固体物理学1晶体结构

固体物理学讲稿

绪 论

固体物理学 Solid state physics

固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的粒子的运动形态及其相互关系的科学。

固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。 固体物理学研究和发展

简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。

在相当长的时间里，人们研究的固体主要是晶体。早在18世纪，阿维对晶体外部

的几何规则性就有一定的认识。后来，布喇菲在1850年导出14种点阵。费奥多罗夫在1890年、熊夫利在1891年、巴洛在1895年，各自建立了晶体对称性的群理论。这为固体的理论发展找到了基本的数学工具，影响深远。 20世纪初劳厄和法国科学家布拉格父子发展了 X射线衍射法，用以研究晶体点阵结构。第二次世界大战以后，又发展了中子衍射法，使晶体点阵结构的实验研究得到了进一步发展。

晶体内部的微观运动：经典的金属电子论，维德曼-夫兰兹定律量子统计理论 在晶体中，原子的外层电子可能具有的能量形成一段一段的能带：能带理论 固体比热容问题：点阵动力学

相变：相变会导致晶体物理性质的改变，相变是重要的物理现象，也是重要的研究课题。 缺陷：控制和利用杂质和缺陷是很重要的晶体的表面性质和界面性质，会对许多物理过程和化学过程产生重要的影响。

非晶态固体 超导电现象：超导物理学。 本课程的内容结构 晶体的结构 晶体的结合 晶体振动与晶体热力学 晶体的缺陷 晶体中电子能带理论 自由电子论 电子的输运性质 参考资料

1 《固体物理基础》 阎守胜 北京大学出版社 2000 2 《固体物理学》 黄昆 韩汝琦 高等教育出版社 1988 3 《固体物理学》 陈长乐 西北工业大学出版社 1998 4 《固体物理基础》 王淑华 济南大学出版社 1998

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5《Introduction to Solid Physics》C.H. Kittel 6th Ed 1986

第一章 晶体的结构 1-1 晶体的共性

一 固体的分类

晶体: 长程有序 单晶体 多晶体 非晶体: 不具有长程序的特点,短程有序。

长程有序:至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。 固体分类(按结构) 晶体的分类

按晶胞分: 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 二 晶体的共性

1.长程有序: 至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。

2.自限性(自范性)：晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为自限性。

晶面角守恒定律：

属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。 例如：石英晶体

a、b 间夹角总是141o47′； a、c 间夹角总是113o08′； b、c 间夹角总是120o 3.晶体的各向异性： 在不同方向上，晶体的物理性质不同。

晶体的均匀性:在晶体内部平行方向上质点的物理性质相同。

晶体的解理性:晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这样的晶面称为解理面。

4.固定的熔点:

给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持

不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。

熔解热用来破坏长程有序。

晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。

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1-2 密堆积

1.密堆积

把原子视为刚性小球，在一个平面内最简单堆积形成正方排列，把他们层层重合堆积就构成简单立方结构。

若简单立方结构空隙内放入同样的原子球与最近邻的八球相切，就构成体心立方结构单元。

以上两种堆积不是最紧密的，最紧密的堆积原子球必须与同一平面内相邻的6个原子球相切。这样的原子面称为密排面。

如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。

密堆积中，原子球必须与同一平面内相邻的6个原子球相切构成密排面，相邻原子层也必须是密排面，原子球心必须与相邻原子层空隙重合。

(1)六角密积

第三层原子球心落在第二层的空隙上，且与第一层球平行对应，形成ABABAB······排列方式。

(2)立方密积

第三层原子球心落在第二层空隙上，且该空隙也与第一层空隙重合，而第四层又恢复成第一层的排列，即按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。

第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为,2,3,4,5 第二层：占据1，3，5空位中心。

第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列。 2.配位数

一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数.

可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。 密堆积的配位数最大——12

同平面内与6个原子球相切，相邻平面内各与三个原子球相切，这样一个原子的最近邻原子共有6+3+3=12

1-3 晶格结构

一 晶体结构的周期性

所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的

一个原子群称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。

一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。

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1.基元、格点和晶格

在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，

基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。

(1)基元

任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况

则不相同。

(2)晶格

晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分

布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，这些点子的总体称为空间点阵（布喇菲点阵），这种三维网络也称为晶格(或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为晶格)。

晶格（空间点阵）是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。

(3)格点

晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点（结点）。

一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。 晶格（空间点阵）+基元=晶体结构 2.布喇菲格子、简单晶格和复式晶格 (1)布拉维格子（布喇菲点阵）

结点的总体称为布喇菲格子，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。

(2)简单晶格和复式晶格

简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，

则这种原子所组成的网格称为简单晶格。

复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网

格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。

二 原胞

在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，

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形成晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。

特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学

原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。

构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个

矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。

1.原胞的分类

(1)固体物理学原胞(简称原胞) 体积为：Ω?a1?a2?a3

原胞内任一点的位矢表示为：r?x1a1?x2a2?x3a3在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。 (2)结晶学原胞（布喇菲原胞，简称晶胞 ）

构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。

特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。

体积为：v?a?b?c?nΩ (3)维格纳--塞茨原胞

构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞。

特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。

立方晶系 a?b???0?x1,x2,x3?1?

??b?cc?a a?b?c

设晶格常量(晶胞棱边的长度)为a, 即立方体边长为a, a?ai,b?aj,c?ak 晶胞的体积: V?a 2.几种晶格的实例 布喇菲晶格(简单格)

(1)简立方(siple cubic, 简称sc)

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a1?ai

a2?aj a3?ak每个晶胞包含1个格点。 固体物理学原胞的体积 Ω?a

3

(2)面心立方(face-centered cubic, fcc)

aj?k2aa2?i?k

2aa3?i?j2a1?平均每个晶胞包含4个格点。

固体物理学原胞的体积 Ω?a1?a2?a3???????

??13a 4 (3)体心立方(body-centered cubic, bcc)

a?i?j?k2aa2?i?j?k

2aa3?i?j?k2a1???????

平均每个晶胞包含2个格点。 固体物理学原胞的体积

Ω?a1?a2?a3???13a 2复式格

(1)金刚石结构 （闪锌矿结构）

金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个碳原子。

金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,其布喇

菲晶格为面心立方。

(2)氯化钠结构

氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。

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每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。

氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。 氯化钠结构属面心立方。基元由一个Cl-和一个Na+组成。

(3)氯化铯结构

氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位

移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。

每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。

三.致密度

如果把等体积的硬球防置在晶体结构的原子位置上，求得体积尽可能大，使最近邻

的球相切。一个晶胞中硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度.

1-4 晶列、晶面指数

一 晶列及晶列指数 1.晶列

通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的

一组数称为晶列指数(或晶向指数)。过一格点可以有无数晶列。

晶列的特点

(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；

(2)晶列上格点分布是周期性的；

(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；

(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。 2.晶列指数

如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的

?a1?l2?a2?l3?a3 位矢为R?l1

如遇到负数，将该数的上面加一横线。

将l'1 l’2 l’3 化为互质的整数l1 l2 l3. [l1 l2 l3]

即为该晶列的晶列指数。

如[121]表示l1?1,l2??2,l3?1 二 晶面及密勒指数

在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的

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一组数称为晶面指数。

1.晶面

(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。 (2)晶面上格点分布具有周期性； 2.晶面指数

晶面方位：晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)

晶面在三个坐标轴上的截距

(1)以原胞基矢表示

晶体结构已知，a1，a2和a3为已知，这样知道h1，h2和h3就可以确定晶面的法线方向的余弦，因此可用h1、h2、h3表征晶面的方位。称h1、h2、h3为晶面指数，记作(h1h2h3 )。可以证明h1，h2，h3是互质的。

cos?a1,n?:cos?a2,n?:cos?a3,n??h1h2h3:: a1a2a3同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。

怎么求得h1、h2、h3的数值？

设晶面族（ h1h2h3 ）中离开原点的距离等于d?的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为ra1, sa2, ta3，则有

??sa,n???d sa?n??d saco?taco?sa,n???dta?n??dra1?n??d2ra1cosa1,n??d22333cosa1,n:cosa2,n:cosa3,n???????111:: ra1sa2ta3 8

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又cos?a1,n?:cos?a2,n?:cos?a3,n??h1h2h3:: a1a2a3h1:h2:h3?

111:: rst1.5 倒格空间

一 倒格的引入

X光波长小于晶体中的原子间距，周期性的晶格可作为衍射光栅。 P：Rl?l1a1?l2a2?l3a3 光

程

差

：

????AO?OB??Rl?S0?Rl?S ????Rl?(S?S0)???衍射加强：Rl?(S?S0)??? ??2???(S?S0) 引入： k?k0?????再令： k?k0?Kh'

????则衍射极大条件变成：Rl?Kh'?2?? Rl称为正格矢 K，h'称为倒格矢2πa2?a3Ω2π倒格基矢可以由正格基矢来构造：b2?a3?a1

Ω2πb3?a1?a2Ωb1?倒格基矢的方向和长度如何呢？

一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。

二 倒格与正格的关系 1 ai?bj?2π?ij???????2π(i?j)0?i?j?

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2 Rl??Kh??2π? (?为整数)

3??2π3 Ω*? (其中?和?*分别为正、倒格原胞体积)

Ω

?2π?3 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于4 倒格矢Kh?h1b1?h2b2?h3b3与正格中晶面族(h1h2h3)正交. 5. 倒格矢Kh?h1b1?h2b2?h3b3的模等于已知晶体结构如何求其倒格呢？

2πdh1h2h3。

2πa2?a3Ω2π(i?j)2π Kh?h1b1?h2b2?h3b3 b2?a3?a1 ai?bj?2π?ij???0i?jΩ2πb3?a1?a2Ωb1???????1-6 晶体的对称性

一 对称性与对称操作

对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素：对称操作所依赖的几何要素。 1.对称操作与线性变换

?,x??经过某一对称操作，把晶体中任一点X(x1,x2,x3)变为X?(x12,x3).可以用线性变

换来表示。

2.简单对称操作

(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称) (1) 转动(Cn,对称素为线)

若晶体绕某一固定轴转

2π 以后自身重合，则此轴称为n次(度)旋转对称轴。 n晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度

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(2)中心反演(i，对称素为点)

取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点X(x1,x2,x3)变为(?x1,?x2,?x3). (3)镜象(m，对称素为面)

如以x1=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点X(x1,x2,x3)变为(?x1,x2,x3). (4)旋转--反演对称

若晶体绕某一固定轴转

2π以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为nn次(度)旋转--反演对称轴。

旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6

旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：3?3?i 正四面体既无四度轴也无对称心，4是独立的基本对称素。 (3)中心反映：i。 (4)镜象反映：m。

独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m，4 , 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。

所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作

构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。

理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对

称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。

点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体共有230种空间群，即有230种对称类型。

1-7晶体结构的分类

根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，14种布喇菲格子。 7大晶系的特征及布喇菲格子如下所述： 晶胞基矢的模——晶格常数：a，b，c

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1-8 晶体的X光衍射

一 X射线衍射 波。

1.衍射方程

X射线是由被高电压U加速了的电子，打击在“靶极”物质上而产生的一种电磁

k?k0?nKh

当衍射波矢与入射波矢相差一个或几个

倒格矢

时就满足衍射加强的条件。

当衍射线对于某一晶面族来说恰光的反

射方向

时，此衍射方向即为衍射加强的方向。

衍射加强的条件：

k?k0?nKh?22??sin??n2?dh1h2h3

2.布拉格反射公式

2dh1h2h3sin??n? n为整数，称为衍射级数。

不能用可见光进行晶体衍射。

二 晶体X射线衍射的几种方法 1.劳厄法

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劳厄法的特点 (1)单晶体不动，入射光方向不变；

当X光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄衍射斑点具有对称性。 衍射斑点与倒格点相对应。用劳厄法可确定晶体的对称性 2.转动单晶法

(1)X射线是单色的(波长不变)； (2)单晶体转动。

晶体转动-倒格转动-反射球绕过O的轴转动

反射线构成以转轴为轴的一系列圆锥 在圆筒形底片上衍射斑点形成一系列直线 由直线间距计算晶格常量

根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。 3.粉末法

(1)X射线单色?(固定)；

(2)样品为取向各异的单晶粉末或多晶体块。

由于样品对入射线方向是“轴对称”的，不同晶面族的衍射线构成不同圆锥。衍射

线与圆筒形相交，形成图示衍射条纹。

最小的衍射角对应最小的衍射面指数的平方和

据不同的晶面族的衍射条纹位置θ和波长λ，可求出晶面族面间距，进而确定晶格常量。

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1-9 原子散射因子和几何结构因子

1.原子散射因子

(1)定义: 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与某一个电子在该方向引起的散射波的振幅之比称为该原子的散射因子。

2πis?rAa(2)计算: f?s???????reλd?

Ae??2.几何结构因子

总的衍射强度取决于两个因素：(1)各衍射极大的位相差---各子晶格的相对位置。

(2)各衍射极大的强度---不同原子的散射因子。

(1)定义

原胞内所有原子的散射波在某一方向上的振幅与一个电子在该方向上散射波的振幅之比。

(2)计算：Fhkl?

?fejji2πnhuj?kvj?lwj??

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/icco.html