“华约”自主招生数学试题及解答2010-2013

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题 1．设复数w?(a?i2)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ） 1?i3113（A）? （B）? （C） （D）

22222．设向量a,b，满足|a|?|b|?1,a?b?m，则|a?tb|(t?R)的最小值为（ ）

（A）2 （B）3。缺 4。缺

1?m2 （C）1 （D）1?m25．在?ABC中，三边长a,b,c，满足a?c（A）

?3b，则tanACtan的值为（ ） 2211 （B）54 （C）

12 （D）

23

垂直BC于F，OH与AF6．如图，?ABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF相交于G，则?OFG与?GAH面积之比为（ ） （A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2

7．设

过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y?f(x)的交点为Q，曲线C过点Qf(x)?eax(a?0)．

的切线交x轴于点R，则?PQR的面积的最小值是（ ）

（A）1 （B）2e2e （C）

2e2 （D）

4

x2y2x2y2?k(a?2,k?0)，椭圆C2:2??1．若C2的短轴长与C1的实轴长的比值8．设双曲线C1:2?a4a4等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为（ ）

（A）22?k （B）2 （C）44?k （D）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ） （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 10．设定点

A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用?表示空间以直线OA为轴满足条件

?(B)?C的旋转，用?表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用?表示空间以l为轴的180°旋转．设???表示变换的复合，先作?，再作?。则?可以表示为（ ）

（A）????????? （B）??????????? （C）????????? （D）???????????

二、解答题 11．

在?ABC中，已知2sin（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求?ABC面积的最大值． 12．

2A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2、B、C、D为抛物线x设A2?4y上不同的四点，A,D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处

的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1,d2，已知d1?d2?2AD．

（Ⅰ）判断?ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若?ABC的面积为240，求点

A的坐标及直线BC的方程．

13．

（Ⅰ）正四棱锥的体积V?23，求正四棱锥的表面积的最小值；

（Ⅱ）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值． 14．

假定亲本总体中三种基因型式：

AA,Aa,aa的比例为u:2v:w(u?0,v?0,w?0,u?2v?w?1)且数量充

分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．

x?m12t?12s?1)?，且存在函数s???t??at?b(t?,a?0)，满足f(．

x?12ts2s?12t?1)?（Ⅰ）证明：存在函数t??(s)?cs?d(s?0),满足f(； st1（Ⅱ）设x1?3,xn?1?f(xn),n?1,2,?.证明：xn?2?n?1．

3设函数

f(x)?

2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学

一、选择题 AD C ABDBD 二、解答题

11．解：（Ⅰ）由2sin 所以cosC即2cos2A?B?cos2C?1得 2C2cos2?1??cos2C,

22??(2cos2?1).

C?cosC?1?0

(2cosC?1)(cosC?1)?0

因为C为?ABC内角 所cosC?1?0， 1cosC?，

2C??. 3?2RsinC?4?2（Ⅱ）c3?23. 2又由余弦定理得c即12?a又a22?a2?b2?2abcosC,，

?b2?ab,

，

?b2?ab?2ab?ab?ab,所以ab?12. 有S?ABC133?absinC?ab??12?33,， 244?b即?ABC为等边三角形时，

当且仅当a?ABC的面积取得最大值33.

12．解：

12112A(x0,x0),B(x1,x12),C(x2,x2),

44412则D(?x0,x0)

411'由y?x可知的斜率k??x0,

221因此可以设直线BC方程为y??x0x?b.

2（Ⅰ）设

把

y?12x代入，整理得x2?2x0x?4b?0, 4所以x1?x2因为

??2x0

AB,AC都不平行于y轴，

AB,AC斜率之和为

121222(x1?x0)(x2?x0)?4?4?(x1?x2?2x0)?0

x1?x0x2?x0所以直线

kAB?kAC可知直线所以

AB,AC的倾角互补，而AD平行于x轴，

AD平分?CAB.

作DE?AB,DF?AC,E,F为垂足

则?ADE?ADF可得DE?DF，

由已知可得

DE?DF?2ADDE?2AD,，所以?DAE??DAF?45?90,?ABC为直角三角形

所以?CAB（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为

1212x0??(x?x0),y?x0?x?x0, 4412把y?x分别代入，得

4y?22x2?4x?x0?4x0?0,x2?4x?x0?4x0?0,

所以

AB?22x0?2,AC?22x0?2.

1ABAC?240,， 2由已知可知所以所以

12?8x0?4?240,解得x??8,， 2A(8,16)或A(?8,16)

1A(?8,16)时，求得B(4,4)，又BC斜率?x0?4,，

2当取

所以直线BC方程为即4x?y?4?4(x?4),

y?12?0.

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