青岛科技大学数字信号处理教程期末总复习-王传旭版 - 图文

一、分析画图题 设有两序列 x(n)???x(n),?0,0?n?5其他n?y(n),y(n)???0,0?n?14其他n

各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为f(n)，问f(n)的哪些点（用序号n表示）对应于x(n)?y(n)应该得到的点。

答：序列x(n)的点数为N1=6,y(n)的点数为N2=15，故x(n)? y(n)的点数应为 N=N1+N2-1=20 （1分）

又f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L)这5点处发生混叠，（3分）即f(n)中只有n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。（3分） 如图（3分）

0 4 0 19 15 19 19 15 0 4

二、已知x1(n)是50点有限长序列，非零范围为0?n?49；x2(n)是15点有限长序列，非零范围为5?n?19；两序列做50点圆周卷积结果为y(n)，试问y(n)中那些个n值范围对应于的线性卷积x1(n)?x2(n)结果。

解：将x2(n)看做长度为20点的序列，其前5个值为0；

它与50点x1(n)线性卷积的结果为20+50-1=69点长的y1(n)，则y1(n)的前5个值为0，5～68的值为非零值；将y1(n)进行长度为50周期延拓即为y(n)。根据周期卷积画图可以分析出y(n)中那些点对应线性卷积结果。

一个周期内：前0-4点对应着线性卷积的50-54点；5-18点对应着线性卷积的5-18点与线性卷积的55-68点的混叠；19-49点对应着线性卷积的19-49点。

0 4 5 49 50 68 0 4 5 49 50 68 50点

0 4 5 49 50 68

三、当采样频率fs=2000Hz时，对f1=180Hz、f1=370Hz的正弦信号进行采样，假设它们的初相位为0。设采样点数为80点，对其进行DTFT分析，观察其频谱结果如下图（图中横轴最大值?进行了归一化），试分析如下问题：

1）f1=180Hz、f1=370Hz两模拟信号离散化后，对应的数字角频率?1和?2分别为多少？ 2）正弦信号的频谱应该为一条谱线，即只在?1和?2处有非零频谱分量，为什么下图中的频谱却在整个频率空间都有分布？

Fig.2 -inputx spectrum figure-4030Magnitude (dB)20100-1000.1?1 0.20.3?2 0.40.50.6Normalized Frequency (?? rad/sample)0.70.80.91Phase (degrees) 5000答案：1）?1=2*3.1415926*f1/fs=0.18. ?2=2*3.1415926*f2/fs=0.37. -5002）当原模拟信号x(t)是两个正弦信号，是无限长时，则其离散后的信号x(n)也为无限长，-1000而DFT分析方法中时域和频域中，信号都是N点长的，因此，需对原无限长信号截短得x(n)N，-1500而x(n)N的频谱Xej?-2500-300000.1-2000??N?DTFT?x?n?N??DTFT?x?n???DTFT?W?n?N?，只是原信号频谱

0.30.40.50.6Normalized Frequency (?? rad/sample)j?0.2的近似，原无限长信号的频谱为线谱，x(n)N的频谱Xe??0.70.80.91N，由于截短产生频谱泄露，因

而，图中的频谱在整个频率空间都有分布。

四、正弦信号抽样的特殊性：当截取离散信号长度是序列周期的整数倍时，不会出现频谱泄露。 原因分析：

（1）针对sin(2*pi*20*t)的正弦信号，采样频率为200Hz，则一个周期内采样10个点。若截取80个点时，等效于截取了8个周期。频率分辨率

。 1120?f?T?18?()20?8?2.5Hz（2）80点x(n)的频谱为?(f?20)?|Rectangle(jf)|80。 因为长度为τ的矩形窗函数的频谱为?Sa(??2)，其零点为角频率为

Hz

频谱分别为

2?2??1??2,2??2??3,.....?k,?；,..对...应.的

111?3,.k?..，这里，..,??8,?..?0.4..s，则这些零点为：..

????202.5Hz,5Hz,3.5Hz,........2.5Hz?k,......。

1?2,而上面的分析知道，频率分辨率?f?2.5Hz，这样离散频谱X(K)是连续频谱的抽样，而这些抽样值恰好抽在零点上，因此，未产生频谱泄露。

五. （共13分）数字滤波的典型实现过程框图如1下，试回答如下问题：

模拟信号 连续时间信号 数字信号 连续时间信号 模拟信号 模拟低通 滤波器 a 前置预滤波 b A / D 变换器 c 通用或专用 计算机 d D/ A 变换器 e f .

图1.数字信号处理典型框图

（1）前置预滤波是模拟滤波还是数字滤波？其功能是什么？

（2）模拟低通滤波器是模拟滤波还是数字滤波？其功能是什么？

（3）若a处的输入是语音信号，单位伏特，试表明图2中纵轴的单位；A / D的采样频率为10KHz，b处的幅频特性如图2所示，试画出C处主值周期内的频谱图？要求频谱图的横轴分别为Hz和rad，并指出两者的对应关系，并标明纵轴。（8分）

单位？ |H| 0 4 KHz 0 10 20 KHz 图2.信号在正半轴的频谱图

图3.模拟带阻滤波器频谱图

2. （12分）一个模拟带阻[10，20]滤波器的幅频特性如图3，在IIR滤波器设计中通过双线性变换法可以将其转换为一个数字带阻滤波器，两者频率转换关系为：??2tg?

T2（1）试画出该数字带阻滤波器的[??,??]幅频图，说明对应点数值映射关系。并回答为什么数字滤波器的频谱是以2pi为周期的。

（2）它能用冲击响应不变法转换为数字滤波器吗？为什么？ 六. 阐述Butterworth模拟高通滤波器的设计原理

1）说明模拟高通与模拟低通幅度频谱的对应关系，如何理解归一化频谱是互为倒数关系。 2）阐明Butterworth低通滤波器的设计原理：包括Butterworth幅度平方函数如何逼近低通滤波器的；如何由幅度平方函数求解H(s)，每一步的理论根据是什么？

IIR数字滤波器的设计是通过设计对应指标要求的模拟滤波器来完成的，而模拟滤波器的设计是通过将幅平方函数H(j?)的幅频特性逼近理想幅频特性实现的。试根据H(j?)求对应的模拟系统H?S?，假设要求的数字滤波器是稳定的、因果的、最大相位系统，并阐明每一步求解的相关原理。

2216(25??2)(16??2). H(j?)?22(49??)(36??)2七、（24分）一个模拟理想带阻滤波器的幅频响应曲线如图3a所示，而对应的数字带阻滤波器幅频响应曲线如图3b所示，试回答如下问题：

1）数字带阻滤波器幅频响应曲线为什么是以2?为周期的？（5分） 2）如图3a与3b各频率点是如何对应的？依据是什么？ （5分）

3）若模拟理想带阻滤波器是线性相位的，则对应的数字带阻滤波器仍然是线性相位的吗？为什么？（3分）

4）如何将一个非线性相位的数字滤波器转换为线性相位的？说明原理。（8分） 5）线性相位的滤波器有什么优点？（3分）

H(j?)H(j?)11?0?0?1?2???1?2??（b） （a）

图3. 模拟（a）和数字（b）带阻滤波器的幅频响应曲线对比 八 分析题（15分）

1.DIF快速DFT原理如下，说明分组原理，包括如何分组、分组的合理性、分组一次运算量降低程度(5分)，并以N=1024，说明运算量是多少？（5分）

X(2r?1)?x(n)?x(n????N2?1?Kn?0NN为?1?122??N??nnr奇???x(n)?x(n?)?WN?WN??x2(n)WNnr?DFT[x2(n)]?22?数n?0??n?0?2时N?n?hereinx2(n)??x(n)?x(n?)WN2???K为偶?数时N2?n(2r?1))?WN?X(2r)?x(n)????n?0N2?1?x(n?N?2nr)?WN2??N2?1n?0N??x(n)?x(n?)?WNnr??2?2??N2?1x1(n)WNnr?DFT[x1(n)]2n?0hereinx1(n)?x(n)?x(n?N)2可见,上面两式均为N/2的DFT。n、r?[0,N?1]2 九：你如何理解数字信号处理中的有限字长效应？请举例说明。同一系统在实现时所产生的有限字长效应是否相同？有何不同？是举例说明。

十. 滤波器设计题

若已知输入信号x(n)的幅频特性如图4.

（1） 试补充完整图4中[2?，3?]之间的频谱图.（3分）

（2） 设计一个FIR数字滤波器提取有用信号成分A和B（10分）

（3） 若输入信号很长，如何实现卷积计算？(只写方法的名称，不展开说明)（3分） （4） 若希望保证滤波输出的实时性，你有何改善方法？写出实现步骤.（7分）

|X| D C 0 A B 2? 0.2? 0.3? 0.8? ? 第四题提示：低通

N ? 1 ] sin[(n ? )? c2 h( n) ? ,0 ? n ? N ? 1 N ? 1 ? ( n ? ) 2

? 图4. 输入信号x(n)的幅频特性

十：基本概念：

一、 填空题（15分，每空1分）

1.数字信号处理中的有限字长效应是由于量化误差造成的，具体表现为三个环节上，可分别称为 、 、 ，最后它们是以噪声的形式出现在输出端。 2.按照冲击响应序列的长短分类，系统H(z)?0.04是 系统；该?1?1(1?0.9z)(1?0.8z)系统有三个系数，在系统实现时系数乘积会带来有限字长效应，该效应对系统的结构是敏感的，最不敏感的是 型结构，最敏感的是 型结构。该系统的系数量化的有限字长效应表现为 ，克服办法是 ， 结构对该效应不敏感。

3. 窗函数法设计FIR滤波器时，不同窗函数对生成的滤波器幅频响应影响可以分为两个方面，其一，窗函数频谱的主瓣影响 ；其二，窗函数频谱的边瓣影响 。矩形窗和Blackman窗是我们所学到的两个极端情况，相比之下Kaiser窗优点是 。

4. 全通滤波器级联到其它滤波器后，不改变原来系统的 ，但可以改变相频响应，因此，可以作为 ，它的另一种作用是 。

二、判断题（10分，若正确则打√，错打╳）

1.实际系统一般是因果系统；对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统都必须遵守因果系统的原则，否则，处理的数据不符合实际物理意义。（ ） 2. 线性常系数差分方程一定是因果系统，与初始条件无关。（ ） 3. IIR系统H(Z)表达式或是AR型或是ARMA型的。（ ）

4. 经典滤波器指称为低通、带通、带阻等的一类滤波器，只有当信号与噪声频率分布在不同的频带范围时，它们才能滤出噪声，所以它们称为频率滤波器。当信号与噪声频率分布在同一范围时则要用现代滤波器，如维纳、卡尔曼滤波器等。（ ）

5. 在序列尾部补零可以得到高密度谱，因而能克服栅栏效应提高DFT的分辨率。（ ） 6. 相同衰减要求下指标要求下，IIR比FIR数字滤波器的阶数高。（ ） 7. 离散信号的ZT实质上是广义的DTFT。（） 8. y(n)?x(n?n0)系统总是因果系统。（ ） 9. DFT与DTFT都是离散时间信号的傅立叶变换，它们之间的关系是DFT频谱X（K）为DTFT的频域Xej?j???的采样，它们和Z变换X(Z)关系是当X(Z)的收敛域收缩为单位圆周上时，X(Z)变为X?e?。（ ）

10. 信号不是孤立存在的，它反映系统的某一侧面；分析信号和系统是信号处理的重要内容。此外，滤波器设计属于根据用户要求，求解滤波器的数学模型，它是信号处理的另一项重要内容。（ ）

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