8 北京市各区2011年中考一模数学试题分类汇编 专题八 综合与实践

1

（昌平区一模） 22． 现场学习题

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC

三边的长分别为2、13、17，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

AB图1C图2图3

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：

(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、25a、

26a(a?0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并

求出它的面积是： ． 探索创新：

来源学科网

(3)若△ABC三边的长分别为

4m2?n2、16m2?n2、2m2?n2 (m?0,n?o,m?n) ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的

面积为： 答案：（1） （2 ）

来源学_科_网5． 2来源:Z.xx.k.Com]

CA2 面积：3a． 图2

（3）

4m C n

A2n n m 面积：3mn． 2m B 2

K]B

图3

2

25.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在

x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与

线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°

∴∠AOD=∠DOC=45°

∵在矩形ABCD中，

∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3 ∴△AOD是等腰Rt△

∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90° ∴∠AOE=∠BCD ∴△AED≌△BDC ∴AE=DB=1

∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)

则过D、E、C三点的抛物线解析式为：y??yAEDBOCx（2）DH⊥OC于点H,

F∴∠DHO=90°

∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90° D1BA∴四边形AOHD是矩形 23∴∠ADH=90°.

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90° E∴∠1=∠3 ∵AD=OA=2，

OGHC∴四边形AOHD是正方形.

∴△FAD≌△GHD ∴FA=GH ∴设点 G（x，0）， ∴OG=x，GH=2-x ∵EF=2OG=2x，AE=1， ∴2-x=2x-1， ∴x=1.

∴G(1,0)

(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形 1）当点P为顶点，既 CP=GP时，

易求得P1（2,2），既为点D时， 此时点Q、与点P1、点D重合，

y∴点Q1(2,2)

2) 当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P2(3,2)

BA∴直线GP2的解析式：y?x?1

[来源:学科网]5213x?x?1 66yx

EOGCx3

?y?x?1?求交点Q:? 5213y??x?x?1?66?127可求的交点（,）和（-1，-2）

55∵点Q在第一象限 ∴Q2（

127,） 553)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P3(1,2) ∴直线GP3的解析式：x?1

?x?1?求交点Q:? 5213y??x?x?1?66?7可求的交点（1,）

37∴Q3（1,）

3所以，所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2（

1277,）、Q3（1,）． 553（朝阳区一模）

12．如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，

1a， 23 当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，B2C2=a，

47 当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，B3C3=a，

815a， 当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，B4C4=16 当B1、C1分别为AB、AC的中点时，B1C1=

AB1B2B3B4C1C2C3C4B当B5、C5分别为BB4、CC4的中点时，B5C5=______， ……

当Bn、Cn分别为BBn-1、CCn-1的中点时，则BnCn= ；

设△ABC中BC边上的高为h，则△PBnCn的面积为______(用含a、h的式子表示)．

P(第12题图)

C312n?12n?1a, a, 2n?1ah 答案：3222n

25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，

连接BM.

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM

的数量关系为 ；

（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成

立，说明理由.

4

BEDM图①

BDMCNE

A

A图②

C

1

AB525?131?5，根据相似的性质，可得到B5C5=a， 同理分析：由题意知，B5C5∥BC，

32AB22n?1a.因为△ABC中BC边上的高为h，所以△PBnCn中BnCn边上的高为可得到BnCn=2n112n?112n?1h，△PBnCn的面积为?na?nh?2n?1ah. n22222

答案：(1)BD=2BM. (2)结论成立.

证明:连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF， 可证得△MDE≌△MFC ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC. 作AN⊥EC于点N.

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°， 可证得∠1=∠2, ∠3=∠4. ∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM.

∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD. ∴△BCF≌△BAD. ∴BF=BD，∠5=∠6.

∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°. ∴△DBF是等腰直角三角形. ∵点M是DF的中点， 则△BMD是等腰直角三角形.

ED125B6N3M4AFC

5

∴BD=2BM.

22．阅读并操作：

如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).

图① 图② 图③

请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.

（1）新图形为平行四边形； （2）新图形为等腰梯形.

答案： 解：

（1）

（2）

（注：每图2分）

来源学科网（东城区一模） 12. 如图，直线y?3，x，点A1坐标为（1，0）

3过点A以原点O1作x轴的垂线交直线于点B1，

为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点

O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点

A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（ ， ）；点An（ ， ）．

答案：

8323n?1)，0 ，0(93

6

24. 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于

点E、F.

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，

求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

来源学|科|网

图1 图2 图3

答案：（1）△EPF为等边三角形. （2）设BP=x，则CP＝6－x.

来源学科网 由题意可 △BEP的面积为△CFP的面积为32x. 83(6?x)2. 2△ABC的面积为93. 设四边形AEPF的面积为y. ∴ y?93?53233x2?63x?93. x?(6?x)2=?882自变量x的取值范围为3＜x＜6.

（3）可证△EBP∽△PCF.

∴

BPBE?. CFCP设BP=x，

则 x(6?x)?8. 解得 x1?4,x2?2. ∴ PE的长为4或23.

（房山区一模）

12．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形， 再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去， 图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个 四边形的周长为_________________．

（12题图） 答案：2,4(2n) 2

7

22．（本小题满分5分）

小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形． 他先进行了如下部分操作，如图1所示： ①取△ABC的边AB、AC的中点D、E，联结DE； ②过点A作AF⊥DE于点F；

（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC拼接成面积与它相等的矩形． （2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________． （3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．

答案：解：（1）

A

①②EDM NF② ①

BC

（2）若要拼接成正方形，原三角形的一边与这一边上的高之间的数量关系是1：2或2：1 （3）画对一种情况的一个图给1分

A①①②A①C②①BD②②C

BD8

或

①A②D①②A①②②D①BCB∴正方形ABCD为所求

C

（丰台区一模）

12．已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1 、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_______；

如图2，点B1 、B2 C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值是__________；

，

如图3, 点B1、B2、......、Bn，C1、C2、......、Cn分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1 + B2C2+??+ BnCn的值是 ______. AAA B1C1B2 C2BB11C1C1B2B图2C2CBn-1BnB图3Cn-1CnCB 答案：

C图111a,a,na 22

25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

C

DC

ABCAB

BAD

D

9

图1 图2 图3

答案：解：（1）33；

（2）36?32；

（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，

∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE=CD.

C

C

B

EAB A E DD

当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE

（燕山区一模）

12．已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________. A D A D D C＇ F F F A＇ B C B B 图1 图2 图3 答案：6-2 22．将正方形ABCD（如图1）作如下划分：

第1次划分：分别联结正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；

第2次划分：将图2左上角正方形AEMH按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形；

若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______

10

个正方形；

继续划分下去，能否将正方形ABCD划分成有2011个正方形的图形？需说明理由.

A D A H D A H D

E M G E M G

B C B F C B F C 图1 图2 图3

答案：第2次划分，共有9个正方形； 第100次划分后，共有401个正方形；

依题意，第n次划分后，图中共有4n+1个正方形，

而方程4n+1=2011没有整数解，

所以，不能得到2011个正方形.

（延庆区一模）

12．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长1的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其21边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，?，记第n(n?3) 块纸板

2

为

的周长为Pn，则P4?P3? ；Pn?Pn?1= ．

① 第12题图 ② ③ ④

n?1[来源:学+科+网] ?

1?1?答案： , ??8?2?

22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：

? （1）如图1，?ABC中，AB?AC，?BAC?90，

AD?BC于D，把?ABD绕点A旋转，并拼 接成一个正方形,请你在图1中完成这个作图；

第22题图1

? （2）如图2，?ABC中，AB?AC，?BAC?90，请你设计一种与(1)不同方法，

将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得

到的正方形；

（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,

请你依据此矩形画出正方形.

11

25. 在Rt△ABC中，?BAC?90，AB?AC?2，点D在BC所在的直线上运动，作

A

?ADE?45?（A，D，E按逆时针方向）．

[来源:学科网ZXXK]AADB第22题图2

CBC第22题图3

?（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

①求证：△ABD∽△DCE；

②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的

反向延长线与AC的延长线相交于点E?，是否存在点D，使△ADE?是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角 B

第25题图2

第25题图3

C

E

形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

A

A

B

D

第25题图1

45?

E

C

45?

D

D

45?

B C

E

E?

?答案： ①证明：在Rt△ABC中，∵?BAC?90，AB?AC?2 ∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45° ∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC

∴ △ABD∽△DCE

② 当△ADE是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况：DE=AE

∵DE=AE

∴∠ADE=∠DAE=45°

∴ ∠AED=90°, 此时，E为AC的中点，

∴AE=

1AC=1. 212

第二种情况：AD=AE（D与B重合） AE=2

第三种情况 ：AD=AE

如果AD=DE，由于△ABD∽△DCE， ∴ △ABD≌△DCE,

∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=x

在Rt△ABC中，∵?BAC?90，AB?AC?2， ∴ BC=22, DC=22－x

∴22－x=2 ,解得，x=22－2 ， ∴ AE= 4 －22 综上所述：AE的值是1，2，4 －22 (2)①存在。

当D在BC的延长线上，且CD=CA时，△ADE?是等腰三角形. 证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,

∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ， ∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′,

∴ △ADE?是等腰三角形.

②不存在.

因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45° ∴∠ADE≠∠E

∴△ADE?不可能是等腰三角形。

（西城区一模）

12. 如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，正方形A1B1C1D1的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形，如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为 ．（用含A2B2C2D2（如图2）

有n的式子表示，n为正整数）

图1 图2

答案：5，5

22．我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只

n?13

可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．

（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在

图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；

（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；

（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿

照图1作出标记．

图1

图2

答案：解：（1）1∶2，121 ． （2）正三角形或正六边形． （3）如图5．

8．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2．…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2011，最少经过（ ）次操作．

来源学科网ZXXK][来源学+科+网Z+X+X+K]图5

14

A．3 答案： B.

B．4

C．5

D．6

.

（通州区一模）

12．已知?ABC中，AB?AC?m，?ABC?72?，BB1平分?ABC交

AC于B1，过B1作B1B2//BC交AB于B2，作B2B3平分?AB2B1，

交AC于B3，过B3作B3B4//BC，交AB于B4??依次进行下去，则B9B10线段的长度用含有m的代数式可以表示为 .

6?5?1??答案：??2?m

??22．问题背景

（1）如图22（1），△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，

过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空： 四边形DBFE的面积S? ，△EFC的面积S1? ，

B 2 D S F A S2 E S1 6 3 C △ADE的面积S2? ． 22（1） 探究发现

（2）在（1）中，若BF?a，FC?b，DE与BC间的距离为h．请证明S2?4S1S2． 拓展迁移

（3）如图22（2），□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若

△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用 ．．答案：(1)四边形DBFE的面积S?2?3?6，

B D E F A G C （2）中的结论求△ABC的面积． 22（2） ．．．．．

1?6?3?9， 2△ADE的面积S2?1． A (2)根据题意可知： S2 E D 1S?ah，S1?bh， S S1 2F B ?DE∥BC，EF∥AB 6 2 22（1） ?四边形DEFB是平行四边形，?ADE??EFC,?AED??C

?DE=a ; ?ADE∽?EFC,

△EFC的面积S1?3 C a?S2?? ???S1?b?

215

a2a2h?S2?2S1?

b2bbha2h?4S1S2?4???a2h2

22b?S2?4S1S2

(3) 过点G作GH//AB

?由题意可知：四边形DGFE和四边形DGHB都是平行四边形 ?DG=BH=EF ?BE=HF S?DBE?S?GHF

S?GHC?8

?S?S

S2四边形DGHB?4S?ADG?S?GHC?4?2?8?64

四边形DGHBADG?ABC?8

?2?8?8?18

BHEFC23．已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26厘米，BC＝18.5厘米，点E在AD上，且AE＝6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图23（1）所示）； 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图23（2）所示） （1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“?”、“?”、“?”号）； （2）如图23（3）所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1 ，Q1点的坐标是（ ， ）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2 ，Q2点的坐标是（ ， ）； ③当PA=12厘米时，在图22（3）中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；

（3）点P在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1 ，Q2 ，Q3 ，?观察、猜想：

众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

C

B D (P)E A P M C D T M Q C E

B A N P B （1） 23（2） 23（3） 23

答案：(1)PQ = QE ①Q1点的坐标是（0，3）； ②Q2点的坐标是（6，6）；

21

（平谷区一模）

12．如图所示，直线y?x?1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1然后延长C1B1与直线y?x?1交于点A2，得到第一个梯形A1OC1A2；再以

C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2与直线y?x?1交于点A3得到第二个梯形A2C1C2A3；，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，延长C3B3，得到第三个梯形；??则第2个梯形A2C1C2A3的面积是 ；第n（n是正整数）个梯形的

面积是 （用含n的式子表示）．

答案：6

33?22n?2或?4n?1 22

22．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区

选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：新课标第一网 （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；

（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．

A D A D

C C B B

图1 图2

答案：解：（1）(2分) （2）（画图正确给1分）

D A AED M Q M PH（2） O N P NB

图1

C

BF图2

C

（图案设计不唯一）

将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE?x，则ED?30?x，DH?15．由BE=OD，

22515?15??，?BE????302?30.2?31， 得x?30?15?(30?x)，?x?604?4?22222

22

即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ···························································· 4分 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE?31?30?61，DE?30?61， ∴ DO?

25．已知：抛物线y?kx2?23(2?k)x?k2?k经过坐标原点． （1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；

（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，

并求出点P的坐标；

（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标． 答案：解：（1）∵ 抛物线y?kx2?23(2?k)x?k2?k经过坐标原点,

∴ k2?k=0. 解得 k1?0,k2??1.

∵ k?0，∴ k??1 ∴ y??x2?23x…1分 ∴ B3,3.

（2）令y?0，得?x?23x=0，

222(30-61)2?152?26.8?31，如此装三个这个转发装置，能达到预设要求．

???∴点A关于y轴的对称点A?的坐标为??2解得 x1?0,x2?23. ∴ A23,0

?3,0.

?联结A?B，直线A?B与y轴的交点即为所求点P.

可求得直线A?B的解析式：y?3x?2. ∴ P?0,2? 3（3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个．

如图，由勾股定理得PC?PA?AC?4，所以△PAC为等边三角形．

易证x轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线．作∠PCA的平分线，交

x轴于M1点，交过A点的平行线于y轴的直线于M2点，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分

线，交AM2于M3点，反向延长CM3交x轴于M4点．可得点M1，M2，M3，M4就是到直线AP、AC、CP距离相等的点．可证△APM2 、△ACM3、 △PCM4均为等边三角形．可求

?23?323,0?得：①，所以点M1的坐标为?OM1?OP???； 333??AP?AM2?4，所以点M2的坐标为23,4； ②

③点M3与点M2关于x轴对称，所以点M3的坐标为23,?4；

????

23

④点M4与点A关于y轴对称，所以点M4的坐标为?23,0．

综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为

???23??M1??3,0?,M223,4,M323,?4,M4?23,0．

????????8.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形， 称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形， 共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪 成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据 以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是 A. 669 B. 670 C.671 D. 672 答案：B

（密云县一模）

22．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移

1个单位．用实数加法表示为 3+（?2）=1．

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，

平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}?{c，d}?{a?c，b?d}． 解决问题：

（1）计算：{3，1}+{1，-2}；

（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”

{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC. ②证明四边形OABC是平行四边形.

（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头

Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

y Q（5, 5） y

1 O 1 图1

P（2, 3） x O 图2 x 24

答案：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．

（2）①画图 最后的位置仍是B．

②由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）

∴OC=AB=12?22=5，OA=BC=32?12=10， ∴四边形OABC是平行四边形． （3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．

25.如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线的交点为C、D，L2与抛物线的交点为A、B，连接 AC、BC. （1）当a?13，b??，c?1，t?2时，探究△ABC的形状，并说明理由； 22（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线y F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）A

答案：（1）结论：△ABC是直角三角形.

来源学&科&网L2 D B C O L1 x 来源学§科§网Z§X§X§K]

由题意：y?令

123x?x?1 22123x?x?1?3 22解得x1??1，x2?4

，、B(4，3) ?点A、B的坐标分别为A(?13)设l2与y轴相交于点P，在Rt△ACP和Rt△BCP中

25

AC?AP2?CP2?5 BC?BP2?CP2?20AB?4?(?1)?5

?AC2?BC2?AB2?△ABC是直角三角形

（2）由题意，?ACB?90?，设点B的坐标为(m，c?t)

?c?t?am2?bm?c ?t?am2?bm

b?设E为AB的中点，则点E的坐标为???，c?t? ?2a??△ABC为直角三角形 ?EC?EB

b??b?即t??????m???? ?2a??2a?22?at2?am2?bm?t 1?t1?，t2?0（舍去）

a（3）依题意，点A?与点E重合

?A?在抛物线F的对称轴上，A与A?关于y轴对称

b?b??A?B?AA??2PA??2??????

a?2a??CD∥x轴

b?b??CD?2PA??2???????A?B

a?2a??A?B∥CD

?四边形A?CDB是平行四边形 在Rt△ABC中A?C?AA? ?A与A?关于y轴对称 ?AC?A?C?AA? ?△ACA?为等边三角形

?CP?2(·?S?A?CDB?A?B·CP?2PA·ttan30? )t??

（门头沟区一模）

232t 323 3a28．如图1是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第

2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是

建

建 设 生 态 家

园

图1

设生12图2

3

26

A．生 B．态 C．家 D．园 答案：D

12．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻

等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．

n=3

n=4

n=5

??

当n = 8时，共向外作出了 个小等边三角形； 当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用 含k的式子表示）． 答案： 18 3(k-2) 3(k?2)s k2

22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，

顶点E在边AB上，且AE=1. 将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、?连续地翻转n次，使顶．点第一次回到原来的起始位置. ．P．

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这

一翻转过程可以看作是等边三角形PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则等时, 顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．

DPAC…B(E)CDABC图2DABCDP边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= AE图1…BDC（2）若k=3，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．

第一次回到原来的起始位置；

（3）使顶点第一次回到原来的起始位置时，若等边三角形PAE沿正方形的边连续翻．．P．转的次数是60，则正方形ABCD的边长AB= . 答案：解：（1）12． （2）12． （3）5或15.

24．在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，对角线AC和BD相交于点O．在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转．

（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条

27

直线上时，线段AF与CE的位置关系是 ，数量关系是 ； （2） 将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转, 旋转角为?（0?

请你在图2 中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；

来源学科网Z,X,X,K]

（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时,

三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形．

①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明； ②若OF?56，求BM的长． ADAD EOO FBCBC

图1图2答案：解：（1）垂直，相等

（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

证明：如图2，过D作DG?BC于G． ∵?ABC?90o， ∴DG∥AB. ∵AD∥BC，

∴四边形ABGD为矩形.

∴AB=DG=2,AD=BG=1.

∵tan∠DCB=DGCG=2,

∴CG?DG22?2?1.

∴ CB = AB =2.

∵?ABC??EBF?90o，

∴?ABC??ABE??EBF??ABE. ∴?CBE??ABF. 在△ABF和△CBE中， ??AB?CB,??ABF??CBE, ??BF?BE,∴△ABF≌△CBE.

∴AF?CE，?2??1.

∵?1??3?90o，?3??4， ∴?2??4?90o. ∴?5?90o.

?AF?CE. （3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

②如图3，?AD∥BC， ∴△AOD∽△COB．

ADOBC图3AD2E54O31BGCF图2ADFO2M

B13C28

∴

ADOD． ?CBOB?AD＝1，BC＝2，

∴

OD1?． OB2在Rt△DAB中，BD?AB2?AD2?1?4?5． ∴OB?25．

35∵OF?, 6 ∴BF?BE?5．

2?∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,

??1??2．

又??3??OAB?45o, ∴△BME∽△BOA. BMBE?. ∴

BOBA5BM?2. ∴22535∴BM?.

6

（怀柔区一模）

8.观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+ ? + 8n(n是正整数)的结果为 第8题图

12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是________________.

22．（本题满分4分） （1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.

（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积.

29

（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积.

从上面计算中你能得到什么结论.

结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关， 与b无关. （没写结论也不扣分）

24. （本题满分6分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

（海淀区一模）

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发， 以每秒1cm的速度，沿A?B?C的方向运动，到达点C时停止.设y?PC2, 运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是

9999AEFAEFBP 图a C 图b BPCBPACy16y16y16y16

O58tO58tO58tO58tABCD30

答案：A

12．如图，矩形纸片ABCD中，AB?6,BC?10.第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与

BD交于点O1；设O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使

A点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点 为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD 交于点O3，? .按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与 BD交于点On，则BO1= ，BOn= ．

DBCA O1DAD1O2O1DAD1O3O2O1D2D…

BC

BCBC第一次折叠 第二次折叠 第三次折

叠 …

3n?1答案：2， 2n?3222．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p.

（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_______；

（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是 .

小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，

31

如图2所示. 则由轴对称的性质可知，DF?FE1?E1D2?p，根据两点之间线段最短，可得p?DD2. 老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案. A D

F

BEC

图1答案： 解：（1）p?

3

2

; （2）32≤p?3.

AD1B1D

FE1D2BECF1A1图2

31

如图2所示. 则由轴对称的性质可知，DF?FE1?E1D2?p，根据两点之间线段最短，可得p?DD2. 老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案. A D

F

BEC

图1答案： 解：（1）p?

3

2

; （2）32≤p?3.

AD1B1D

FE1D2BECF1A1图2

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