2018年南宁市中考数学试题及解析

2018 年广西六市同城初中毕业升学统一考试试卷解析

数学

（考试时间：120分钟

注意事项：

1. 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。

2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项。

3. 不能使用计算器，考试结束前，将本试卷和答题卡一并交回。

满分：120 分）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）

1. -3 的倒数是 A.-3

B.3

1 C.-3 1D. 3

【答案】C

【考点】倒数定义，有理数乘法的运算律，

【解析】根据倒数的定义，如果两个数的乘积等于 1，那么我们就说这两个数互为倒数.除 0 1以外的数都存在倒数。因此-3 的倒数为- 3 【点评】主要考察倒数的定义

2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是

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【答案】A

【考点】中心对称图形

【解析】在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180°后，能与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

【点评】掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．

3.2018 年俄罗斯世界杯开幕式于 6 月 14 日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳 81000 名观众，其中数据81000用科学计数法表示为（

）

A. 81?103

B. 8.1?104 C. 8.1?105 D. 0.81?105

【答案】B

【考点】科学计数法

【解析】81000 ? 8.1?104，故选 B

【点评】科学计数法的表示形式为a ?10n的形式，其中1 ?a ? 10,n为整数

4. 某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球

员平均每节得分为（ ）

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A.7 分 C.9 分 【答案】 B

B.8 分 D.10 分

【考点】求平均分 【解析】

12 ? 4 ?10 ? 6

? 8

4

【点评】本题考查用折线图求数据的平均分问题

5. 下列运算正确的是 A. a(a＋1)＝a2＋1

B.(a2)3＝a5

C. 3a2＋a＝4a3

D. a5÷a2＝a3

【答案】D

【考点】整式的乘法；幂的乘方；整式的加法；同底数幂的除法

【解析】选项 A 错误，直接运用整式的乘法法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把结果相加，可得 a(a＋1)＝a2＋a；

选项 B 错误，直接运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得(a2)3＝a6； 选项 C 错误，直接运用整式的加法法则，3a2 和 a 不是同类项，不可以合并； 选项 D 正确，直接运用同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得 a5÷a2＝a3． 【点评】本题考查整式的四则运算，需要记住运算法则及其公式，属于基础题。

6. 如图，?ACD是?ABC的外角，CE平分?ACD，若?A=60°，?B=40°，则?ECD等于

（ ）

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A.40° C.50° 【答案】C

B.45° D.55°

【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义

【解析】?ABC的外角?ACD??A??B ?60??40??100?,又因为CE平分?ACD，所以

11

?ACE??ECD??ACD??100??50?.

2 2

【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

7. 若m＞n，则下列不等式正确的是

【答案】B

【考点】不等式的性质

【解析】A：不等式两边同时减去一个相等的数，不等式的符号不改变

B：不等式两边同时除以一个相等的正数，不等式的符号不改变 C：不等式两边同时乘以一个相等的正数，不等式的符号不改变 D：不等式两边同时乘以一个相等的负数，不等式的符号改变

【点评】本题目考察了对于不等式性质的理解与判断，属于基础题目

8. 从?2,?1,2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是

错误 正确 错误 错误

A.

2 3 B. 12

C. 1

3 D. 14 【答案】C

【考点】概率统计、有理数乘法

【解析】总共有三个数字，两两相乘有三种情况；根据同号得正，异号得负，而只有? 2 与

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1

?1相乘时才得正数，所以是 3

【点评】此题目考察了对于概率统计基本概念的理解以及有理数乘法的判断

9. 将抛物线 y＝2－6x＋21向左平移 2个单位后，得到新抛物线的解析式为 x

12

1A. y＝－8)2＋5

2(x 1C. y＝－8)2＋3

2(x

1B.y＝ －4)2＋5

2(x 1D.y＝ －4)2＋3

2(x

【答案】D

【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律；

12

【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y＝x －6x＋21 可配方

21 －6)2＋3，顶点坐标为(6,3)．因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个 成 y＝ (x 21－4)2＋3． 单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y＝ (x 2方法２：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移２个单位，即原来解析 1＋2)2－6(x＋2)＋21，整理 式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线解析式为y＝ (x 2

121得 y＝－4x＋11，配方后得 y＝－4)2＋3．

2x 2(x

【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中点的平移规律是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。

10. 如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形

是莱洛三角形，若 AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为

A. π＋ B. π－ C. 2π－ D.2π－2

【答案】 D

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【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式.

【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S 阴影=3×S 扇形-2×S?ABC . 由题意可得，S扇形=π×22×

60

= π.

2

360 3

要求等边三角形 ABC的面积需要先求高. 如下图，过 AD垂直 BC于 D,可知， 在 Rt?ABD 中 ，sin60°= 所以AD=2×sin60°=

AD AD

= ，

AB

，

2

所以S?ABC=×BC×AD=×2×

11

= .

2 2

2

=2π-2

所以S阴影=3×S扇形-2×S?ABC=3×π-2×

3

.

故选 D.

【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。

11. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产

量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为 ，则可列方程为 A.80(1+ ):=100 C.80(1+2 )=100 【答案】 A

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程

B.100(1? ):=80 D.80(1+ :)=100

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【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 ，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为80(1 + )吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ) (1 + )吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到100吨，即80(1+ )(1+ )=100，即80(1+ ):=100. 故选 A.

【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程.

12. 如图，矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝3，点 P在 BC边上，将△CDP沿 DP折叠，点 C

落在点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP＝OF，则 cos∠ADF 的值为

11 A. 13

13 B. 15 15 C. 17 17 D. 19

【答案】C

【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值 【解析】

由题意得：Rt△DCP≌Rt△DEP，所以 DC＝DE＝4，CP＝EP 在 Rt△OEF 和 Rt△OBP 中，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS)，所以 OE＝OB，EF＝BP 设 EF 为 x，则 BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x，

又因为 BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x

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所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x

在 Rt△DAF 中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2 3 3 3 17 解之得，x＝5，所以 EF＝5，DF＝4－5＝ 5

AD 15 最终,在 Rt△DAF中，cos∠ADF＝DF＝17

【点评】本题由题意可知，Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出 Rt△OEF≌Rt△OBP，寻找出合适的线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求cos 值即可得。

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

13. 要使二次根式 x?5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

【答案】 x ? 5

【考点】二次根式有意义的条件.

【解析】根据被开方数是非负数，则有 x ? 5 ? 0 ，?x ? 5 .

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．

14.因式分解：2a2?2= 【答案】2

?

.

?a ?1??a ?1??

【考点】因式分解

????a ?1??

步骤一：先提公因式2得到：2?a?1?，

【解析】2a? 2 ? 2a?1? 2a ?1

2

2

2?

步骤二：再利用平方差公式因式分解得到结果： 2

?

?a ?1??a ?1??

【点评】此题目考察了对于因式分解的基本判断与认识，属于基础题目

15. 已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 。

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【答案】4 【考点】中位数

【解析】解：因为众数为 3 和 5，所以x ? 5 ，所以中位数为：

?3? 5?? 2 ? 4

【点评】主要考察了众数的知识点，通过众数求中位数

16. 如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部 D处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是

m（结果保留根

号）。

【答案】40 【考点】三角函数

【解析】∵俯角是45! ，??BDA ? 45!，?AB ? AD=120m， 又∵ ?CAD ? 30!

,?在 Rt△ADC 中tan∠CDA=tan30°=

CD

= AD

33

,

?CD = 40 3 （m）

【点评】学会应用三角函数解决实际问题。

17.观察下列等式： 30? 1， 31? 3， 32? 9 ， 33? 27 ， 34? 81， 35? 243，…，根据其

中规律可得3

0 ?31 ?32 ?··· ?32018的结果的个位数字是 。

【答案】3 【考点】循环规律

【解析】∵ 30? 1 ， 31? 3 ， 32? 9 ， 33?27 ， 34?81?个位数 4 个数一循环，??

?1?3?9?13，?30?31?32?··· ?2018?1??4?504余3，

? 32018的个位数字是

3 。

【点评】找到循环规律判断个位数。

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18. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，

反比例函数 y ?

k1

(x ? 0) 的图像经过点C ，反比例函数 x

k

y ?2 (x ? 0)的图像分别与 AD, CD 交于点 E, F ，

x

若 S?BEF

?7,k1?3k2 ?0，则k1等于

.

【答案】k1 ? 9

【考点】反比例函数综合题

【解析】设 B 的坐标为(a,0)，则 A 为(?a,0)，其中 k1 ?3k2 ?0，即 k1 ??3k2

k1 ， E(?a,?k2 )，D(?a, k1 ，F(?a, k1

))根据题意得到 C(a, )a a a 3 a k1

矩形面积? 2a ?? 2k

1

a

2 2ka ?(?2 )

a ??2k S?DEF ?DF ?DE ?3

2

2 3 2

4 k1

a ?a 2

CF ?BC 3 ?k S ?1?BCF ?

2 2 3

k2a ?(?2 )

a ??k

S?ABE ?AB ?AE ??2

2 2

!S?BEF?7

2 2

?2k ?k ?k ?k ? 7

1 2

3 2 3 1 1

把k ??k 代入上式，得到

2 31

4 5 1

k??(?k ) ? 7 1 13 3 3

4 5

k ?k ? 7 3 1 91

7 k ? 7 9 1

k1 ? 9

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【点评】该题考察到反比例函数中k 值得计算，设点是关键，把各点坐标求出来，根据割补法求面积列式，求出k1 的值。

三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（本题满分 6 分） 计算： 【答案】

【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值；根号的化简 【解析】解：原式=

=

【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可 20.（本题满分 6 分）解分式方程： 【答案】 x ? 1.5

x 2x

.?1??

x?1 3x ?3

【考点】解分式方程 【解答】

解：方程左右两边同乘3(x ?1)，得

3x ? 3(x ?1) ? 2x 3x ? 3x ? 3 ? 2x

2x ? 3 x ? 1.5

检验：当 x ? 1.5 时 ， 3(x ?1) ? 0 所以，原分式方程的解为 x ? 1.5

.

【点评】根据解分式的一般步骤进行去分母，然后解一元一次方程,最后记得检验即可.

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21. （本题满分 8分）如图，在平面直角坐标系中，

已知?ABC的三个顶点坐标分别是 A(1,1),

B(4,1),C(3,3) .

(1) 将?ABC向下平移 5个单位后得到?A1B1C1，

请画出?A1B1C1;

(2) 将?ABC绕原点O逆时针旋转90?后得到

?A2 B2C2 ，请画出?A2 B2C2 ；

(3) 判断以O, A1, B为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）

【答案】详情见解析

【考点】平面直角坐标系中的作图变换--平移与旋转 【解析】（1）如图所示， ?A1B1C1即为所求；

（2） 如图所示， ?A2B2C2即为所求； （3） 三角形的形状为等腰直角三角形。

【点评】常规题型，涉及到作图变换的两种类型：平 移变换和旋转变换，要求数清格子，且按要求作图即可。

22. （本题满分 8分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校

对本校 100名参加选拔赛的同学的成绩按 A, B, C, D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图.

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(1)求 m????,n????; (2) 在扇形统计图中，求“ C等级”所对应圆心角的度数；

(3) 成绩等级为 A的4名同学中有 1名男生和 3名女生，现从中随机挑选 2名同学代表学校参加全市比赛.请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男 1女”的概率.

【答案】（1）m?51,n?30；（2）108°；（3） 【考点】统计表；扇形统计图；概率统计 【解析】（1） m ? 0.51?100 ? 51；

12

看扇形可知 D 的百分数为15% ，则其频率为 0.15，则人数为 0.15?100 ? 15 ， 总人数为100，则C的人数?总人数?人数， （A、B、D）即n ? 100 ? 4 ? 51?15 ? 30 ；

（2） 圆周角为360! ，根据频率之和为

角的度数为 0.3×360°=108°

1，求出C的频率为0.3， 则“ C等级”对应圆心

（3） 将1名男生和3名女生标记为 A1、A2、A3、A4,用树状图表示如下：

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由树状图可知随机挑选2 名学生的情况总共有12 种，其中恰好选中1男和1女的情况有6 种， 概率??6 ?1

12 2

【点评】该题属于常规题，是我们平常练得较多的题目，懂得看扇形统计图以及抓住样本总量与频率和为 1 是关键。

23.（本题满分 8 分）如图，在?ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E、F，且 BE=DF.

（1） 求证：?ABCD 是菱形；

（2） 若 AB=5,AC=6，求?ABCD 的面积。

【解答】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 又∵BE=DF，

∴△AEB≌△AFD(ASA)． ∴AB=AD，

∴四边形 ABCD 是菱形．

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（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O

∵由（1）知四边形ABCD 是菱形，AC = 6． ∴AC⊥BD, AO=OC== AC = = × 6 = 3，

: :

∵AB=5,AO=3,

在Rt△AOB中，BO=√AB:?AO:=√5:?3:=4, ∴BD=2BO=8,

∴S?ABCD == AC ? BD = × 6 × 8 = 24

: :

=

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与性质、面积计算．

【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，由题目 AE⊥BC，AF⊥DC 得出∠AEB=∠ AFD=90°，因为 BE=DF,由 ASA 证明△AEB≌△AFD，可得出 AB=AD,根据菱形的判定，即可得出四边形ABCD 为菱形。

= AC=3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理 （2）由平行四边形的性质得出 AC⊥BD，AO=OC=: BO=√AB:?AO:可求BD,再根据菱形面积计算公式可求出答案。

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质和判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.（本题满分10分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60% ，乙仓库所存原料的40% ，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨. (1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？

(2) 现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和

100元/吨。经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10?a?30），从乙仓库到

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工厂的运价不变。设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W 关于 m的函数解析式（不

要求写出m的取值范围）；

(3) 在(2)的条件下，请根据函数的性质说明:随着m的增大，W的变化情况 .

【答案】(1)设甲仓库存放原料x吨,乙仓库存放原料y吨.

根据题意得：

解得??

?x ?y?450

??

?(1 ?40%)y ?(1 ?60%)x ?30

.

?x?240 ?y ?210

故甲仓库存放原料240吨,乙仓库存放原料210吨.

(2)据题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库运300 ?m吨原料到工厂

总运费. W ?(120 ?a)m ?100(300?m)?(20?a)m

?30000

随着m的增大而增大.

(3)①当10 ?a＜20， 20 ?a＞0，由一次函数的性质可知，W

②当a ??20时, 20 ?a=0，W 随着 m 的增大没有变化.

③当20 ?a ?30，则20 ?a＜0，W

随着 m 的增大而减小.

【考点】二元一次方程组；一次函数的性质及应用

【解析】(1)根据题意，可设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨，利用甲、乙两仓库的原料吨数之和为450吨以及乙仓库剩余的原料比甲的30吨.，即可列出二元一次方程组求解.

(2) 据题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库运300?m吨原料到工厂，甲仓库到工厂

的运价为120?a元/吨，由乙仓库到工厂的运价不变即为100元/吨，利用“运费=运价 ×数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费W .

(3) 本题考察一次函数的性质，一次项系数 20 ? a 的大小决定W随着m的增大而如何变化，

需根据题中所给参数a的取值范围， 进行3种情况讨论，判断20 ?a的正负，可依次得到

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20 ?a＞0、20 ?a=0即20 ?a＜0，即得W 随着 m的增大的变化情况.

【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用，根据题中的数量关系不难列出

二元一次方程组及总运费W关于 m的函数解析式，难点在于最后一问函数性质的运用，需

利用题中所给的数量参数a的范围，讨论一次项系数，W随着 m的增大而产生的变化情况.

25. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与 AB相交于点E ， 过点E 作EF⊥BC ，垂足为F ，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD。

（1） 求证： （2） 若 PG与⊙O相切；

EF5，求 BE的值；

?AC 8 OC

（3） 在（2）的条件下，若⊙O的半径为 8， PD ?OD，求OE的长.

【答案】】解：（1）证： 如图 1，连接OB ,则OB ?OD

??BDC ??DBO

∵弧 BC=弧 BC

??A ??BDC ??A ??DBO

又∵∠CBG=∠A

??CBG ??DBO

∵CD 是⊙O 直径

??DBO ??OBC ?90????CBG ??OBC ?90????OBG ? 90?点 B 在圆上，

?PG 与⊙O 相切

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（2）方法一：

如 图 2 过 O 作 OM ⊥AC 于 点 M

2 AOC ， , 链接 OA ，则∠AOM =∠COM = ∠

1AM = 1 AC

2

∵弧 AC =弧 AC ∴∠ABC = 1

∠AOC

2

又∵∠EFB =∠OGA = 90°

∴ ΔBEF ∽ ΔOAM

∴ EF AM =BE

OA

∵ AM = 1

2 AC , OA = OC

∴ EF BE 1

=2

AC OC 又 ∵ EF

AC ?5 8

∴

BE=2×EF=2×5=5 OC AC 8 4

方法二：

∵CD是⊙O直径

??DBC ?90??

∵

EF ⊥BC

??EFC ? 90??

又 ∵ ∠DCB =∠ECF

??DCB ∽ ?ECF ?EFDB ?EC DC

①

M

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又∵∠ BDE =∠ EAC

?DEB ??AEC ??DEB ∽ ?AEC

?DBBE AC ?EC

②①×② 得 ：?EF ?DB ?EC ?BE

DB AC DCEC

即 ?EF AC ?

BE DC ?BE 5 DC ?8

又∵ DC = 2OC

?BE 2OC ?5 8 ?BE 5 OC ?4

（3）∵ PD = OD ,∠PDO = 90°

?BD ?OD ? 8

在Rt?DBC中，BC? ?8又 ∵ OD = OB

??DOB 是等边三角形 ??DOB ? 60??

∵∠DOB =∠OBC +∠OCB , OB ?OC

??OCB ? 30???EF CE ?1 2 ， FC ?EF?

?可设 EF = x, EC = 2x, FC = 3x

?BF?8

?3x

在 Rt?BEF 中， BE

2

?EF 2 ?BF 2

?100 ?x2 ??

8

?3x

?2

解得： x?6??

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∵!6??

? 8，舍去

?x?6??

?EC ? 12 ? 2 ?OE?8?12?2

13?2

??

?4

【考点】切线的性质和判断；相似三角形

【解析】（1）要证为切线只需证明?OBG 为 90 度，?A 与?BDC 为同弧所对圆周角相等， 又?BDC ??DBO ，得?CBG ??DBO 即可证明。

（2）通过证明 2 组三角形相似，建立比例关系，消元后，再在直角三角形 BEF 中利用勾股定理求解即可。

【点评】本题第一问比较常规，第二问需要建立相似比之间的数量关系，第三问需要转化到一个直角三角形中利用勾股定理解题，还要对两个解进行处理，思路复杂，而且计算量较大， 属于较难的题目。

26.(本题满分 10分)如图，抛物线 y?ax?5ax?c与坐标轴分别交于点 A,C, E三点，其中

2

A(?3, 0), C(0, 4) ，点 B在 x轴上， AC?BC，过点 B作 BD?x轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是线段CO, BC 上的动点，且CM ?BN ，连接 MN, AM , AN.

（1） 求抛物线的解析式及点 D的坐标；

（2） 当△CMN是直角 三角形时，求点 M的坐标 ； （3） 试求出 AM?AN的最小值.

D（3，5）.

【答案】（1）抛物线的解析式为： y ??x?x ? 4 ；

2

1 5

6 6

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（2）M（0， （3）

16 9 ）或 M（0， 11

）

9

【考点】①用待定系数法求解析式；②动点形成相似三角形的运用；③全等三角形的证明， 动点中线段和最值问题的转化

【解析】解：（1）把点A（-3，0）、C（0，4）带入y?ax?5ax?c得

2

1?

a ?? ?9a ?15a ?c ? 0

??

??解得 ???6 ?c ? 4 ??c?4

1 2 5

∴抛物线的解析式为： y ??x?x ? 4

6 6

∵AC=BC, OC=OC

∴Rt△AOC ?Rt△BOC（HL） ∴OA=OB ∵A（-3，0） ∴B（3，0）

∵BD⊥ x 轴，D 在抛物线上 ∴D（3，5）

（2）由（1）得OC=4， BC=5，设 M（0， a ） ∵CM=BN

∴CM=BN=4-a，CN=BC-BN=5-（4-a ）=1+ a ①当∠CMN=90°时，△CMN∽△COB

∴M（0，

CMCN

由 ?得

CO CB 16

9

）

4-a1?a ?4 5

解得： a ?

16

9

②当∠CNM=90°时，△CNM∽△COB

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∴M（0， CMCN 由 ?得

CB CO 11

9

）

4-a1?a ?5 4

解得： a ?

11

9

11

综上所述：当△CMN 是直角三角形时 M（0， （3）连接 DN、AD，如右图， ∵BD⊥ y 轴 ∴∠OCB=∠DBN ∵∠OCB=∠ACM ∴∠ACM =∠DBN 又∵CM=BN，AC=BD ∴△CAM ?△BDN（SAS） ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN

当 A、N、D 三点共线时，DN+AN=AD 即 AM+AN 的最小值为AD ∵AB=6 , BD=5

∴在 Rt △ABD 中，由勾股定理得，

16 9 ）或 M（0， ）

9

AD= ?

??

.

∴AM+AN的最小值为

【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的综合运用，直角三角形的分类讨论，全等三角形的证明及线段和最值问题的转化思想，此题 1、 2 问难度适中，3 问综合性较强，难度较大。

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