概率论习题及典型题解

概率论与数理统计

习题及典型题解 第一章 选择题

★1.事件A,B恰有一个事件发生的事件是( )? (A)AB; (B)AB; (C)ABAB; (D)AB.

★2.事件A,B,C中恰好有一个事件发生的事件是( )? (A)ABCABCABC; (B)ABC;

(C)ABCABCABC;

(D)ABC. A

★3.事件E?{事件A,B,C至少有一个发生}?则E的表示不正确的是( )? (A)ABC; (B)??ABC; (C)A?(B?A)?(C?(A?B)); (D)??ABACBC. D

(和A?B即并AB,当A,B互斥(AB??)时,AB常记为A?B.) ★4.事件A,B,C中恰好有两个事件发生的事件是( )?

(A)ABCABCABCABC;

(B)ABACBC; (C)ABCABCABC;

(D)ABC. 答案C

★5.事件E?{事件A,B,C至少有两个发生},则E的表示不正确的是( )?

(A)ABC?ABC?ABC?ABC; (B)ABACBC; (C)ABC?ABC?ABC;

(D)??ABBCAC.

C

★6.设A,B为两事件?P(A)?13,P(A|B)?23,P(B|A)?35,则P(B)?( )?

(A)1; (B)2; (C)3; (D)45555.

答案A

★7.设P(A)?0.5,P(B|A)?0.8,则P(AB)?( )? (A)0.5; (B)0.6; (C)0.8; (D)0.4.D

★8.设P(A)?0.4,P(AB)?0.3,则P(B|A)?( )? (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.A

9.已知事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则P(A∪B)= ( ). (A) 0.5? (B) 0.6? (C) 0.3? (D) ? 0.2. 10.已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5, 则P(AB)=( ). (A) 0.1? (B) 0.9? (C) 0.3? (D) ? 0.2. 11.已知P(A∪B)=0.7, P(B)=0.3, P(AB)=0.2, 则P(A)=( ). (A) 0.2 ? (B) 0.6 ? (C) 0.4 ? (D) 0.5 ?

☆12.某办公室10名员工编号从1到10?任选3人其最大编号为5的概率为( )(A)112; (B)120; (C)15; (D)14.

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? 概率论与数理统计

答案B

★13.一批产品共50件?其中有5件次品?任取2件?无次品的概率为( )?

1999198. ; (A); (B); (C)(D)24510102452C45198D 2? C5024514.从1～9九个数字中?任取3个排成一个三位数?则所得三位数为偶数的概率是( )? (A)

49 ? (B)

59 ? (C)

13 ? (D)

19?

15.已知P(A)?0.5,P(B)?0.8,P(AB)?0.4,则P(A|B)?( )? (A) 0.4? (B) 0.5? (C)0.8? (D) 0.6?

16.设P(A)?0?5? P(B)?0?6? P(B|A)?0?8? 则P(AB)? ( ). (A) 0.5 ? (B) 0.6 ? (C) 0.8 ? (D) 0.4?

17.设P(A)?0?5? P(B)?0?6? P(B|A)?0?8? 则P(A∪B)? ( ). (A) 0.5 ? (B) 0.6 ? (C) 0.7 ? (D) 0.8?

18.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.5, P(B)=0.4, 则P(AB)= ( ).

(A) 0.5 ? (B) 0.4 ? (C) 0.2 ? (D) 0.1?

19.已知事件A与B相互独立，P(B) =0.5, P(AB) =0.1, 则P(A)= ( ).

(A) 0.5 ? (B) 0.4 ? (C) 0.2 ? (D) 0.1?

★20.设P(A)?1,P(B)?1,且A,B独立,则P(A?B)?( )?

32(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3; (D)5/6. C

21.对于任意两个事件A? B ? 有P(A?B)?( )?

(A) P(A)?P(B)? (B) P(A)?P(B)?P(AB)? (C) P(A)?P(AB) (D)P(A)?P(B)-P(AB) 22.已知P(A)=0.6，P(AB)=0.4，则P(A?B)=（ ）。

(A) 0.4 ? (B) 0.2 ? (C) 0.24 ? (D) 0.6 ?

☆23.设事件A,B独立,P(A)?0.8,P(B)?0.5,则P(AB)?( )? (A)0.2; (B)0.5; (C)0.6; (D)0.4. C ★24.设A,B,C两两独立?P(A)?0.2,P(B)?0.4,P(C)?0.6,P(ABC)?0.96,则

P(ABC)?( )? (A)0.24, (B)1, (C)0.8, C

★25.事件A,B独立的等价条件以下不正确的是( )? (A)P(A|B)?P(A); (B)P(B|A)?P(B|A); (C)P(B|A)?P(B|A)?1; (D)P(B|A)?P(B|A)?1. 答案D

填空题

1.事件A,B,C中至少有一个事件发生的事件是 . 2.事件A,B,C都不发生的事件是 .

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(D)0.52.

概率论与数理统计

3.事件A,B都发生而C不发生的事件是 .

答案ABC或AB?C或AB?ABC

4.已知P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(AB)=0.4,则P(A∪B)= .

5.已知事件A与B互不相容，P(A)=0.3, P(B)=0.4, 则P(A∪B)= . 6.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∪B)=0.6, 则P(AB)= . 7.设事件A,B独立,则恰有一个发生的概率是 .

答案P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)?P(A)?P(B)?2P(A)P(B) 8.设事件A,B,C独立,则恰有两个发生的概率是 . 答案P(ABC?ABC?ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?3P(ABC)

?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?3P(A)P(B)P(C) 9.事件A,B,C至少有两个发生的概率是 . 答案P(ABACBC)?P(ABC?ABC?ABC?ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)

10.事件A,B,C恰有一个发生的概率是 .

答案P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABACBC)

?P(A)?P(B)?P(B)?2[P(AB)?P(AC)?P(BC)]?3P(ABC)

11.盒子内有标号0到9十个球，随机从中任取三个球，则取到的三个球的号码含有9的概率为 . 3/10

12.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .

将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概

9??9?率为????0.6561,因此牌号含有数字8的概率即答案为1????0.3439

?10??10?44★13.产品中有10件次品? 90件正品?抽取5件至少有一件次品的概率为 .

5C90答案1?5?1?0.58375?0.41625

C100○14.设N件产品中有D件是不合格品，从这N件产品中任取2件产品，则2件都是不合格品的概率为 .

2CD答案2

CN15.某批产品共30件,其中有4件次品,从中任取3件无次品的概率为 .

3C26130答案3??0.6404

C3020316.产品经两道独立工序?各工序次品率均为0.2?则产品是正品概率为 .

16答案(1?0.2)2?

25★17.产品经三道独立工序?每道工序次品率均为0.2?则产品是次品的概率为 .

611?(1?0.2)3?

125★18.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只?恰有2只红球的概率为 .

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概率论与数理统计

21C4C318答案 ?335C7☆19.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只?恰有1只红球的概率为 .

12C4C12答案33?

C73520.设M件产品中含m件次品?从中任取两件至少有一件次品的概率为 .

1122CmCM?m?CmCMm(2M?m?1)?m答案1?2或 ?2M(M?1)CMCM21.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .

212C4(C2)6?226答案?? 2287C822.从5双不同的鞋子中任取4只，至少有两只配成一双的概率为 .

1212C5C4(C2)?C52120?1013答案?? 4C102102123.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .

13121三张牌花色均相同数目C4C13，三张牌有两种花色数目C4C13C39,因此所求概率为

13121C4C13?C4C13C3913312??0.6024. 3C5222100或 先计算三张牌花色均不相同的概率，无妨设第一张牌为红桃，则花色花色均不相同

39263926,因此所求概率为1??0.6024. 概率为

5150515024.从一副52张的扑克牌中任取2张花色相同的概率为 .

12124C4C4答案313?.或设第一张为红桃A,另一张为红桃的概率为?.

5117C5217★25.袋中有a只红球?b只黑球?有放回摸球?则P{第k次摸球首次摸到红球}? . aabk?1?b? ???k?a?b?a?b(a?b)26.在贝努利试验中每次试验成功的概率为p,试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案pk?P(X?k)?(1?p)k?1p?pk?1(1?p),k?2,3???. ○27.在贝努利试验中,P(A)?p,则在出现3次A以前出现3次A的概率为 .

(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A,或者至少出现3次A)

33244P{贝努利试验5次试验中至少出现3次A}?C5pq?C5pq?p5. 或P{出现3次A以前出现3次A}??P{共试验k次,出现3次A以前出现3次A.}

k?35k?1??P{前k?1次贝努利试验出现2次A,且第k次试验出现A}

k?351222213232?p2?p?C3pq?p?C4pq?p?p3?C3pq?C4pq. 两结果相等.若试验未达5次,假设继续试验至5次为止,则

1323213232p3(p?q)2?C3pq(p?q)?C4pq?p3(p?q)2?C3pq(p?q)?C4pq

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概率论与数理统计

012112533244?(C2?C3?C4)p3q2?(C2?C3)p4q?C2p?C5pq?C5pq?p5. 28.已知P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(AB)=0.3, 则P(A︱B)= . 29.已知P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(B︱A)=0.5，则P(AB)= .

30.有编号1，2，…，50的五十张考签，学生从中抽取一张进行考试，抽后不再放回，已知甲生已抽到前十号考签中的一个，则乙生抽得前十号考签的概率为 ． 31.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(AB)= . ★32.设P(A)?0.5,P(A?B)?0.2,则P(AB)? .0.7

33.设事件A? B相互独立? P(A)?0?4? P(B) ?0?6? 则P(A∪B )? . 0.76

34.甲,乙独立地向目标射击?中靶率依次为0?8?0?7,则都中靶的概率为 . 35.设事件A与B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.4，则 P(A?B)= ． 36.设A，B为两个事件，P(A)=0.5，P(A－B)=0.2，则 P(AB)= ．

★37.已知P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?1,则A,B,C全不发生

46的概率为 .7

12@38.将n只相同的球,随机放入k只不同的合子,共有多少种不同放法 .

k只不同合子有k?1只壁,将n只相同的球分成k组,每组球数可为0.k?1个壁和n个球

k?1n排成一排有Cn?k?1?Cn?k?1种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法. 计算题

1.有10张卡片? 分别编号从1到10?任意选3张记录其号码?求 (1)最小号码为5的概率? (2)最大号码为5的概率?

2C5210C4161(1) 3??,(2) 3??.

C1012012C10120202.从数字0,1,...,9中任选三个不同的数字?计算下列事件概率: A1?{不含3和7};A2?{含3或7};A3?{含3但不含7}?

3C88?7?6/3!7P(A1)?3??;

C1010?9?8/3!1578P(A2)?1?P(A1)?1??;

151512C1C88?7/2!7P(A3)???. 310?9?8/3!30C10又法.记B?{含3};C?{含7}?

1C8381P(B)?P(C)?;P(BC)?3??;

10C1010?9?8/3!15P(A1)?1?P(A2)?1?P(B?C)

3317?1?P(B)?P(C)?P(BC)?1????;

1010151578P(A2)?1?P(A1)?1??;

15153318???; 或 P(A2)?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(BC)?10101515 第5页 共32页

概率论与数理统计

k15,k?1,2,3,4,5，则P(?X?)?( ). 15221234(A) (B) (C) (D)

55515A

3.某厂生产电子元件,其产品的次品率为p,现从一大批这类产品中任意地连续取出3件，次品数为X，则P(X?2)的值是( ).

2.设随机变量X的分布列为P(X?k)?(A) (1?p)3?3(1?p)2p?3(1?p)p2，(B)1?(1?p)3，(C)3(1?p)p2，(D) 1?p3 D

?cx20?x?14.设随机变量X的密度函数为f(x)??，则c=( ).

其他?0 (A) 1 ? (B) 3 ? (C) 1/2 ? (D) 1/3?

?cx2?1,0?x?1,5.设变量X的密度f(x)??则c=( )?

0,其他,?(A)0;

A

(B)3;

(C)2;

(D)1/3.

0,x?0,?1??2?6.已知变量X的分布F(x)??x,0?x?1, 则P??1?X??=( )?

2??x?1.??1,(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4.

7.设变量X的密度为f(x),且f(x)?f(?x),分布为F(x),则对任意实数a,有( )?

aa1(A)F(?a)?1??f(x)dx; (B)F(?a)???f(x)dx; 020(C)F(?a)?F(a); (D)F(?a)?2F(a)?1. B

8.设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y?min{X,2}的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B

9.?(x)是标准正态分布函数,则P(?a?X?a)?( )? (A)?(a)?1/2; (B)2?(a)?1; (C)?(a); (D)1??(a). B

1(x?3)2★10.设变量X密度f(x)?exp{?},x?R,则下列变量( )~N(0,1).

42?X?3X?3X?3(D)X?3. ; ; ; (A)(B)(C)

2222B

11.设随机变量X~N(2,4)?则下列变量( )~N(0,1)?

X?2XXX?2; ; (A)(B)(C); (D). 2242答案B

★11.设X服从正态分布N(?,?2),则随着?的增大,概率P(X???2?)( )? (A)单调增加;

(B)单调减小;

(C)保持不变;

(D)增减不定.

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概率论与数理统计

C

○12.A地到B地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)X~N(50,100);第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间Y~N(60,16)?(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( )? (A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路;

(C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路; (D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路.

?70?50?(1)走第一条路线能及时赶到的概率P(X?70)??????(2)?0.9772,走第二条

?10??70?60?路线能及时赶到的概率P(Y?70)??????(2.5)?0.9938,在这种场合应走第二

4???65?50?条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率P(X?65)??????(1.5)?0.9332,而

10???65?60?走第二条路线能及时赶到的概率P(Y?65)??????(1.25)?0.8944,此时以走第

?4?一条路更为保险.D 填空题

13511.已知随机变量X只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次为,,,,则

2c4c8c8cc? .

★2.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 1/2 1/3 1/6 P 则X的分布函数为 . ?F(1?0)?0,x?1,?F(1)?F(2?0)?P(X?1)?1/2,1?x?2,?答案F(x)??

?F(2)?F(3?0)?P(X?1)?P(X?2)?5/6,2?x?3,??F(3)?1,x?3.★3.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.2 0.5 则X的分布函数为 . ?0,x?0,?F(0)?P(X?0)?0.3,0?x?1,?答案F(x)??

?F(1)?P(X?0)?P(X?1)?0.5,1?x?2,??F(2)?1,x?2.4.设X的分布列为 X -2 -1 0 1 3 P 15 6511115 1130 则Y?X2的分布列为 . ★5.设随机变量X的分布列为

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概率论与数理统计

X -2 -1 0 1 P 1/2 1/4 1/6 1/12

则Y?X2?X的分布列为 . 答案P(Y?0)?5/12,P(Y?2)?7/12

C?k??6.设随机变量X的概率分布为P(X?k)?e(k?1,2,...),且??0，则C? . k!???1(1?e)

7.设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为p,若以X表示射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则X的分布律为 . P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,.

x??A?Be?2,x?0,8.设连续型变量X的分布F(x)??则A? ,B? .

x?0.??0,x2??F(x)?lim(A?Be2)?A?B,??0?limx?0?0由分布性质得?x?0答案A?1,B??1 x2?1?F(??)?lim(A?Be?2)?A,?x????2?kx?1,0?x?2,9.已知连续型随机变量X密度函数f(x)=? 则k=

其它.?0,?cx50?x?110.设随机变量X的密度函数为f(x)??，则c= .

其他?0?k2?x?6?11.设随机变量X的密度函数为f(x)=?4，则k= .

?其他?0?2x,0?x?1,12.已知随机变量X密度函数f(x)=? 则X分布函数F(x)= .

其它.0,??1??x?1,0?x?2,13.已知变量X密度f(x)=?2则X的分布函数F(x)= .

??0,其它.?0,x?0,?1?答案F(x)???x2?x,0?x?2,

?4??1,x?2.?1?e?x,x?0,★14.已知变量X的分布函数为F(x)??则P(1?X?3)? .

?0,其他.答案e?1?e?3

0,x?0,?1??3?115.已知随机变量X的分布函数F(x)??x,0?x?1,则P??X??= . 2??4x?1.??1,a16.一批产品的寿命X(小时)具有概率密度f(x)?2,x?600.若随机独立抽取3件产品,

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概率论与数理统计

则恰有两件寿命大于1200小时的概率为 . 答案3/8,(a?600)

a17.一批产品的寿命X(小时)具有概率密度f(x)?2,x?600.若随机独立抽取3件产品,

x则恰有两件寿命大于800小时的概率为 . 答案27/64,(a?600)

○18.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 . 答案1?e?2/5;F(x)??1?e??x/5,0?x?2,

1,x?2.?19.若X~N(0,1)，Φ(x)是标准正态分布函数，Φ(1)=0.8413，则P??1?X?1?= . ○20.设随机变量X~N(1,22)?则概率P(2?X?3.5)? . (?(0.5)?0.691,?(1)?0.841,?(1.25)?0.894,?(1.96)?0.975)答案0.203

?2?1X?13.5?1?P(2?X?3.5)?P??????(1.25)??(0.5)?0.894?0.691?0.20362．

22??2X?3~ . 21.设随机变量X~N(3,16),则随机变量Y?4计算题

1.设X的分布律如下 X 1 2 3 4 P 0.3 0.1 0.2 k 求? (1)常数k； (2)P(X?3),P(X?3)。 2.已知随机变量X只能取?1,0,1,2四个数，相应的概率分别为 1357,,,，确定常数c，并求概率P{0?X?1}. 2c4c8c16c3.设离散型随机变量X的概率分布律为 X ?1 0 1 P 0.5 1?3q q 试求? (1) q值? (2) P(?1?X?1),P(?1?X?1)。 4.设离散型随机变量X的概率分布律为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 求? (1)P(X?3),P(X?2), (2)P(?4|X?2) 5.设离散型随机变量X的概率分布律为 X 0 2 3 4 P 0.3 0.2 0.3 0.2 求? (1)P(X?3),P(X?2), (2)P(?4|X?2) 6.已知在3重贝努里试验中，事件A发生次数X的概率分布律为

3k1kP(X?k)?C3()?()3?k,k?0,1,2,3。

44求（1）事件A至少出现1次的概率；（2）事件A至多出现1次的概率。?

7.袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的

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概率论与数理统计

概率分布律，并求不少于2个红球的概率.

8.在编号为1至5的球中任选3只,求最大号码X的分布列.

2C323C4113P{X?3}?3?,P{X?4}?3?,P{X?5}?3?.

C510C510C55Ck2?1(k?1)(k?2)通式P(X?k)?3?,k?3,4,5.

20C53Ck3?CkCk2?1(k?1)(k?2)?1或P(X?k)?P(X?k)?P(X?k?1)??3?,k?3,4,5. 320C5C59.设有10件产品，其中有两件次品，今从中连取三次，每次任取一件不放回，以X表示所取得的次品数，试求：（1）X的分布律；（2）Y?2X2?2的分布列。

X的分布律为 X 0 1 2 P 7/15 7/15 1/15 由X的分布律直接可得Y的分布律为 Y 2 4 10 P 7/15 7/15 1/15 0???110.设随机变量X具有分布函数 F(x)??(x?2)3?81??P(1?X?3)；（3）P(3?X)

?Ax(1?x2)11.设随机变量X具有密度f(x)??0?11(3)求X的取值落在区间[ , ]内的概率.

32x?22?x?4?求（1）X 的概率密度；（2）x?40?x?1?(1)求常数A；(2)求X的分布函数；其他?2x?0?x????ke12.设随机变量X的密度函数为f(x)??，求：（1）常数k；（2）概

其他??0率P{5

?1?e?3x,x?0,13.设随机变量X的分布函数为F(x)=? 求P{X?1}及P{?1?X?1},并

x?0.?0,求X的密度函数.

?Cx(1?x),0?x?1,计算:(1)常数C;(2)X的分布函数?

?0,其它.11CC231(1) 1??f(x)dx??Cx(1?x)dx??3x?2x?0?, 0066因此,C?6. ★14.设变量X密度f(x)??(2) F(x)??f(x)dx??6x(1?x)dx?3x2?2x3,

00xx

?0,?0,?因此,变量X的分布函数为F(x)??3x2?2x3,0?x?1,

?1,x?1.?

第15页 共32页

概率论与数理统计

答案FX(b)?F(a,b)=F(??,b)?F(a,b)

8.设指数分布X~E(?),Y~E(?)独立?则P(X?x,Y?y)? .答案e?(?x??y) 计算题

★1.设袋中有5只球,其中3只球标有数字0?2只球标有数字1,无放回依次取2只球,结果为(X,Y).计算:(1)(X,Y)联合分布列?(2)边缘X,Y分布列? (1) 联合分布点概率为

323323P(X?0,Y?0)???,P(X?0,Y?1)???,

54105410233211P(X?1,Y?0)???,P(X?1,Y?1)???.

54105410因此联合分布列为

Y0 1 X 33 0 101031 1 1010

(2) 边缘分布点概率为

3P(X?0)?,

52P(X?1)?1?P(X?0)?.

533P(Y?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?0)?2??,

1052P(Y?1)?1?P(Y?0)?.

5因此边缘分布列为

Y 0 X 0 1 1

P 3/5 2/5 P 3/5 2/5

☆2.设袋中有6只球,其中4只球标有数字0?2只球标有数字1,无放回依次取2只球,结果为(X,Y).计算:(1)(X,Y)联合分布列?(2)边缘X,Y分布列?

★3.设二维变量(X,Y)边缘独立,联合分布阵列如下,计算:?,?,?的值.

Y1 2 3 X 11? 1 691? ? 2 9

第21页 共32页

概率论与数理统计

?11??1?由独立性得???????????

?69??9?151151??5???2?????????????0,??或??.

1891818?9?18??9???1/91由 ???2或,

1/61/9?5121115得 ??,??,??.或??,??,??.

391830459tt1??1/9又法.令???t,??,??,??,

699t1/61/9?111tt1112代入?????????1,得???,5t??11,

699699t18t15t2?11t?2?0,(t?2)(5t?1)?0,t?2或t?,

5121115因此??,??,??;或??,??,??.

391830459

?Cx2e?y,?1?x?1,y?0,★4.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数C;(2)边缘

0,其它.?X,Y的密度?判断并证明X,Y是否独立;(3)概率P(0?X?1,0?Y?2).

(1)由规范性得

1????2C1322C32?y?y1???Cxedydx?xdx?edy?,C?. ——2分 ??10?103232(2)边缘X的密度为

????33fX(x)??f(x,y)dy??x2e?ydy?x2,?1?x?1. ——2分 ??022边缘Y的密度为

???132?y?yfY(y)??f(x,y)dx??xedx?e,y?0. ——1分 ???12由f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立. ——2分 32?yx?e,?1?x?1,y?0,非零密度取值范围为矩形,可 2

分离变量(联合密度可表为x的函数与y的函数的积),得

?32?y?x,?1?x?1,e,y?0,? fY(y)?? fX(x)??2——3分 ?0,y?0.?0,其它.?或解.f(x,y)?因此X,Y独立.

(3)P(0?X?1,0?Y?2)??1——2分

100?2f(x,y)dxdy

2321??xdx??e?ydy?(1?e?2). 0202

——3分

?Ax?xe,x?0,y?0,35.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数A;(2)边缘X,Y?(1?y)?其它.?0, 第22页 共32页

概率论与数理统计

的密度?并判断X,Y是否独立.

?Ax?2xe,x?0,y?1,26.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数A;(2)边缘X,Y的y??其它.?0,密度?并判断X,Y是否独立.

??Ax??1?2x?2x?2xedy?Axedy?Axe,x?0, (1) fX(x)??22?1y1y由规范性得

????A1??fX(x)dx??Axe?2xdx?,A?4,

??04(2)由(1)得 fX(x)?4xe?2x,x?0,

1f(x,y)?fX(x)2,x?0,y?1,

y1因此fY(y)?2,y?1.

y由 f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立.

?Ce?(2x?3y),x,y?0,★7.设二维变量(X,Y)的联合密度f(x,y)??计算:(1)常数C;(2)边缘

?0,其它.X,Y的密度,判断并证明X与Y是否独立;(3)概率P(X?1,Y?2). (1)由规范性得

??????C???2xC ?3yC?6.1???Ce?(2x?3y)dydx?2edx3edy?, ?0002?3?02?3(2)fX(x)??????f(x,y)dy??6e0???(2x?3y)dy?2e?2x???03e?3ydy?2e?2x,

?2e?2x,x?0,边缘X的密度为fX(x)??

?0,x?0.fY(y)??????f(x,y)dx??6e0???(2x?3y)dx?3e?3y???02e?2xdx?3e?3y,

?3e?3y,y?0,边缘Y的密度为fY(y)??

?0,y?0.由f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立.

或解.f(x,y)?6e?2x?e?3y,x?0,y?0,非零密度取值范围为矩形,可分离变量(联合密度可表为x的函数与y的函数的积),得

?2e?2x,x?0,?3e?3y,y?0, fY(y)?? fX(x)???0,x?0.?0,y?0.因此X,Y独立.

(3)概率P(X?1,Y?2)??2e1???2x

dx?3e?3ydy?e?8.

2??第四章 选择题

1.设变量X~B(n,p),期望E(X)?2.4,方差D(X)?1.44,则参数n,p的值为( )?

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概率论与数理统计

(A)n?4,p?0.6; (B)n?6,p?0.4; (C)n?8,p?0.3; (D)n?12,p?0.2. 答案B 2.已知离散变量X的取值为x1??1,x2?0,x3?1,且E(X)?0.1,D(X)?0.89,则对应于x1,x2,x3的取值概率p1,p2,p3依次为( )?

(A)0.4,0.1,0.5; (B)0.1,0.4,0.5; (C)0.5,0.1,0.4; (D)0.4,0.5,0.1. 答案A 3.随机变量X的分布列是

X 1 2 3

P 0.4 0.2 0.4 则EX和DX分别是( )

(A)1.8和0.8 (B) 2和0.8 (C)2和1 (D)2和1.8 B

★4.随机变量X,Y和的方差等式D(X?Y)?DX?DY是X和Y( )?

(A)不相关的充分条件,但非必要条件; (B)独立的充分条件,但非必要条件; (C)不相关的充分必要条件; (D)独立的充分必要条件. 答案C

★5.设二维变量(X,Y)边缘不相关?DX,DY有限?下列推论不正确的是( )? (A)Cov(X,Y)?0; (B)X,Y独立;

(D)D(X?Y)?DX?DY. (C)?X,Y?0;

答案B

6.设D(X)?1,D(Y)?4,cov(X,Y)?1,则U?X?2Y,V?2X?Y的相关系数为( ).

1; 57;513.(C)(A)0; (B) (D) 21426答案D 填空题

1.设随机变量X,Y的期望分别为2和5，则随机变量3X?2Y的期望为 . 2.设离散型变量X的分布列如下?则变量Y?X2?1的期望EY? . X ?1 0 2 4

P 0?2 0?1 0?3 0?4

3.设变量X,Y独立，并且方差分别为4和9，则方差D(2X?Y)= .

(x?1)4.设变量X密度为f(x)?1e?4,???x???,则方差DX为 .

2?215.设随机变量X密度f(x)?e??x,x?R,则其方差为 .

2?1?x2e，则DX＝ .12 ☆6.设X的概率密度为f(x)?2?7.如果随机变量X和Y满足E(XY)?EXEY，则D(X?Y)?D(X?Y)= . ★8.设二维变量(X,Y)的边缘X,Y不相关?X,Y方差有限?则等价条件是 . 计算题

1.设随机变量X的分布列为

0 1 3 X

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概率论与数理统计

0.3 p P

求（1）p；（2）数学期望E(X)；（3）方差D(X). 2.已知随机变量X的分布律为 -1 0 1 X 0.1 0.3 0.4 P 求E(X)；D(X).

0.3 2 0.2 ?Acosx,0?x??/2,3.设随机变量X的密度为f(x)??计算:(1)常数A;(2)变量X的分

?0,其他.布函数?(3)期望EX.

?Asinx,0?x??,★4.设变量X的密度为f(x)??计算:(1)常数A;(2)变量X的分布函数

?0,其他.?(3)期望EX.

?1?2A,A?. (1) 1??Asinxdx??Acosx|? 002xx111x?(1?cosx),0?x??, (2) F(x)??f(x)dx??sinxdx??cosx|0 00222?0,x?0,?1?因此,变量X的分布函数为F(x)??(1?cosx),0?x??,

2???1,x?1.(3)EX??xf(x)dx?0?1?11??xsinxdx??xcosx|?cosxdx 0??00222

??1??sinx|??. 0222?e?x x?05.设随机变量X的密度f(x)?? ,计算变量Y?e?2X的期望和方差?

?0 x?0??????1EY?Ee?2X??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx??e?3xdx?;

??003??????12?4X?4x?4x?xEY?Ee??ef(x)dx??eedx??e?5xdx?,

??0051?1?4DY?EY2?E2Y?????.

5?3?45?cx?,0?x?16.设随机变量X的密度函数f(x)??，且EX=0.75，求c,α与DX.

0,其它?23, 807.设(X,Y)的联合分布阵列为

c?3,??2,DX?Y1 X 1 1 32 3 1 61 12 第25页 共32页

概率论与数理统计

因此?的置信度为1???0.95的置信区间为

S? ? Xu?21?1.176,21?1.176?19.824,22.176.?????/2??n??9.已知某种元件寿命X~N(?,?2),任取10只元件试验,测得X?57.5,S2?88.472.计算下列情况下期望寿命?的95%置信区间:(1)已知?2?32?(2)?2未知.(选用的分位数值：u0.025?1.96,u0.05?1.645,t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281) (1)??3,u0.025?1.96,?的95%置信区间为[X??u0.025,X??u0.025]?[55.641,59.359]．

nn(2)t0.025(9)?2.2622,?的95%置信区间为[X?St0.025(9),X?St0.025(9)]?[50.772,64.228]．

nn★10.某种果树产量X(kg)~N(?,?2),从果树林中任取6株,测量产量分别为:

221,191,202,205,256,245.计算期望产量?的置信度1???0.95的置信区间.(1)已知

?2?252;(2)若?2未知. (1)?的置信区间中心

1n1X??Xi?(221?191?202?205?256?245)?220,

ni?16?25?的置信区间半长u?/2?u0.025?1.96?10.21?20.0,

n6当?2?252已知时,?的1???0.95置信区间为

???220?20.0,220?20.0???200.0,240.0?. n?1n2(2) 样本方差S?(Xi?X)2?662.4,S?25.737, ?n?11S25.737?t0.025(5)?2.571?10.507?27.0, 置信区间半长t?/2(n?1)n6当?2未知时,?的1???0.95置信区间为

u?/2??X???

S?? Xt(n?1)??220?27.0,220?27.0?193.0,247.0.?????/2??n??11.某厂用自动包装机包装葡萄糖,每袋净重X~N(?,?2),随机抽取10袋,测得各袋净重

380.(1)已知??5克,求?的置信度为95?的xi（克）,i?1,2,...,10,计算得X?502,S2?9置信区间;(2)?未知时,求?的置信度为95?的置信区间.

(1)已知??5,?的置信区间为[X?u?/2??/n,X?u?/2??/n].

n?10,u0.025?1.96,X?502,代入得?的95?置信区间为[498.910,505.099]. (2)若?未知,?的置信区间为[X?t?/2(n?1)?S/n,X?t?/2(n?1)?S/n].

380n?10,t0.025(9)?2.262,X?502,S2?,代入得?的95?置信区间为[497.352,506.648].

912.设某车间生产的钢珠直径X(mm)~N(?,?2),从生产出的一堆钢珠中任取12只,测量其直径,样本方差S2?0.252,计算:总体方差?2的置信度为1???0.95的置信区间. 已知参数及样本特征:样本容量n?12,样本方差S2?0.252,置信水平??0.05,

第31页 共32页

概率论与数理统计

上侧分位数?220.025(11)?21.920,?0.975(11)?3.816.

置信下限为

(n?1)S211?0.2520.6875?2(n?1)??2??0.0314, ?/20.025(11)21.920置信上限为

(n?1)S211??21)?0.2520.6875?2??0.1801, 1??/2(n?1?0.025(11)3.816因此总体方差?2的置信度为1???0.95的置信区间为

??(n?1)S2(n?1)S2?2,2??[0.0314,0.1801]. ???/2(n?1)?1??/2(n?1)?

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