调和方程

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

??是一个给定的正数。设u,u?分别是方程（3.1）在区域?上以f和f?为边界条件的狄利克

?雷内问题的解，那么调和函数u?u在?上取值f?f。由极值原理的推论1得到，在?上

?各点有

max(u?u?)?max(f?f?)??,????min(u?u)?min(f?f)???.??????

因此在?上各点有

u?u??max(f?f?)??，即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。

?（3）现在研究狄利克雷外问题解的唯一性和稳定性。

设函数u1,u2是狄利克雷外问题的解，令v?u1?u2，则调和函数v满足

v??0及limv(x,y,z)?0.

r?0如果v不恒等于零，则一定存在一点M，使v(M)?0,不妨设v(M)?0。以?R表示半径为R的球面，当R取得足够大，可使M点落在由?及?R所围成的区域?R中，且由条件

limv(x,y,z)?0可得在?R上有v??v(M).因此调和函数v在?R的边界?及?R上都取不

r?0R到最大值，这与极值原理矛盾，因此v只能恒等于零。这样就得到狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，同样可以证明狄利克雷外问题的稳定性。

（4）利用静电源像法求球的格林函数。设K是以O为球心、R为半径的球面。在点

M0(x0,y0,z0)放置一单位电荷，在射线OM0上截线段OM1,使?0?1?R2.........(3.3)

其中?0?rOM0,?1?rOM1,陈点M1为M0关于球面K的反演点。设P是球面K上的任意给定一点，考察三角形OPM0及OPM1，它们在点O有公共角，而夹此角的二相应边应按（3.3）式成比例的，因此这两三角形相似。由相似性得到，对球面K上的任意点P必有

rM1P?R?0rM0P.假象在点M1处有一个点电荷，根据上式，为了使它产生的电位在球面上恰

R巧与M0处单位点电荷所产生的电位抵消，必须假设在M1处的点电荷带有的电量为-?0,

因此g(M,M0)?1R1.这样以来，以K为球面的球上的格林函数就是

4??0rM1MG(M,M0)?11R1（-）............(3.4) 4?rM0M?0rM1M?G在球面k上的值。注意到 ?n利用格林函数(3.4)可以求出方程（3.1）在此球上满足边界条件

uK?f...........(3.5)的狄利克雷问题的解。为此，我们要算出1rM0M1rM1M??1????2??0cos?1202,

?12??2?2??1cos?其中??rOM,?是OM和OM0的夹角，利用（3.3），由（3.4）就得到格林函数

G(M,M0)?11R. （-）2222424??0???2??0cos??0??R?2R??0cos?易知在球面K上，

?G?n??R?G?????R??2???0cos?(?0??R2?0cos?)R1??????33?4??2222422(?0??R?2R??0cos?)2??(?0???2??0cos?)???R321??4?R2R2??02(R2??0?2R?0cos?)f(M)dSM...............(3.5)

或写为球坐标的形式

Ru(?0,?0,?0)?4?其中（

??02??0f(R,?,?)2R2??02(R2??0?2R?0cos?)32sin?d?d?............(3.5)?

?0,?0,?0）是 点M的坐标，

（R,?,?）是球面K上点P的坐标，而0cos??cos?cos?0?sin?sin?0cos(???0).

同样可以用静电源像法求解半空间的狄利克雷问题。要求一个在半空间z?0上的调和函数

u(x,y,z),它在平面z?0上取已给的函数f(x,y)：

uz?0?f(x,y).

注意点M0(x0,y0,z0)的对称点是M1(x0,y0,-z0)，其中z0?0.所以，在现在的情形下，格林函数有下面的形状：

G(M,M0)?

111（-）...............(3.6)2222224?（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）????。此?n?z对于半空间z?0来讲，平面z?0的外法线方向是与Z轴相反的方向，即

外，对于半空间的情形，只要对调和函数u(x,y,z)加上在无穷边处的条件：

u(M)?O(1rOM),?u1?O(2)(rOM??), ?nrOM仍可证明调和函数的基本积分公式成立，因而由格林函数表示的求解公式

u(M0)????f??GdSM。仍成立。由此可以得出半空间上调和方程（3.1）的狄利克雷问?n题的解的表达式为

u(x0,y0,z0)??z02?14?????????f(x,y)?11[-]222222?z（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）（x?x0）?（y?y0）?（z?z0）z?0322????f(x,y)22（[x?x0）?（y?y0）?z0]????dxdy.......(3.7)用同样的方法可以求出圆上二维调和方程的狄利克雷问题

?2u?2u?u?2?2?0,x2?y2?R2............(3.8)?x?y ux2?y2?R2?f(?)..................(3.9)的解，其中?是极坐标的极角。

事实上，圆的格林函数可以像球的格林函数那样做出来，所不同的是在二维的情形，代之以

1应4?r11ln。如同球那样，应用镜像法，可得圆的格林函数为 2?rG(M,M0)?注意到

11R1(ln?ln) 2?rM0M?0rM1M11rM0M1rM1M??????2??0cos?1202,

?12??2?2??1cos?其中?是OM0和OM的夹角，其余各量的意义同球的情形。因为在平面的情形OM0和OM的方向余弦分别是?cos?0,sin?0?与cos?,sin?，所以

??cos??cos(?-?0)?cos?cos?0?sin?sin?0

2利用?0?1?R，可得在圆周上??R上，

?G?n???R?G????R?????1?1[ln?ln?222??0???2??0cos?????]??02?2?R4?2R2??0cos?????R

R???0cos???02?R2?0cos?1??(2?22)2422??0???2??0cos??0??R?2R??0cos???R2R2??01??.222?R?0?R?2R?0cos?这样，立即可以得出圆上狄利克雷问题（3.8）、（3.9）解的表达式：

2R2??01u(?0,?0)?f(?)ds22222?x?y?R2?R?0?R?2R?0cos??12??2?0(R??)f(?)..........(3.10)?02?R2?2R?0cos(???0)220

2.强极值原理、第二边值问题解的唯一性

（1）强极值原理1 设在半径为R的某一球面上给定一个连续函数u(x,y,z)，它在此球内是调和的，并且对此球的所有内点，成立着u(x,y,z)?u(x0,y0,z0) ，其中 （x,y,z）（x0,y0,z0）（x0,y0,z0）是球面上的某定点。如果函数u(x,y,z)在点沿方向V的方向导数存（x0,y0,z0）在，而方向V与球的内法线方向成锐角，则在点成立

?u?0. ?v 强极值原理2 设区域?具有下述性质：对?的边界?上的任一点M，都可作一个属于区域（连同其边界?）的球KM,使其在点M与?相切。如果不恒等于常数的调和函数

u(x,y,z)在???上连续，在边界点M0处取最小（最大）值，则只要它在点M0处关于?

的外法向导数

?u存在，其值必是负（正）的。 ?n（2）第二边值问题解的唯一性

?2u?2u?2u调和方程?u?2?2?2?0诺依曼内问题：在某光滑的闭曲面?上给出连续函数

?x?y?z要寻找这样一个函数u(x,y,z)，它在?的内部区域?中是调和函数，在???上连续，g，

且在?上的任一点沿?的单位外法向方向n的方向导数

?u?n?g。

?如果区域?的边界?满足极值原理2中的条件，那么同一个诺依曼内问题的解彼此之间只能相差一个常数。也就是说，诺依曼内问题的解除去一常数外是唯一的。

证：设u1(x,y,z)和u2(x,y,z)在?内都是调和函数，在???上连续，而且在?上满足同

?u1?u2??f,那么函数u?u1?u2在?内也是调和函数，在???上连?n?n?u?0.如果函数u不恒等于常数，则由极值原理，知其最小值必在?上达续，而且在?上?n?u到，再由极值原理2，在u取最小值的点出就不能等于零，从此导致矛盾。因此u必等

?n样的边界条件：于一个常数。

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