历年中考真题二次函数精选

备战2012年中考数学

4.（2011.重庆）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)在平面直角

2坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a>0 B b<0 C c<0 D a+b+c>0

6.（2011.山东荷泽）如图为抛物线y?ax?bx?c的图像,A B C 为抛物线与坐标轴

2的交点，且OA=OC=1，

则下列关系中正确的是

A. a?b??1 B. a?b??1 ( 第 6 题图 ) C. b<2a D. ac<0

13.（2011.义乌）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x+3x图象的对称轴

2

交于点B.

（1）写出点B的坐标 ▲ ；

2

（2）已知点P是二次函数y=－x+3x图象在y轴右侧部分上的一 ．．

个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于 C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点 P的坐标为 ▲ .

D O

C

B

214.（2011贵阳）如图所示，二次函数y??x?2x?m的图

象与x轴的一个交点

为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. （1）求m的值；（3分） （2）求点B的坐标；（3分）

（3）该二次函数图象上有一点D(x,y)（其中x?0，y?0）， 使S?ABD?S?ABC，求点D坐标.（4分）

15.（2011.成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一

边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD。已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；

(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，清说明理由．

18.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），

抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分） （2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的

长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分） ．．．．（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：

第18题图

、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?5)，············1分

4

， 5

44224416x?4?(x?3)2? ∴y?(x?1)(x?5)?x?，···········2

55555 把点A（0，4）代入上式得：a?

分

∴抛物线的对称轴是：x?3．······································3分

（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5

分

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，

AM?OA2?OM2?42?32?5，因为抛物线对称

轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）．···································5分

（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解

答过程分析合理可酌情给1分）

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N(t,4224t?t?4)55（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：

44y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则

554G(t,?t?4)，

544224t?4）此时：NG=?t?4-（t?，

5554220t． ·=?t?·····································７

55分

∴

S?ACN?11420525NG?OC?(?t2?t)?5??2t2?10t??2(t?)2? 225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，

22542245t?4??3，∴N（， -3）由t?，得：y?t?． ········ 8

5522分

19.（2011.金华）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成

矩形OABC, 相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上, 设抛物线

y?ax2?bx?c（a＜0）过矩形顶点B、C.

（1）当n=1时，如果a=-1，试求b的值；

（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O.①试求当n=3时a的值；

y ②直接写出a关于n的关系式．

y y

M N

C C B B C F E ? B

O A x A x x O O

A y 图1 图2 图3 B C （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=

∴?1， 2O y M C A b1?,得b= 1； ??2分 2a22（2）设所求抛物线解析式为y?ax?bx?1，

由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（

x N B 1，2） 24?a??,?1?4a?2b?1，???3∴? 解得? 112?a?b?1.?b?8.??42?3?428∴所求抛物线解析式为y??x?x?1；??4分

33（3）①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线解析式为y?ax?bx，

2F E O A x 过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴OD?OC?1, CDBC3设OD=t，则CD=3t， ∵OD?CD?OC，

222y 110∴(3t)2?t2?12， ∴t?, ?101031010）, 又 B（10，0）∴C（，， 1010

∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得

C B O D A x ?0?10a?10b，10? 解得:a=； ??2分 ??3110310?a?b.?1010?10n2?1②a??. ??2分

n１．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与

点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.

（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在

关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF

与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.

EC FM A1 A A DP 图

C 图

B B1

B

A1 FA1 B

B1

E M C C DP B1

A DP 图

C

２.（本题１０分）如图４，在△ABC中，∠ACB=90?，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.

（1）试求sin∠MCH的值； （2）求证：∠ABM=∠CAH；

（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________.

A D （图４） M H

B

C

３．（本题满分1０分）

如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．

（1）求CD的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

A （3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．

B D C P Q （第３题图）

25．（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分3

分）

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90o，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．

（1） 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2） 如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=径；

（第25题图）

A C D O 1OB时，求⊙O1的半3B （3） 是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

24.如图10，已知抛物线y??x2?bx?c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点

B，且OA?OB.

y B A O x C (1) 求b?c的值；

(2) 若点C在抛物线上，且四边形OABC是 平行四边形，试求抛物线的解析式；

(3) 在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线， 与抛物线交于点P，求点P的坐标.

(图10) 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1P O2= 120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。 （1） 如图1，求∠AM B的度数；

（2） 当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AM B的度数不同于（1）中结论的情况？若

存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AM B的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AM B的度数同于（1）中结论；

（3） 当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。

A

P P B

O1 O2

O1 O2 M

Q 图1

Q 备用图

P O1

Q 图2

O2

24．（本题满分12分，第（1）、（2）题各6分）

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．

（1）求直线AD和抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标． ．．．．

yEC

D

x

ABOF

25.在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F． (1) 如图，当点F在线段DE上时，设BE?x，DF?y，试建立y关于x的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围； (2) 当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求x的值； (3) 联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值。 AD

F BE

25．如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物

2线y?ax?bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y?2x上． C（1）求m的值和抛物线y?ax?bx的解析式；

（2）如在线段OB上有一点C，满足OC?2CB，在x轴上有一点D（10，0），联结DC，且直线DC与y轴交于点E． ①求直线DC的解析式；

2②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点N的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

y B E C O A D x O E C A D x y B （第25题图） （第25题备用图） 如图6，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，

延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P．

(1)求AP的长；

(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由； (3)已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．

①求动⊙A的半径r1的取值范围； ②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围． BC P AED24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 图6 在平面直角坐标系中，抛物线y?x?bx?c经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一动点，如果直径为4的⊙P与y轴相切，求点P的坐标.

2y 5 4 3 2 1 y?x2?bx?c

-1 O 1 2 3 4 x -1 第24题图

24.（本题12分）如图10，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为?3,3?，正方形ABCD的边长为1. （1）求直线ON的表达式；

（2）若点C1的横坐标为4，求正方形A1B1C1D1的边长；

（3）若正方形A2B2C2D2的边长为a，则点B2的坐标为（ ）.

（A）?a,2a? （B）?2a,3a? （C）?3a,4a? （D）?4a,5a?

N y C2 D2 M C1 B1 C B D A B2 D1 A1 A2 O （图10） x 224．（ 12分）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)过点A(?3,0),B(1,0),C(0,3)三点

(1)求抛物线的解析式；

(2) 若抛物线的顶点为P，求?PAC正切值；

(3)若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标. 25．（本题满分14分）如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线

段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG.

（1）求证：?GEF是等腰三角形；

（2）设AE?x时，?EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围；

（3）在点E运动过程中?GEF是否可以成为等边三角形？请说明理由.

F

M D A

E

B G C

25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题每小题满分5分，第（3）小题满分4分）

已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，联结MF交线段AD于点P，联结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，

（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值；

（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由。 N K

A B E

G F

P

D M C

第25题图 25．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，∠ABE = 30°，BE = DE，联结

BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN // BD，与BE相交于点N． （1）如果AB?23，求边AD的长；

（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；

（3）判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．

B （第25题图）

A N E M D A E M D

N F

C

B （图1）

C

24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）①小题4分，第（2）②小题5分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA， OC=4， BC=3，OA=5，点D在边OC上，CD=3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E． （1）求点E的坐标；

C （2）二次函数y??x2?bx?c的图象经过点B和点E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴； ②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方， 满足S?CEM?2S?ABM，求点M的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E．

（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求?DPE的正切值；

（3）将△ABD沿直线AD翻折，得△AB/D，联结B/C．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值．

A A

C

（第25题图）

y B D O E （第24题图）

A x P E D

B

C

备用图

D

B

25．（本题满分14分）

已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD ?AD?BC?，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC=x．

CEOB（1）求证：AF?DM； HGMD（第25题图）

FA（2）当EM?AC时，用含x的代数式表达AD的长；

（3）在（2）题条件下，若以MO为半径的?M与以FD为半径的?F相切，求x的值.

24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

C（第24题）

BPEDQH A23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y??x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

yAOCxMB

26. (本题14分) 在直角梯形OABC中，CB//OA，?COA=90?，

CB=3，OA=6，BA=35。分别以OA、OC边所在直线为[来源:Zxxk.Com] x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系。 (1) 求点B的坐标；

(2) 已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，

OE=2EB，直线DE交x轴于点F。求直线DE解析式；

(3) 点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平

面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

y

M

B C D E

x

A O F

24. (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =

12x+1， 4点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

24．（2010广东广州，24，14分）如图，

（第24题）

APB上任一⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是?点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，

分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若

S＝43，求△ABC的周长. DE2C P D A O 22.（满分14分）

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y?2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线y?E B 12x?bx?c过点O、A两点。 6（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y?2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。

27．如图，二次函数y??129??x?c的图象经过点D??3,?，与x轴交于A、B两点． 22??⑴求c的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式； ⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2

28．（本题满分12分）已知：函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；

2

（2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象．．上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物

2

线y=ax+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

y

A

x B O

28．(8分)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运

动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE＝x 时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

F

MAD

E P

GBC

第28题

24．（本题14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动

点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出了沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动时间为t秒 （1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；

（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．

3

① 当t＞ 时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；

5

② 当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

B H F B1 G C 第24题

A D E

27．(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆

心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F (1)求证：OE∥AB； (2)求证：EH=

1AB； 2BH1BH?，求(3)若的值． BE4CE

28．已知抛物线y?x2?bx?c交x轴于A(1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC，过点O作直线OE?BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形； （3）问Q抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

24.如图,

21？3yyCCEAOADBxOMDBx（第28题）

设抛物线

2（第28题2）

C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是

(2,4),点B的横坐标是－2.

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为 (1, 2)，求点N的横坐标；

② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.

26．如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标

1

为(3，3)，AD为斜边上的高．抛物线y＝ax2＋2x与直线y＝x交于点O、C，点C的

2

横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S． (1)求OA所在直线的解析式． (2)求a的值．

(3)当m≠3时，求S与m的函数关系式．

(4)如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的

3

右侧作矩形RQMN，其中RN＝．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对

2

称图形时m的取值范围． y A E O P D 图①

B x O C Q E M y A C R N P D 图② B x

25. 如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2?c与x轴正半轴交于

点F(16，0)、与y轴正半

轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重

合，顶点C与点F重合； (1) 求拋物线的函数表达式；

(2) 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物

线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，

点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。 ? 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

? 在?的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

? 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m

的值；若不存

在，请说明理由。

y

E(A) B

x

O(D) 图1

F(C) y E A P y E B x x O 备用图

F F Q C O D 图2

25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

1. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结2BD，F为BD中点. （1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF?kEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD

中点，求线段CF长度的最大值．

AAA D

EE

DFFCB图1CB图2CB备图25． 已知：如图，抛物线y?ax2?2ax?c(a?0)与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、

B两点，点A的坐标为(?1,0)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标； （3）求?APD的面积．

22、（2011?福州）已知，如图，二次函数y=ax+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：

对称．

2

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

26、（2011?常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由．

抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E． （1） 求点E的坐标； （2） 求抛物线的函数解析式；

26．（本题12分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(?2,2),点B的坐标为(6,6)，

（3） 点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、

N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求

△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；

（4） 连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、

O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

1、41、（2009年枣庄市）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另

一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由． y A O B x 第24题图 2、（2009年株洲市）已知?ABC为直角三角形，?ACB?90?，AC?BC,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m?0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D． （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结

BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC?EC)为定值．

yB E

Q

D

OPFCAx 14、（2009年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

y

G J B C K D E H

x O I A F

（第24题）

24．已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设

PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

25．如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y?A M D

60B

P

Q C

124x?x?10与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴189交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜

9时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; 2(4)当t 时,△PQF为等腰三角形?

24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线y?和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．

⑴求b的值． ⑵求x1?x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

12x交于M（x1，y1）4y F M O l M1 F1 第22题图

N

x N1 ?y?kx?1?x?x1?x?x2答案：24．解：⑴b=1⑵显然?和?是方程组??12的两组y?yy?yy?x?1?2??4解，解方程组消元得x2?kx?1?0，依据“根与系数关系”得x1?x2=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

14由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M1N1．

l F P M O M1 F1 Q 第22题解答用图

N1 x N y 如图，设N点横坐标为m，则

如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数y?

k

的图象经过点O1，求k的值（用x

含a的代数式表示）解：（1）连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OC?OA2?AC2?25?9?4，1分 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，····························2分 ∴

ACAO35?，即?， ····················3分 COOB4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)····················4分

33 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分

11?OA?CE??CA?OC， 221112即：?5?CE??3?4，∴CE?，·························2分

225161212216222∴OE?OC?CE?4?()? ∴C(,)，·········3分

5555设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．

1612 把点A（5，0）、C(,)代入上式得：

55过C作CE⊥OA于点E，则：

4?k???5k?b?0???3 ， 解得：， ??161220k?b??b??5?5?3?20420 ∴y??x? ， ∴点B(O,)

333

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