概率统计作业题答案

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

1 第一章 概率论基础

一、填空题

1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P ，若A ，B 互不相容，则=)(B P 0.3 ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P 0.5 ．

2．设3

1)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为2719 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为94 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为2720 ．

3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 ．

4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为()n

p --11 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ()()111--+-n n p np p ．

5．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为41

,31,51，则此密码被译出的概率为

0.6 ． 二、选择题

1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ C ）．

（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；

（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．

2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ D ）．

（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；

（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；

（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；

（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．

3．设C AB ?，则 （ A ）．

（A ）C AB ?；（B ）C A ?且C B ?；（C ）C B A ? ；（D ）C A ?或C B ?．

4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ C ）．

（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；

（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．

5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ D ）．

（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；

（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．

三、计算与证明题

1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系．

（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2） A 和B 有一个发生，则C 必发生；

（3）若A 发生，则B 必不发生；（4） A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；

（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．

解 （1）C AB ?，即积事件AB 包含于事件C ；

（2）C B A ?)(U ，即和事件B A U 包含于事件C ；

（3）Φ=AB ，即积事件AB 为不可能事件；

（4）C AB =，即积事件AB 等于事件C 的对立事件C ；

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2 （5）B A =，即积事件A 等于事件B 的对立事件B ．

2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+． 证明 因为)(AC AB A ??，所以

)()()()()()()()(BC P AC P AB P ABC P AC P AB P AC AB P A P -+≥-+=?≥

3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：

（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球； （3）C 是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球． 解 ()()，

375.04

12313

3

4=???=

C A P ()()，

0625.04

23

1

4==C B P ()()．

5625.04

3313

2314==

C C C C P 4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任

意取出一个，求它有k 面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）．

解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数6)88(??=384， 其中88?为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．

二面涂有颜色的小立方体个数2

6

)48(??96=，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类

小立方体被重复计算2 次．

三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）． 0 面涂有颜色的小立方体个数 -??-68810002

6

)48(??=-8512．

所以3,2,1,0=k 的概率分别为

.

008.01000

8}3{;

096.01000

96}2{;

384.01000384}1{;512.01000512}0{3210==

====

====

======k P p k P p k P p k P p

5．设OA 是Ox 轴上长为1的线段，B 为OA 的中点，C 为OA 上任一点，求 线段OC ，CA ，OB 三线段能构成一个三角形的概率．

解 设,x OC = 则 .2

1

,1=

-=OB x CA 三线段能构成三角形，应有 ,,OC CA OB CA OC OB >+>+ 即

,12

1x x ->+

.12

1x x >-+ 解得 .434

1<

C 点可在 ]1,0[ 上取，但构成三角形的点只能在 ]4

3

,41[ 上取，故由几何概型可得所求概率为

2

1141

4

3=-

=p ．

6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：

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3 （1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；

（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率． 解 （1）设B i （i =0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i 个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡

都是好灯泡，显然

P B i ()=1

6，P A B C C i i ()=-1000100

1000

100，

().

78.05857.06557.07287.08099.09.0161

)

(61)()()(1001000

100

995

100100010099610010001009971001000100998100100010099910010001001000

50=+++++=+++++==∑=C C C C C C C C C C C C B A P B P A P i i i

（2）根据贝叶斯公式：

∑==50

000)

|()()

|()()|(i i i B A P B P B A P B P

A B P

100995

100

996100997100998100

9991001000100

1000

C C C C C C C +++++=

214.0=．

7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“· ”及“—”．由于通信系统受到干 扰，当发出信号“· ”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“· ”及“—”；又当 发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“· ”．求：

（1）收报台收到信号“· ” 的概率；

（2）收报台收到信号“—” 的概率；

（3）当收报台收到信号“· ”时，发报台确系发出信号“· ”的概率；

（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．

解 本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子．设A 表示事件 “发出信号“ · ”，A 表示事件发出信号“ — ”，B 表示事件收到信号“ · ”， B 表示事件收到信号“ — ”， 由题意可得

()()P B A P B A P B A (|).,|.,|.===080209，P B A ().=01，

6.0)(=A P ，4.0)(=A P ，

于是根据全概率公式和贝叶斯公式

（1）52.01.04.08.06.0)()()()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P

（2）48.09.04.02.06.0)()()()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P

（3）9231.052.08

.06.0)()()()(=?

==B P A B P A P B A P ，

（4）75.048.09

.04.

0)()()()(=?==B P A B P A P B A P ．

8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到 达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它 们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．

解 设 甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x 、y ，则所有基本事件可表示为：

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4 240,240≤≤≤≤y x ，

而“不需等候空出码头”的事件A 必需满足条件：

y x x y -≥-≥??

?1

2

， 可以用图中阴影面积：

()12

2322

2

2

+

表示，所有基本事件的面积为224，所以

()879.024

222232

2

2

=?+=

A P ．

第二章 随机变量

一、填空题

1．设随机变量X 的概率分布为：()3,2,1,32=??

?

??==k c k X P k

，则c ＝3827 ．

2．设随机变量X 的概率密度为： =)(x f ??

?>><<.

,

0),

0,0(,10,

其他k b x kx b

且75.021=????

??

>X P ，则k = 2 ，b = 1 ．

3．已知随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，则A = 0.5 ；

B =

π

1

；{}=<1X P 0.5 ；概率密度=

)(x f )

1(1

2

x +π ．

4．设随机变量X 的概率分布为：

{},3,2,1,0,!

===k k a k X P k

λ

…，其中0≥λ为常数，则a ＝

λ

-e

．

5．设随机变量)02.0,10(~2

N X ，已知?

∞

--

=

Φx x dx e

x 2

221)(π

，

9938.0)5.2(=Φ，则

X 落在区间（9.95，10.05）内的概率为 0.9876 ．

6．设平面区域D 由曲线x

y 1=及直线2

,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 服

从均匀分布，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度在2=x 处的值为 0.25 ．

二、选择题

1．设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为)(),(x F x f ，则下列选项中正确的是

（ B ）．

(A) 1)(0≤≤x f ； (B) )(}{x F x X P ≤=； (C) )(}{x F x X P ==； (D) )(}{x f x X P ==．

2．设x x f c o s )(=为随机变量X 的概率密度，则随机变量X 的可能取值充满区间 （ A ）．

(A) ??????2,0π； (B) ??????ππ,2； (C) []π,0 ； (D) ??????ππ47,2

3

．

3．设随机变量),(~2

σμN X ，且}{}{c X P c X P >=≤，则c = ( B )．

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5

(A) 0； (B) μ； (C) μ-； (D) σ．

4．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：2

1}1{}1{=

-==-=Y P X P ，

2

1}1{}1{=

===Y P X P ，则下列各式中成立的是 （ A ）．

(A) 2

1}{=

=Y X P ； (B) 1}{==Y X P ；

(C) 4

1}0{==+Y X P ； (D) 4

1}1{=

=XY P ．

5．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为：?????≤+=.

,

0,

1,

1

),(2

2

其他y

x y x f π

则随机变量X 与Y 为 ( C )． (A) 独立同分布； (B) 独立不同分布； (C) 不独立同分布； (D) 不独立也不同分布．

三、计算与证明题

1．设)(),(21x F x F 都是分布函数，又,0,0>>b a 且1=+b a . 证明a )()(21x bF x F + 也是分布函

数．

证明 令 ),()()(21x bF x aF x F +=

（1） ,000)()()(21=+=-∞+-∞=-∞bF aF F

.1)()()(21=+=+∞++∞=+∞b a bF aF F

对任意,R x ∈ 有111)()(00021=+=?+?≤+≤=?+?b a b a x bF x aF b a ， 即 .1)(0≤≤x F

（2）对任意0x ，),()0(0101x F x F =+ ),()0(0202x F x F =+ 故

)0()0()0(02010+++=+x bF x aF x F )()(0201x bF x aF +=).(0x F = （3）对任意 ,21x x < ),()(2111x F x F ≤ ),()(2212x F x F ≤ 故

).()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=

所以，)(x F 满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数．

2．问c 应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律．

f (k ) =

N

c ， k = 1, 2, , N ．

解 显然，)(k f 的值应是有限多或可列个，如果每个值都在]1,0[上，且和为1，则)(k f 是分布律． 由

,1)(1

==∑

=N

k N

c N

k f

得 1=c ． 3．一页书上印刷错误的个数服从参数5.0=λ的泊松分布．试求在一页书上印刷错误至少一个的概率．

解 设X 为一页书上印刷错误的个数，则

,!

2)(2

1k e

k X P k

-=

= ,2,1,0=k

一页书上印刷错误至少一个的概率为

.3935.01)0(1)1(5

.0≈-==-=≥-e

X P X P

4．设X 在 [0, 5] 上服从均匀分布，求方程02442

=+++X Xt t 有实根的概率． 解 方程有实根的充要条件是判别式0)2(44)4(2

≥+??-X X ，解得

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6 2≥X 或 1-≤X ，

注意到 ],5,0[∈X 舍去1-≤X ．所求概率为

5

35

1)2(52

=

=

≥?

dt X P ．

5．某市南郊到北郊火车站有两条路可走，第一条路线路程较短，但交通拥挤，所需时间X 服从N （50，100）；第二条路线路程较长，但交通不易阻塞，所需时间Y 服从N （60，16）．若有70分钟可用，应该走哪条路线？

解 选择走哪条路线合理的原则是，在给定的时间内到达火车站的概率较大．走第一条路线所需时间

X 服从),10,50(2N 所以

9772.0)2()105070(

)1050701050(

)70(=Φ=-Φ=-≤-=≤X P X P ，

走第二条路线所需时间Y 服从),4,60(2N 所以

,9938.0)5.2()4

60

70(

)460

70460

(

)70(=Φ=-Φ=-≤

-=≤Y P Y P

可见),70()70(≤>≤X P Y P 故应走第二条路线．

6．一箱中有3个白球和3个黑球．作一系列的不放回取球，直至首次出现白球为止，设X 是取出的球数．接着继续取球，直至首次出现黑球为止，设Y 是第二个序列中取出的球数．试求（X ，Y ）的联合分布和边缘分布，X 与Y 是否相互独立？

解 ),(Y X 是二维离散型随机变量，X 可能取的值是1，2，3，4；Y 可能取的值是0，1，2，3（在取黑球时，球最多可能是5个，2个白球，3个黑球，至多在第三次一定会取到黑球）．

2065363)1,1(=?===Y X P ， 203

435263)2,1(=??===Y X P ， 20133415263)3,1(=???===Y X P ， 203

425363)1,2(=??===Y X P ，

20232425363)2,2(=???===Y X P ， 201

2231425363)3,2(=????===Y X P ，

201

31435263)1,3(=

???=

==Y X P ， 2012132435263)2,3(=????=

==Y X P ，

,20111213

2

435263)3,3(=???

??===Y X P ,20133415263)0,4(=???===Y X P 0)3,4()2,4()1,4(=========Y X P Y X P Y X P ， 0)0,3()0,2()0,1(=========Y X P Y X P Y X P ．

),(Y X 关于Y X ,的边缘分布分别为： ,20

10)1(==X P ,20

6)2(==X P ,203)3(=

=X P ;201)4(=

=X P

,201

)0(=

=Y P ,2010

)1(=

=Y P ,206

)2(==Y P .20

3)3(==Y P

因为 )2()4()2,4(==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不相互独立．

7．已知二维随机变量),(Y X 的密度函数为：

),(y x f ??

?>>+-.,

0;

0,0,)32(其他y x Ae y x （1） 求系数A ；（2） 分布函数),(Y X F ； (3) 概率)632(≤+Y X P ．

解 （1）由

,16

),(0

)

32(==

=

??

??

∞+∞++-∞+∞

-∞+∞

-A d x d y Ae

dxdy y x f y x

解得 6=A ．

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7

（2）当 0≤x 或 0≤y 时，.0),(=y x F 当 0,0>>y x 时，),1)(1(6),(320

)

32(y

x

x y y x e

e

dxdy e

y x F --+---==

??

故 ?

??≤≤>>--=--.00,0;

0,0),1)(1(),(32y x y x e e y x F y x 或

（3） ?

???-+-≤++-==

≤+3)3(20

)

32(3

6

32)

32(66)632(x y x y x y x dy e

dx dxdy e

Y X P

.9826.0716

≈-=-e

8． 随机变量),(Y X 的联合密度为：=),(y x f ??

?

??

>>++.

,0;0,0,)1(23

其他y x y x

求1=X 条件下Y 的条件密度．

解 当 0>x 时，有 .)

1(1)

1(2)(2

3

x dy y x x f X +=

++=

?

∞

故 ??

???

≤>+===.0,0,0,)

2(8)1(),1()1|(3

|y y y f y f x y f X X Y 9．设随机变量X 的密度函数为)

1(1

)(2

x x f X +π=，求随机变量3

1X Y -=的密度函数)(y f Y ．

解 Y 的分布函数

)1()1()()(33

y X P y X P y Y P y F Y -≥=≤-

=≤=

))1((3

y X P -≥=?

∞+-+=3

)1(2

)1(y x dx

π

))1arctan(2

(13

y --=

ππ， 因此Y 的密度函数为：

6

2)

1(1)

1(3

))(()(y y y F y f Y Y -+-?

=

'=π．

10．随机变量Y X ,相互独立，其密度函数分别为 ???≤≤=.,0,

10,1)(其他x x f X ??

?≤>=-.

0,

0,0,)(y y e y f y Y

求随机变量Y X Z +=2的密度函数．

解 因为X 与Y 相互独立，所以Z 的密度函数为

?

?

-=

-=

∞+∞

-10

)2()2()()(dx x z f dx x z f x f z f Y Y X Z

?????????>-≤<-≤=???????

??>≤<≤=------??.2,)1(2

1,20),1(21,0,0.2,,20,,0,021

)2(20)2(z e e z e z z dx e z dx e z z z x z x z π

11．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处．

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8

一、填空题

1．设随机变量X 的数学期望2=EX ，方差4=DX ，则2EX = 8 ．

2．设随机变量),(~p n B X ，已知28.1,6.1==DX EX ，则参数n = 8 ，p = 0.2 ． 3．设随机变量)(~λP X ，且}2{}1{===X P X P ，则EX = 2 ，DX = 2 ． 4．设随机变量X 的数学期望为μ，均方差0>σ，则当a =σ

μ+

，b =σ1

± 时，

1)(,0)(=+=+bX a D bX a E ．

5．设6.0,1,4=ρ==XY DY DX ，则)23(Y X D -= 25.6 ． 6．设),(~),,(~2

222

11σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则 （1）~Y X +()22

2

121,σ

σμμ++N ；

（2）~32Y X -)94,32(22

2121σ

σμμ+-N ．

7．321,,X X X 都服从[0, 2 ]上的均匀分布，则)23(321X X X E +-= 4 ． 8． 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4， 则2X 的数学期望=)(2X E 18.4 ．

二、选择题

1．设X 是随机变量，0x 为任意实数，EX 为X 的数学期望，则 （ B ）．

（A ）20)(x X E -=2)(EX X E -； （B ）20)(x X E -≥2

)(EX X E -； （C ）20)(x X E -<2

)(EX X E -； （D ）20)(x X E -= 0.

2．人的体重为随机变量X ，已知b DX a EX ==,，10个人的平均体重记为Y ， 则下列结论正确的是 （ A ）． （A ）a EY =； （B ）a EY 1.0=； （C ）b DY 01.0=； （D ）b DY =．

3．随机变量X 的2

,,EX DX EX 都存在，则一定有 （ B ）． （A ）0≥EX ； （B ）0≥DX ； （C ）2

2

)

(EX

EX >； （D ）EX EX

≥2

．

4．若随机变量),(~2

σμN X ，且1,3==DX EX ，则}11{≤≤-X P =（ B ）． （A ）1)1(2-Φ； （B ）)2()4(Φ-Φ； （C ）)2()4(-Φ--Φ； （D ）)4()2(Φ-Φ．

5．若X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有 （ B ）． （A ）X 与Y 独立； （B ）X 与Y 不相关； （C ）0=DY ； （D ）0=?DY DX ．

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6．若存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y P ，且DX 存在，则XY ρ为（ C ）． （A ） 1； （B ）-1； （C ）

a

a ； （D ）1<ρXY ．

7．设随机变量X 和Y 独立同分布，记Y X V Y X U +=-=,，则随机变量U 与V 必然 （ D ）．

（A ）不独立； （B ） 独立； （C ）相关系数不为零；（D ）相关系数为零．

三、计算题

1．设随机变量

X

的概率密度为

??

?

??≤<-≤<=.,0,

21,2,10,

)(其它x x x x x f 求

)(),(X D X E ．

解

1

210

21

2

=-+

=

=

?

?

?

∞+∞

-dx x x dx x dx x xf X E )()()(，

(

)67210

21

2

3

2

2

=

-+

=

=?

?

?

∞+∞

-dx x x dx x dx x f x X

E )()(,

()6

12

2

=

-=)]

([)(X E X

E X D ．

2．设),(Y X 的联合概率密度为

??

?<<<<--=.

,

0,10,10,

2),(其它y x y x y x f ，

求

XY

Y X Cov XY E DX EX ρ),,(),(,,。

解

12

521

10

=

--=

=??

?

?

∞+∞

-∞+∞-dy y x dx x dy

y x f x dx X E )(),()(，

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

10 41

)2(101022=--=??dy y x dx x EX ，

所以

14411

)(22=-=EX EX DX ，

又由对称性可知

14411

,125

==DY EY .

6

1)2(1

010=--=??dy y x y dx x EXY ,1441

),(-=?-=EY EX EXY Y X Cov ,

111

)

,(-=?=DY DX Y X Cov XY ρ.

3．设随机变量)(~λP X ，且8.0=EX ，令随机变量

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

11 ?????>≤<≤=4,04

1,81,10X X X Y ，求EY ？

解 因为

8.0=λ=EX ，故()8.0~P X ， 8088

080101108080..}{}{}{}{..=+==+==≤==e

e X P X P X P Y P ,1898.0!

48.0!38.0!28.0}

4{}3{}2{}41{}8{8.048.038.02=++==+=+==≤<==e e e X P X P X P X P Y P

P{Y = 0} = 1 - 0.8088 - 0.1898 = 0.0014， 从而 6.91898.088088.010=?+?=EY ．

4．对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 [a, b] 内，求圆面积的数学期望．

解 设圆的直径为X ，则X 在 [a, b] 上服从均匀分布,概率密度为

=

)(x f ?????∈-,,0],,[,1其他b a x a b 设圆的面积为Y ，则24X Y π=

．

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

12 故，

)

()(2

22

12

14

b ab a dx a

b x Y E b a

++=

-?

=

?

π

π

．

5．已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率．

解 设X 为10000个新生婴儿中男孩的个数，则)

,(~p n B X ，其中n=10000，p=0.515，10000个新生婴儿中女孩不少于男孩，即

5000

≤X ，由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为

{}

.

..)()()().(..).(..)()()

(0013099870131103351501515010000515

010000051501515010000515

01000050001500011050000=-=Φ-≈-Φ--Φ≈??

?

?

??

-??-Φ-????

?

?-??-Φ≈????

?????

?--≤--≤

--=≤≤p np np p np np

X p np np P X P

6．设

)

10,,2,1( =i X i 相互独立，且在（0, 1）上都服从均匀分布，

试利用中心极限定理计算??

?

???>∑=6101

i i X P 的近似值． 解

由已知

，

5.0)(10

===?

x d x

X E i μ，

3

1)(10

2

2

=

=

?

dx x X E i ，

()12

14

13

1)()(2

2

2

=

-

=

-=i i X E X E σ

，

由中心极限定理，得

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

13

???????

???

????

-≤

--=???

???≤-=??????>∑∑∑===σμσμn n n n X P X P X P i i i i i i 6161610

110

1

101

?

?????

???-Φ-≈???

????????????-≤?--=∑=121105.010********.010*******.010110

1

i i X P 1357

.08643.01)095.1(1=-=Φ-=．

第四章 参数估计

一、填空题

1．若总体的分布函数为)(x F ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的分布函数),,,(21n x x x F =∏=n

i i x F 1

)( ，

设总体)

(~λe X ，试写出样本（

n

X X X ,,,21 ）的概率密度函数

),,,(21n x x x f =?

?

?≥++-.

,

0;

0,,,,21)

(1其他n x x n

x x x e n λλ ．

2．设有样本值0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， 试用计算器计算x = 0.5089 ，2

s = 0.000118 ．

3．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2

σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值X 服从

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

14 ),

(2

n

N σ

μ分布，若i a 为常数（n i a i ,,2,1,0 =≠）

，则∑=n

i i i X a 1

服从??

?

??

∑

∑==n i i n

i i a a N 1

22

1

,σ

μ分布．

4．总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2S 是样本方差，n 为样本容量，则常 用的统计量

=

U n

X σμ

-)1,0(~N ；=

T n

s

X μ-)1(~-n t ；=

2

χ

2

2

)1(σ

s

n -)1(~2

-n χ．

5．设随机变量4321,,,X X X X 独立且都服从),0(2

1N ，则221)(X X + 243)(X X ++服从)2(2χ分布，若要使)2(~)(224322

1χ+++X X X b aX ，则需a = 2 ，b =

3

2 ．

6．设4321,,,X X X X 是来自正态总体)2,0(2N 的简单随机样本，则

24

2

322

1

3X

X X

X ++服从

)3(t 分布，2

4

23222

1X X X X ++服从)2,2(F 分布．

7．已知来自正态总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本，样本均值

5=x ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是［4.412，5.588］ ．

二、选择题

1．设总体),(~2σμN X ，其中μ已知，而2σ是未知的，321,,X X X 是总体的一个样本，试问哪个不是统计量 （ C ）． （A ）∑==

3

1

3

1

i i

X X ；（B ）μ-+31X X ；（C ）

2

3

1

2

)(1∑=-σ

i i

X X

；

（D ）2

3

1

)(3

1

∑=-i i

X X ．

2．设总体)2,1(~2

N X ，1001,,X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，已知

)1,0(~N b X a Y +=，则有 （ A ）． （A ）5,5=-=b a ；（B ）5,5==b a ；（C ）5

1,51-==b a ；（D ）51

,51=-=b a ．

3．设n X X X ,,,21 为总体X 的简单随机样本，2,σμ==DX EX ，2

,S X 分别为样本均值及样本方差，则下列结论正确的是 （ B ）．

（A ）S X ,分别是σμ,的无偏估计； （B ）2

,S X 分别是2

,σμ的无偏估计；

（C ）2,S X 分别是2,σμ的矩估计量； （D ）2,S X 分别是2

,σμ的极大似然估计量．

三、计算题与证明题

1．从正态总体)3.6,52(2

N 中随机抽取容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．

解 )05.1,52(36

3

.6,52~22

N N X =???

?

?

?,

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

15

)14.1()71.1(}71.105

.152

14.1{}8.538.50{-Φ-Φ=<-<

-=<

=8293.01)14.1()17.1(=-Φ+Φ.

2．从正态总体)5.0,(2

μN 中抽取样本1021,,,X X X ，已知0=μ，求概率}4{10

1

2

≥∑=i i X P ；（2）未

知μ，求概率}85.2)({210

1

≥-∑=i i X X P ．

解 (1)

)10(~5.01)(12

10

122

10

12

2

χ=

μ-σ

∑∑==i i

i i

X

X

，

10.0}165

.045

.01{

}4{2

10

1

2101

==≥

=≥∑

∑==i i i i X P X P (查表)．

(2)

)9(~)(5

.01)(12

101

2

2

10

1

2

2

χ-=

-σ

∑∑==i i

i i

X X

X X

，

}4.115

.085.2)(5.01

{

}85.2)({2

2

10

1

2

2

10

1

=≥

-=≥-∑∑==i i

i i X X

P X X P

25.0= (查表)．

3．设n X X X ,,,21 )2(≥n 为正态总体),(2

σμN 的一个样本，∑-=+-=1

1

21)(n i i i X X c Q 为2σ的无偏

估计，求c ．

解 2

1

1

,σ===μ===n

n

DX

DX

EX

EX

,

因为i i X X ,1+相互独立, 所以0),cov(1=+i i X X ,

∑∑-=+++-=++--+-=---=1

112

2

1

11

12

1

1)}

,cov(2)()({)]

()[(n i i i i i i i n i i i i i X X EX X E EX

X E c EX X EX

X E c EQ

=2

21

1

1

1

2

1

)1(22)(σ=σ-=σ

=+∑∑-=-=+c n c DX DX

c n i n i i i ，

所以 )

1(21-=

n c .

4．总体X 服从几何分布，分布律为 ,2,1,)

1(}{1

=-==-x p p x X P x ，其中p 未知参数，且

10<

解 (1) 因为p

p kp k X kP X E k k k 1)

1(}{)(1

1

1

=

-===∑

∑

∞

=-∞

=，所以，令

∑

==

==

n

i i X n

X p

X E 1

11)(，得p 的矩估计量为：X

p 1^

=

．

（2）似然函数为：n

X n

n

i X n

i i n

i i i p p p p X X

P p L -=-=∑-=-

=

==

=∏∏1

)1()

1(}{)(1

1

1

，

两边取对数 )1l n (

ln )(ln 1p n X p n p L n

i i -??

?

??-+=∑=， 令

01)

(ln 1

=---

=

∑=p

n

X

p

n dp

p L d n

i i

，得p 的极大似然估计量为X

p 1^

=

．

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

16 5．总体),(~2σμN X ，现从总体X 中抽取容量为9的样本，经观测与计算得样本均值1.20=x ，样本均方差203.0=s ．

（1）若已知21.0=σ，求μ对应于置信度为0.95的置信区间． （2）若σ未知，求μ对应于置信度为0.95的置信区间． （3）若μ未知，求2σ对应于置信度为0.95的置信区间．

解 （1） 查标准正态分布表，得96.1025.02

==Z Z α，由样本观测值，得

9628.19921.096.11.202

=?-=-n

Z X σα

， 2372.209

21

.096.11.202=?

+=+n Z X σ

α

，

故μ对应于置信度为0.95的置信区间为［19.9628，20.2372］；

（2）查t 分布表，得306.2)8()1(025.02

==-t n t α，由样本观测值，得

944.199203.0306.21.20)

(2

=?-=-n s n t X α，

256.209203

.0306.21.20)

(2

=?

+=+n s

n t X α，

故当σ未知时，μ对应于置信度为0.95的置信区间为［19.944，20.256］；

（3）查2χ分布表，得535.17)8()1(2

025.022

==-χχαn ，

18.2)8()1(2

975.022

1==--

χχ

α

n ，由样本观测值，得

0188.0535

.17203.08)

1()1(2

22

2

=?=

--n s

n αχ，

1512.018

.2203.08)

1()1(2

22

12

=?=

---

n s

n α

χ

，

故当μ未知时，2σ对应于置信度为0.95的置信区间为［0.0188，0.1512］．

6．为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机的选择8块地段，在各试验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产量是（单位：公斤）： 一号方案：86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案：80 79 58 91 77 82 74 66

假设两种产量都服从正态分布，分别为()21,σμN ，()2

2,σμN ，2σ未知，求21μμ-的置信度为95％的置信区间．

解 本题是两个正态总体，已知2

221σσ=，但其值未知，求期望差21μμ-的置信区间，由给定的两组样本观测值，有

696.145,625.81,8211===s x n ，125.102,875.75,82

22===s y n ，

910.12314

125

.1027696.14572

=?+?=

w s ， 75.5875.75625.81=-=-y x ，

查t 分布表，得 1448.2)14()2(025.0212

==-+t n n t α， 从而 94.11818191.1231448

.211)2(2

1

212

=??

?

??+?=+

-+=?n n s n n t w

α，

故21μμ-的置信度为95％的置信区间为：

()()()69.17,19.694.1175.5,94.1175.5,-=+-=?+-?--y x y x ．

第五章 假设检验

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

17

一、填空题

1．在显著性假设检验中，可能犯第一类错误是指 “弃真” 错误，第二类错误 是指“纳伪”错误，若要使犯两类错误的概率同时减少，则只有增加 “样本容量” ．

2．设n X X X ,,,21 为来自正态总体()2

,σ

μN 的样本，2

σ

未知，要检验假设

0H ：0μμ=，则应选取的统计量是 n S

X T 0

μ-=

；当0H 成立时，该统计量

服从 自由度为n -1的 t 分布；设显著水平为α，若备择假设为1H ：0μμ≠，则

拒绝域为 )1(2

->n t T α ；若备择假设为1H ：0μμ>，则拒绝域为 )1(->n t T α ；若备择假设

为1H ：0μμ<，则拒绝域为)1(--

3．设n X X X ,,,21 为来自正态总体()2

,σ

μN 的样本，0μμ

=已知，要检验假设0H ：20

2

σ

σ

=，

则应选取的统计量是()

20

1

2

0σ

μ∑=-=

n

i i

X

K ；当0H 成立时，该统

计量服从)(2n χ分布；设显著水平为α，若备择假设为1H ：20

2

σ

σ≠，则拒绝域为

)(22

1n K α

χ

-

<)(,22

n K αχ>或 ；若备择假设为1H ：20

2

σσ

>，则拒绝域为

)(2

n K αχ> ；若备择假设为1H ：2

02

σσ<，则拒绝域为)(2

1n K αχ-< ．

二、选择题

1．设n X X X ,,,21 为来自正态总体()2

,σ

μN 的样本，2

σ

已知，在显著性水平05.0=α下接受0H ：

0μμ=．若将α改为0.01时，下面结论中正确的是（ B ）．

(A) 必拒绝0H ； (B) 必接受0H ；

(C) 犯第一类错误的概率变大； (D) 犯第二错误的概率变小． 2．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示备择假设，则称为犯第二类错误的是

（ C ）．

(A) 1H 不真，接受1H ； (B) 0H 不真，接受1H ； (C) 0H 不真，接受0H ； (D) 0H 为真，接受1H ．

3．设n X X X ,,,21 为来自正态总体()2

,σμN 的样本，μ

和2

σ

为未知参数，且∑==

n

i i

X

n

X 1

1，

()

∑=-=

n

i i

X

X

Q

1

2

2

，则检验假设0

H ：μ＝0

时，应选取的统计量为

（ A ）． (A)

Q

X n n )

1(-； (B) Q

X n

； (C) Q

X n 1

-； (D) 2

Q

X n

．

三、计算与证明题

1．正常人的脉搏平均为72次／分，现某医生测得10例慢性四乙基铅中毒者的 脉搏（次／分）如下：54 67 68 78 70 66 67 70 65 69, 问患者与正常

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

18 人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布．05.0=α）？

解 设患者每分钟内的脉搏次数为X ，则()2,~σ

μN X ．把从X 中抽取的容量 为n 的样本均值记为x ，样本标准差记为s ，本题是在显著性水平05.0=α下检验假 设72:;

72:10≠=μμH H ，拒绝域为 )1(72

2-≥-=

n t n s x t α,

由样本观测值得 n ＝10，∑==n

i i x n x 11＝67.4，()93.51112=--=∑=n i i x x

n s ，

查t 分布表得 2622.2)110(025.0=-t ，

于是 2622.2453.21093.572

4.67>=-=t ．

所以拒绝假设72:0=μH ，即在显著性水平0.05下，认为患者与正常人的脉搏有显著差异．

2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩低于70分？并给出检验过程．

解 设该次考试的考生成绩为X ，则()2,~σμN X ．把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为x ，样本标准差记为s ，本题是在显著性水平05.0=α下检验假设

70:;70:10<≥μμH H ，

拒绝域为 )1(70

--≤-=n t n s

x t α 由n ＝36，x ＝66.5，s ＝15，查t 分布表得 6896.1)136(05.0=-t ，算得

6896.14.170->-=-=n s

x t ， 所以接受假设70:0≥μH ，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩不低于70分．

3．一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于1200小时，标准差不得超过50小时，今在一批元件中抽取9只，测得平均寿命1178=x 小时，标准差54=s 小时．已知元件寿命服从正态分布，试在05.0=α下确定这批元件是否合乎要求？

解 设元件的寿命为X ，则()2,~σμN X ．把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为x ，样本标准差记为s ，本题是在显著性水平05.0=α下检验假设

1200:;1200:1101<≥μμH H ，

50:;50:1202>≤σσH H ．

假设01H 的拒绝域为 )1(1200--≤-=

n t n s x t α， 假设02H 的拒绝域为 )1(50

)1(2

22->-=n s n k αχ， 由已知9=n ，1178=x ，54=s ，查t 分布表得

8595.1)19(05.0=-t ，

查2χ分布表得 507.15)19(205.0=-χ，

于是算得

8595.122.19541200

1178->-=-=t ，

507.153312.95054

)19(22

<=-=k ，

概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：

19

所以接受假设01H 和假设02H ，即认为这批元件合乎要求．

4．化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70度和80度的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力（公斤）的数据如下： 70（C ）：20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2; 80 (C )：17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1. 已知产品断裂力服从正态分布，检验：

（1） 两种温度下产品断裂力的方差是否相等（取α=005.）？

（2） 两种温度下产品断裂力的平均值是否有显著差异（取α=005.）？ 解 设两种温度下产品的断裂力分别为X 、Y ，则()211,~σμN X ，()2

2

2,~σ

μN Y ．

（1）μμ12,未知，要检验假设：H H 012112:;:σσσσ=≠,

由样本观测值算得 829.0,886.02

221==s s , 查F 分布表，得

,

99.4)7,7()1,1(025.0212

==--F n n F α

2.0)

7,7(1)7,7()1,1(025.0975.0212

1≈=

=---

F F n n F

α，

于是 99.407.1829

.0889.02.02

2

21

<==

=

所以接受原假设 H 0,即认为两种温度下产品断裂力的方差是相等. （2） 由（1）知：σσ12=,要检验假设：

H H 012112:,:μμμμ=≠,

由样本观测值可算得

8,829.0,4.19;8,889.0,4.2022

212

1======n s y n s x ，

查t 分布表得 14.2)14(025.0=t , 于是 14.216.2112

1

>=+-=

w

s n n y x T ，

所以拒绝原假设 H 0,即认为两种温度下产品断裂力的平均值有显著差异.

5. 按测量仪器的分度读数时, 通常需要大致估计读数的最后数字.理论上这个 数字可以是 0, 1, 2,…,9 中的任何一个,并且每个数字的出现是等可能的.但是,实际 上往往发生偏重某个数字的现象.下表中列出200次读数的最后数字的统计分布:

利用χ2

准则检验观测结果是否含有系统误差, 即读数的最后数字是否有偏重某一个 数字的现象. 如果没有偏重现象, 则读数的最后数字应该服从均匀分布, 即每一个数 字出现的概率i p =0.10 (取α=0.05).

解 假设0H ：最后读数服从均匀分布,即 p i i ==01019.,(,,,) .

∑

∑

===??-=

-=

10

1

2

1

2

2

9.2410

.0200)

10.0200()

(i i n

i i

i i m np np m χ,

因为χχ2

0052

2499169=>=.()..,所以拒绝原假设H 0, 即有偏重现象．实际上，由试验结果可以看出，数字“0”和数字“5”出现的次数较多，数字“6出现的次数较少．