湖北省荆门市2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

荆门市2014-2015学年度期末质量检测

高 一 数 学

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

?x1.若集合M?yy?2，N?yy????x?1，则MIN?

C．?yy?0?

D．?yy≥0?

? A．?yy?1?

B．?yy≥1?

2.如果a?b，则下列各式正确的是 A. a?lgx?b?lgx

B. ax2?bx2

C. a2?b2

D. a?2x?b?2x

3.方程lgx?8?2x的根x?(k,k?1)，k?Z，则k? A．2 B．3

4.若角?的终边过点(?1,2)，则cos2?的值为 A．?

xC．4 D．5

35B．

133 5C．?5 5D．5 55.设f(x)?a，g(x)?x，h(x)?logax，且a满足loga(1?a2)?0，那么当x?1时必有 A．h(x)?g(x)?f(x) C．f(x)?g(x)?h(x)

B．h(x)?f(x)?g(x) D．f(x)?h(x)?g(x)

6.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 A．108

B．83

C．75

D．63

7.已知m,n是两条不同直线，?,?是两个不同的平面，且n??，则下列叙述正确的是 A．若m∥n,m??,则?∥? C．若m∥n,m??，则???

B．若?∥?,m??,则m∥n D．若?∥?,m?n,则m??

?x≥2,?8.已知实数x,y满足约束条件?y≥2,，则z?2x?4y的最大值为

?x?y≤6?A．24

B．20

C．16

D．12

9.已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC?A1B1C1体积为

9，底4 - 1 -

面边长为3.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 A．

π 6B．

π 4C．

π 3D．

π 21111AB

11

C11

正视图侧视图

1

B11A1 PD11 俯视图C1第10题图 第9题图

10.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

A．21?3 B．18?3 C．21 D．18

11.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的

?kt关系为P?P ．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的0e时间约为( )小时．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771) A．26

B．33

C．36

D．42

12.已知数列?an?的通项公式为an?n?值范围是 A．?6,12?

B．?6,12?

C．?5,12?

D．?5,12?

c?，若对任意n?N，都有an≥a3，则实数c的取n

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 13.不等式2x?x?0的解集为 ▲ . 14．若等差数列{an}满足a7?a8?a9?0,a7?a10?0，则当n? ▲ 时，数列{an}的前

2n项和最大.

15.已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2，且

相等，则

S19?,体积分别为V1,V2，若它们的侧面积S24V1? ▲ ． V216. 在△ABC中，A?uuur2uuur2uuuruuurπ，D是BC边上一点（D与B、C不重合），且AB?AD?BD?DC，6则?B等于 ▲ ．

- 2 -

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

rrr 已知向量a?(3,1)，b?(1,3)，c?(?1?cos?,sin?)，?为锐角.

rr （Ⅰ）求向量a，b的夹角； rr（Ⅱ）若b?c，求?.

18.（本小题满分12分）

某体育赛事组委会为确保观众顺利进场，决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为72m2（如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元） （Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.

体育场外墙

x

19.（本小题满分12分）

已知数列?an?的前n和为Sn,且Sn满足:Sn?n2?n,n?N?.等比数列?bn?满足：

入口

第18题图

1log2bn?an?0.

2(Ⅰ)求数列?an?,?bn?的通项公式；

(Ⅱ)设cn?an?bn，求数列?cn?的前n项的和Tn.

20.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，PA丄平面ABC， AC丄AB，PA?AB?2，AC?1. (Ⅰ) 证明：PC丄AB；

（Ⅱ）求二面角A?PC?B的正弦值； (Ⅲ) 求三棱锥P?ABC外接球的体积.

PACB第20题图

- 3 -

21.（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，?ABC?90o,AB?3,BC?1,P为△ABC内一点，?BPC?90o.

1,求PA； 2（Ⅱ）若?APB?150o,求tan?PBA.

(Ⅰ)若PB?

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x2?2x． (Ⅰ)若x?[?2,a]，求f(x)的值域；

（Ⅱ）若存在实数t，当x?[1,m]，f(x?t)≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

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高一数学参考答案及评分说明

CPA第21题图

B命题：钟祥一中 董若冰 胡雷 审题：市教研室 方延伟 龙泉中学 李学功

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

CDBAB DCBCA BA

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.?x0?x???1?35π 14.8 15. 16. ?2122?三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.（本小题满分10分）

rrrra?b233?（Ⅰ）cosa,b?rr? ??????????????????????342ab分

rrrrπ Qa,b??0,π? ?a,b? ???????????????????????

65分

rrrr（Ⅱ）由b?c知b?c?0，即?1?cos??3sin??0 ?????????????7

- 4 -

分

? 2sin(??)?1， ? sin(??)?分

又?为锐角，? ?=10分

18.（本小题满分12分） （Ⅰ）依题意有：y?100(分

（Ⅱ）由均值不等式可得：y?100(π6π61 ?????????????????92π. ?????????????????????????372 ??????????????5?2?x?2)，其中x?2.

x72144?2?x?2)?100(?x?2) xx≥100(2144?2)?2200 ??????????????8

分

当且仅当

144?x即x?12时取“=” ????????????10分 x综上：当x?12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 ?12分 19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）当n?1时，S1?2即a1?2，当n≥2时，an?Sn?Sn?1?2n，??????2分 又

a1?2?2?1，

?an?2n?????????????????????????4分

由log2bn?an?0得bn?()n ??????????????????????6分

（Ⅱ）cn?anbn?n()n?1

Tn?1?()0?2?()1?3?()2???(n?1)?()n?2?n?()n?1??（1）

121212121212121211111Tn?1?()1?2?()2???(n?1)?()n?1?n?()n ??（2）?8分 22222 - 5 -

11?()n111112?n?(1)n ?10分 (1)?(2)得Tn?1?()1?()2???()n?1?n?()n?12222221?21?Tn?4?()n?1(n?2)??????????????????????????

212分

20.（本小题满分12分） （Ⅰ）

AB?AC???AB?平面PAC?AB?PC ????????????????4

AB?PA?P分

（Ⅱ）过A作AM?PC交PC于点M，连接BM，则?AMB为所求角 ?6分

在三角形AMB中，sin?AMB?AB30??????8分 ?BM6AMC(Ⅲ)求三棱锥P?ABC外接球即为以AP,AB,AC为棱的

长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径????10分

l2?22?22?12?9?(2R)2?R?V?

21. （本小题满分12分）

3 2B43439πR?π?()3?π ??????????????12分 3322（Ⅰ）由已知得，?PBC?60o，所以?PBA?30o；???????????????2

分

在△PBA中,由余弦定理得PA2?3?故

117?23?cos30o?，????????5分 424PA?7. ???????????????????????????6分 2（Ⅱ）设?PBA??，由已知得PB?sin?， ??????????????????8分

在△PBA中, 由正弦定理得3sin?，????????????10分 ?sin150osin(30o??)- 6 -

化简得3cos??4sin?； 所以tan??分

22. （本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意得， 当?2?a≤?1时，f(x)max?f(?2)?0，f(x)min?f(a)?a2?2a， ∴此时f(x)的值域为[a2?2a,0] ???????????????????2

分

当?1?a≤0时，f(x)max?f(?2)?0，f(x)min?f(?1)??1， ∴此时f(x)的值域为[?1,0]

当a?0时，f(x)max?a2?2a，f(x)min?f(?1)??1，

∴此时f(x)的值域为[?1,a2?2a] ????????????????????4

分

（Ⅱ）由f(x?t)≤3x恒成立得x2?(2t?1)x?t2?2t≤0恒成立 令u(x)?x2?(2t?1)x?t2?2t，x?[1,m]，因为抛物线的开口向上，

所以u(x)max?max{u(1),u(m)} ???????????????????6

分

33，即tan?PBA? ???????????????????1244??4≤t≤0?u(1)≤0 由u(x)≤0恒成立知?，化简得?2 2u(m)≤0??t?2(1?m)t?m?m≤0 令g(t)?t?2(1?m)t?m?m，则原题可转化为：存在t?[?4,0]，使得g(t)≤0 即当t?[?4,0]时，g(t)min≤0. ???????????????????8

分

Qm?1,?g(t)的对称轴为t??1?m??2，

① 当?1?m??4，即m?3时，g(t)min

解得3?m≤8

22?m?3,??2?g(?4)， ?16?8(m?1)?m?m≤0 - 7 -

② 当?4≤?1?m??2，即1?m≤3时，g(t)min?g(?1?m)??1?3m

?1?m≤3?? ??1?3m≤0

解得1?m≤3 ???????????????????11

分

综上，m的取值范围为(1,8]. 分

??????????????????12

- 8 -

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