时，t?0 1原式?lim?cost?sin2t?tt?0 1?limt?0?1?cost?1?sin2t?t

???t?1?sin2telimcost?0t?e2

16．求limlncos2xx?0lncos3x

解：原式

变形limln?1?cos2x?1?x?0ln?1?cos3x?1?

等价limcos2x?1x?0cos3x?1

?1等价lim2?2x?2x?0?4 ?12?3x?29????注:原式

????lim?2sin2xcos3xx?0cos2x??3sin3x ????49 ex17．求lim?e?x?2xx?0x?sinx

0 解： 原式

0limex?e?x?2x?01?cosx 000ex?e?xxlim0limex?e?x?0sinxx?0cosx?2 ?e?1x18．设f?x?????a,x?0?且lim?1?cosx??x,x?0x?0f?x?存在，求a的值。

解：???1x???xlim?0??e?a??e?a?0?a?a

??x2lim1?cosx2x?0?x?limx?0?x1?lim2??x?2x?0?x??2 3

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

?a??22 119．lim1?3lnxx?0??sin3x?

解： 原式

?lim3cosx00?换底法x?0?sin3xlimln(sin3x)3ex?0?1?3lnx?ex

xx1?elim3x?0?3sinx?elimx?0?3x?e3

20．求lim??1??x????x?x2ln??1?x???? 1解： 原式

x?tlim?1ln?1?t??t?0??t?t2? ?通分limt?ln?1?t?t?0t2

??0??0??1?1lim1?tt?02t ?lim1?t?1t?02t?t?1??lim1t?0t?1?12 四、证明题（共18分） 21．当x??时且

limx??u?x??0,limx??v?x???,

证明lim?vlimu?x?v?x??1?u?x????x?x???ex??

证：lim??1?u?x??v??x?x??

1?lim??1?u?xu?x??u?x??v?x?x?????

?exlim??u?x??v?x?

证毕

22．当x?0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

1）tanx?sinx等价于x3（2?x?0?

2）tanx?x等价于x3（3?x?0?

（3）x?sinx等价于x36?x?0?

（4）arcsinx?x等价于x36?x?0?

证：?1??limtanx?sinxx?0x3 2??0??0??limtanx?1?cosx?x?0x3

2x2x??lim2x?0x3?1 2tanx?sinx?x3当x?0时，2

?tanx?xsec22??limx?01?limx?1 3x?023xx4

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

tan2xx2?limx?0x2?limx?0x2?1 当x?0时，tanx?x?x23

?3??limx?sinxx?01?lim1?cosx3x?01 26x2x1x2?lim2x?01?1 2x2当x?0时，x?sinx?16x3 ?4??limarcsinx?xx?01 x361?1?lim1?x21?1?x2x?01?lim2x?01 2x2x21?x21x2?lim2x?01?1 22x?1当x?0时，arcsinx?x等价于136x 五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求limx???3x?9x2?12x?1?

解： 原式

有理化lim9x2??9x2?2x?1?x??3x?9x2?2x?1?lim?2x?1x??3x?9x2?2x?1 ?2?1?limxx????2??13?9?213?33

x?x224． 已知limx2?mx?81x?2x2??2?n?x?2n?5，求常

数m,n的值。

解：（1）∵原极限存在且

limx?2??x2??2?n?x?2n???0 ?limx?2?x2?mx?8??0,4?2m?8?0

2m?12,m?6

（2）?limx2?6x?8x?2x2??2?n?x?2n

??0??0??lim2x?6x?22x??2?n??4?64??2?n? ??212?n?5 ??10?2?n n?12 答m?6,n?12

选做题

1求

?1lim??1?x?xx?? x?0???e???1解：原式1??lim??11?x?x?e?x? x?0?1???e????1?x???1?x???1??1?x?x?e???exlim?0x?e?elim?x?0e

5

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

令y??1?x??e1x1x1ln?1?x?x

A． km B．

k my???1?x?11x?ln?1?x?1?x 2xx?1?x?2kmC． lnkm D． e

??1?x?xx??1?x?ln?1?x?x??1?x?ln?1?x?x2?1?x?12

m??解：?limf?x??ln?lim(1?kx)x?

x?0?x?0?limkx?mx原式?ex?0lim?ex?0lim0?ln?1?x?2x?3x2?lne

x?0?lnekm?km

?ex?02x?3x2lim?x?f?0??km 选A

3．若limf(x)?A，则下列正确的是

x?a?e

?第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若f?x?为是连续函数， 且f?0??1,f?1??0，

（ ）

A． limf?x??A

x?aB． limx?af?x??A

C． limf?x???A

x?aD． limf(x)?A

x?a1??则limf?xsin??( ) x??x??A． -1 B．0 C．1 D． 不存在 解： 原式

1??sinf连续??1?x?f?limxsin??f?limx??1?x??x????x??解：limx?af?x?u连续limf?x??x?aA 选B

?f?x?,x?0?4．设F?x???x

?f?0?,x?0?且f?x?在x?0处可导，f??0??0,

?f?1??0，选B

2． 要使f?x??ln?1?kx?在点x?0处连续，应给f?0?补充定义的数值是( )

6

mxf?0??0,则x?0是F?x?的 ( )

A． 可去间断点 B． 跳跃间断点 C． 无穷间断点 D． 连续点 解：?limF?x??limx?0x?0f?x??f?0?x?0?f??0?,

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

f??0??f?0??F?0??f?0??limF?0?，

x?0?a?2，代入?1?得b?0，选C

二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设f(x)为连续奇函数，则f?0?=

解：（1）?f?x?为奇函数，?f??x???f?x?

故x?0是F?x?的第一类可去间断点。选A

1??xsin5．f?x???x,x?0在x?0处 ( )

??0,x?0A． 极限不存在 B．极限存在但不连续

C ．连续但不可导 D．可导但不连续 解：?limf?x??limx?sinx?0x?0?f?x??（2）?limf??x??lim?? x?0x?0?又?f?x?在x?0连续

1?0，且f?0??0 x?f?x?在x?0连续，又?f??0? 1xsin?0x?f?x?在x?0?lim?不存在，

x?0x?0不可导 选C

?f?0???f?0? 故f?0??0

8．若f?x?为可导的偶函数，则f??0?? 解：（1）?f??x??f?x? ?f?x?为偶函数，(2)?f?x?可导，??f???x??f??x? 故

?x2?1,x?16．设f?x???在x?1可导，则

?ax?b,x?1a,b为 （ ）

?f??0??f??0? 2f??0??0 即f??0??0

A． a??2,b?2 B． a?0,b?2

9．设y?6x?k是曲线y?3x2?6x?13的

C． a?2,b?0 D． a?1,b?1 解：（1）?f?x?在x?1连续，

2?limx?1??2,lim?ax?b??a?b ???x?1x?1一条切线，则k?

?y??6,y??6x?6,?6x?6?6,x?2 解： （1）

（2）6?2?k?3?4?6?2?13,?12?k?12?12?13,故k?1

10． 若y?f(x)满足：f(x)?f?0??x

故a?b?2??1?

x2?1?2,f???1? （2）f???1??limx?1?x?1???x?，且lima?x?1?ax?b?2?1??limlim?a ?x?1?x?1x?1x?1

7

??x??0

x?0x则f??0?=

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

解：f??0??limf?x??f?0?x?0x?0

?limx???x?x?0x?1?0?1

11． 设f(x)在x?2连续，且f(2)=4， 则limf(x)??1?x?2?4?x?2x2?4???

解： 原式=f(2)limx?2?4x?2x2?4

?4lim11x?2x?2?4?4?1

12．f(x)?sinx??x?1?x5?x的间断点个数为

解： 令x5?x?0,x?x?1??x?1??x2?1??0

x?0,x??1,x?1为间断点，

故f?x?有三个间断点

三 、计算题（每小题8分，共64分）

?sin2x?e2ax?113． 已知f(x)???,x?0 ?x?a,x?0在???,???上连续，求a的值 解：?f?x?在x?0连续

sin2x?e2ax?lim?1x?0f?x??limx?0x?limsin2xe2ax?x?0x?lim1x?0x?2?2a

且f?0??a,?2?2a?a 故a??2

?1?ex,x?14． 讨论f(x)??0?0,0?x?1在x?0,x?1??lnx?x?1,x?1连续性

1解：（1）在x?0处，?limx?0?ex?0,xlim?0?0?0且f?0??0

?f?x?在x?0处连续

（2）在x?1处，?limx?1?0?0, limlnxx?1?tln?1?t?x?1?x?1?xlim?0?t?1 ?f?x?在x?1不连续

15． 设f(x)有连续的导函数，且

?f?0??0,f??0??b若F?x???f?x??asinx?,x?0?x?A,x?0在x?0连续，求常数A。 解：?limF?f?x??f?0??asinxx?0x??limx?0x

?limf?x??f?0?asinxx?0x?0?limx?0x?f??0??a

且F?0??A，?a?b?A 答A?a?b

8

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

?ex?1,x?0?16． 设f(x)??x在x?0可导，

?kx?b,x?0?求k,b的值。

ln(1?x)?1x f??0??limx?0x?0?1???1ln?1?x??x?0?x?1 ?limlim2x?0x?02xxex?1解：（1）?lim??1 ?f?x?在x?0连续，

x?0xx?0??limlim(kx?b)?b 故有b?1

1?x?11??

x?02x?x?1?21 2（2）?f?x?在x?0可导

答：a??1,f??0???18． 讨论f(x)?x?a??x?在x?a是否可导，其中??x?在x?a连续。 解：（1）f???a??lim?x?aex?1?1f???0??lim?x

x?0x?0?0???ex?1?x?0?ex?11?limlim? 2x?0?x?02x2xkx?1?1?k,

x?0x11?k?，答k?,b?1

22f???0??lim?x?a???x??0x?a

?lim?x?a??x?a???x?x?a

??lim??x??x?a?连续???a?

?ln(1?ax),x?0?17．设f(x)??在x?0可x???1,x?0导，求a与f??0?

解：（1）?f?x?在x?0连续，

（2）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a?lim??x??x?a

?lim?x?a?x?a???x?x?a?连续??a?答： 当??a??0时，f?x?在x?a连续， 当??a??0时，f?x?在x?a不连续 19． 求f(x)?点类型

9

?limf?x??limx?0ln?1?ax?ax?lim?a x?0x?0xx且f?0???1，故有a??1 （2）?f?x?在x?0可导

1的间断点，并指出间断lnx专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

解：（1） 间断点：x?0,x??1,x?1 （2） 在x?0处：?limf?x??1?0

x?0lnxx?x?1?x?11 ??x(x?1)1x?1x?0?limf?x??limx?0x?1??1 x?1?x?0是f?x?的第一类间断点。 ?x?0是f?x?的第一类可去间断点

1（3） 在x??1处：?lim??

x??1lnx?x??1为f?x?的第二类无穷间断点。

?limf?x??lim（3）在x?1处：

x?1x?1x?1?0 x?1?x?1是f?x?的第一类可去间断点

（4）在x??1处：?lim?x1?e?1,x?020． 设f(x)??指出

??ln?1?x?,?1?x?0f(x)的间断点，并判断间断点的类型。

解：（1）x?1为间断点，x?0可能是间断

点。

（2）在x?1处：

x?1??

x??1x?1?x??1是f?x?的第二类无穷间断点

?x2?x,x?0?22．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d,0?x?1，

?x2?x,x?1?在???,???可导，求a,b,c,d之值 解：（1）?f?x?在x?0连续，

32?limax?bx?cx?d??d ??x?0?lime?x?11x?1?e???0,lime?x?11x?1??

?x?1是f?x?的第二类无穷间断点

（3）在x?0处：

1x?1?lime?x?0?e,limln?1?x??0 ??1x?0x?0lim?x2?x??0,f?0??0 ??x?0是f?x?的第一类跳跃间断点

四、 综合题（每小题10分，共20分）

故d?0??1?

（2）?f?x?在x?0可导

11?21． 求f(x)?xx?1的间断点，并判别

11?x?1x间断点的类型。

解： （1）间断点：x?0，x??1,x?1 （2）在x?0处：

10

x2?xf???0??lim?1,

x?0?xax3?bx2?cxf???0??lim?c

x?0x故有c?1??2?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/icy2.html