高三数学一轮单元测试卷18-18：化归与转化思想

·高三数学·单元测试卷(十八) 第十八单元 化归与转化思想

(时量:120分钟 150分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．一个四面体所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为

A．3π B．4π C．33π D．6π 2．已知函数y?f(x)与函数y?g(x)图象如下图

则函数y?f(x)?g(x)图象可能是

1

3．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝

2

5

A．0 B．1 C． D．5

2

π

4．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球

2

心O到平面ABC的距离为

1326A． B． C． D．

33335．已知两条直线l1:y＝x，l2:ax–y＝0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0，时，a的取值范围是

3

，1)∪(1，3) D．(1，3) 3

aSn4n

6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若＝，则limn的值为

Tn3n+5n??bA．(0，1)

B．(

C．(

n?)内变动23

，3) 3

A．

464 B．1 C． D． 3937．某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是

444A12C12C12 B．1?4 C．4 D．1?4

121212x28．(2005年湖北高考题)在y?2,y?log2x,y?x,y?cos2x这四个函数中，当

4A12A．4

12 1

0?x1?x2?1时，使f(x1?x2f(x1)?f(x2))?恒成立的函数的个数是 22 A．0 B．1 C．2 D．3

9．(2005年辽宁高考题)在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，则

1331

A．－1

2222

10．(2005年上海高考题)用n个不同的实数a1，a2，…，an可得n!个不同的排列，每个排列

为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi＝－ai1＋2ai21 2 3 －3ai3＋…＋(－1)nnain，i＝1，2，3，…，n!．用1，2，3可得数阵如右，由1 3 2 于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1＋b2＋┄＋b6＝－12＋2?12

2 1 3

－3?12＝－24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1＋b2＋┄＋b120

2 3 1 等于 3 1 2 A．－3600 B．1800 C．－1080 D．－720

3 2 1

答题卡 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．

11．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n

＊

∈N)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，b9＝1，则有 等式 成立．

12．如图，正三棱锥P－ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，D是侧棱PB

上任一点，则△ADE的最

P 小周长为 。

P E 13．已知a，b为不垂直

的异面直线，α是一

E 个平面，则a、b在

D α上的射影有可能是 D C A C

①两条平行直线； A ②两条互相垂直的直线； ③同一条直线； B B ④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结

论的编号是 (写出所有正确结论的序号编号)．

14．一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 ． 15．m,n是平面?.,?外两条直线，给出四个论断：

①m?n ②m?? ③n?? ④???

以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

已知x∈R，a为常数，且f(x?a)?出周期，若不是，说明理由．

2

1?f(x)，问f(x)是不是周期函数？若是，求

1?f(x) 17．（本小题满分12分）

已知数列?an? (n?N)是首项为a1，公比为q的等比数列．

?0120123⑴求和：a1C2； ?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a2C3?a4C3⑵由⑴的结果归纳出关于正整数n的一个结论，并加以证明． 18．（本小题满分14分）

已知关于x的方程：x?ax?2ax?a?1?0有且仅有一个实根，求实数a的取值

范围．

19．（本小题满分14分）已知：a1?a2???an?1,ai?0 (i?1,2?n)

3

322 求证：a22 1a2a22n?1an1a??????

1?a2a2?a3an?1?anan?a12

20．（本小题满分14分）

已知?,??(0,??2),且sin?csc??cos(???),a???2.当tan?取最大值时,求tan(???)值.

4

21．（本小题满分14分）

某商店进货每件50元，据市场调查，销售价格(每件x元)在50≤x≤80时，每天售出

105

的件数P＝ 。若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？

(x－40)2 5

化归与转化思想参考答案

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 A A C B C A D B C C 答案 1．分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为

3

正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为R＝，∴S球＝3π，应选A．

2

2．分析:要根据y?f(x)与y?g(x)的函数图象准确地画出y?f(x)与y?g(x)的图象是困难的，但我们注意到f(x)与g(x)一奇一偶，所以y?f(x)?g(x)是奇函数排除B，但在

x?0处g(x)无意义，又排除C、D，应选A．

5．解析：分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解。答案：C

6．解析：化和的比为项的比

∵S2n?1?(2n?1)∴

anS2n?1?bnT2n?1a1?a2n?1?(2n?1)an;T2n?1?(2n?1)bn． 24(2n?1)8n?4，取极限易得．答案：A ??3(2n?1)?56n?27．解析：转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率．答案：D 二、填空题11．b1b2?bn?b1b2?bnbn?1?b17?n 12．3＋7 13． 14．10 15．①②③?④，②③④?①

11．分析：等差数列{an}中，a10＝0，必有

an?1?a19?n?an?2?a18?n???a9?a11?2a10?0， ?an?1?an?2???a10?a11???a19?n?0，

故有a1?a2????an?an?1????a19?n?a1?a2????an类比等比数列

?bn?，因为b9?1,?bn?1?b17?n?bn?2?b16?n???b8?b10?b92?1

?bn?1?bn?2?b8?b9?b17?n?1，故b1b2?bn?b1b2?bnbn?1?b17?n成立．

[分析]:把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容,3?3,故只要把212．侧面PAB.PBC展平,那么当A.D.E三点共线时的AE长,即AD?DE的最小值.

有这种思想作指导,结合图形如图1,由于AE是定长:2?在图2的?AED中,PA?2,PE?1,?APE?120?,故依余弦定理有AE2?22?12?2?2?1?cos120??7,所以AE?7,于是得?AED的最小周长为3?7.14．解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C35＝10种

答案：10

15．分析：本题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③?④，②③④?① 三、解答题

16．分析：由f(x?a)?＝tanx及a??1?tanx1?f(x)联想到tan(x?)?，找到一个具体函数，f(x)41?tanx1?f(x)?4，而函数y?tanx的周期T???4a猜想f(x)是一个周期为4a的函

数．这样方向明，思路清．

6

1?f(x)1?f(x?a)1， ,?f[(x?a)?a]???1?f(x)1?f(x?a)f(x)1?f(x?4a)?f[(x?2a)?2a]???f(x),?f(x)的周期T?4a．

f(x?2a)01217．分析：⑴a1C2?a2C2?a3C2?a1?2a1q?a1q2?a1(1?q)2 （n?2）

证明：?f(x?a)?0123同理可得：a1C3＝a1(1?q)3 (n?3) ?a2C3?a2C3?a4C3012n猜想：a1Cn?a2Cn?a3Cn????(?1)nan?1Cn?a1(1?q)n

012n01n证明：a1Cn＝a1Cn ?a2Cn?a3Cn????(?1)nan?1Cn?a1qCn??(?1)na1qnCn012n ＝a1[Cn?qCn?q2Cn????(?1)nqnCn]?a1(1?q)n

18．分析：显然，题目中的x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数为3，求根比较困

难，注意到a的最高次数为2，故可视a为主元，原方程转化为关于a的二次方程．

解：原方程可代为a2?(x2?2x)a?x3?1?0,解得a?x?1或a?x2?x?1,即

x?a?1或x2?x?1?a?0，∵原方程有唯一实根，?x2?x?1?a?0无实根，

3

∴△<0，即a<．

4

222anana12a2?119．证明：构造对偶式：令A? ?????a1?a2a2?a3an?1?anan?a1222a3ana2a12 B? ?????a1?a2a2?a3an?1?anan?a1222222a2?a3anan?a12a12?a2?1?an则A?B? ?????a1?a2a2?a3an?1?anan?a1 ＝(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)?0,?A?B

又?ai2?a2jai?aj?1(ai?aj) （i,j?1,2?n) 2222222a2?a3anan?a1211a12?a2?1?an ?A?(A?B)?()?????22a1?a2a2?a3an?1?anan?a111 ??(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)??

42 20

．

7

[分析]我们不妨将解题目标分解为(1)求出tan?(用?的三角式表示);(2)求tan?的值.(3)最后求tan(???).sin??cos(???),(割化弦)sin?即sin??sin?cos(???)(分式化整式)?sin?cos?cos??sin2?sin?.(用和角公式)解?sin?csc??cos(???).?于是tan??sin?cos??sin2?tan?(产生tan?),sin?cos?sin?cos?解得tan???(\的代换)2221?sin?2sin??cos?tan?tan?2??(用二元均值不等式求最大值)?.222tan??122tan??14当2tan2??1,即tan??22时,tan?取得最大值,此时:2422tan??tan?2?4tan(???)???2.．

221?tan?tan?1?2?421．分析：设销售价格每件x元(50≤x≤80)，每天获利润y元，

105(x－50)

则y＝(x－50)P＝ (50≤x≤80)

(x－40)2x－50

问题转化为考虑u＝ (50≤x≤80)的最大值即

(x－40)2可．

方法一:x?501101011u??????这是一个u关于的(x?40)2x?40(x?40)(x?40)x?40x?40111二次函数,当???.即x?60?[50,80)时,u取得最大值,故每件x?402?(?10)20定价为60元时,利润最大为2500元.方法二:由u?x?50得u(x?40)2?x?50化为u(x?40)2?(x?40)?10?0,将其转化2(x?40)1为关于(x?40)的二次方程.因为方程有解,所以??1?40u?0解得u?,故u最401大值为,此时x?60(元).40x?50方法三:将u?进行变形,利用平均值不等式2(x?40)x?50111 u????(x?50)22[(x?50)?10](x?40)2(xx??40)(x?50)?x100?50?2050x?50100,即x?60?[50,80)时,u有最大值,即y取最大值.x?50当且仅当x?50?

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