北京市顺义区2014年高三二模数学文科试题

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学（文科）试卷

2014.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项. 1. 已知集合A??x|0?x?3?,B??x|x?2?0? ,则集合AB?

A.(0,2) B. (0,3) C.(2,3) D.(2,??) 2.已知直线l1:x?2y?1?0与直线l2:mx?y?0平行，则实数m的值为 A.

11 B. ? C.2 D.?2 223.“???2”是“cos??0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图

是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为

A.4? B. 2? C.

4?2? D. 33正视图左视图俯视图5.已知向量a?(1,1)，b?(?2,3)，若ka?b与a垂直，则实数k?

A.

1155 B. ? C. D.? 22226. 执行如图所示的程序框图，若输入x?2， 则输出y的值是

A．2 B． 5 C． 11 D． 23

x?0,?log1x,?27.已知函数f(x)??若关于x的方程f(x)?kx?x?0,?2,有两个不等的实根，则实数k的取值范围是 A．(0,??) B． (??,1) C．(1,??) D．(0,1] 8.已知点A在抛物线y2?4x上，且点A到直线x?y?1?0的距离为2，则点A 的个数为

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.

9.某学校有初中生1200人，高中生900人，教师120人，现采用分层抽样的方法，

从所有师生中抽取一个容量为n的样本进行调查.如果从高中生中抽取60人，则样本容量n?_________. 10.复数

i?2?_________. 1?2i2y2?1的渐近线方程为____________. 11. 双曲线x?4?y?x,?12.已知x,y 满足约束条件?x?y?1, 则z?2x?y的最小值为________.

?y??1,?13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a?c?6，sin则cosB?_______;b?________.

14.数列?an?的前n项和为Sn.若数列?an?的各项按如下规则排列：

B3?， 23112123123412n?1,,,,,,,,,??????,,????????? 2334445555nnn

则a15?_____;若存在正整数k，使Sk?1?10,Sk?10，则ak?_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?a?sin2x?cos2x的图象过点(,0). 28（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期及最大值.

16. （本小题共13分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；.

（Ⅱ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅲ）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率. 17. （本小题共14分）

如图：已知长方体ABCD?A1BC11D1的底面ABCD是边

D1B1C1P为CC1的中点， 长为2的正方形，高AA1?22，A1PAC与BD交于O点.

（Ⅰ）求证：BD?平面AAC11C；

ADOCB（Ⅱ）求证：AC1∥平面PBD； （Ⅲ）求三棱锥A1?BOP的体积.

18. （本小题共13分） 已知数列??1??是公差为2的等差数列，且a1?1. ?an?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设数列?anan?1?的前n项和为Tn.

证明：

11?Tn? . 3219. （本小题共14分）

已知椭圆E的两个焦点分别为(?1,0)和(1,0),离心率e?（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m（k?0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB 的垂直平分线过定点P(,0)，求实数k的取值范围. 20. （本小题共13分） 已知函数f(x)?2. 21213x?2x2?ax?b的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为 3y?3x?5.

（Ⅰ）求实数a,b的值； （Ⅱ）设g(x)?f(x)?m. x?2①若g(x)是[3,??)上的增函数，求实数m的最大值；

②是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y?g(x)围成两个封闭图形，则 这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准

题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 A 6 D 7 D 8 C 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分 9.148；10．i ；11.y??2x；12．?3；13．,22； 14. a15?1356,ak? 67三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题共13分）

asin2x?cos2x 2?a??f(x)的图象过点(,0)，?sin?cos?0，————3分

8244解得a?2————7分

解：（Ⅰ）由已知函数f(x)?（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数f(x)?sin2x?cos2x?2sin(2x?)———9分

4??最小正周期T?2???，———11分 2最大值为2.————13分

16.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）茎叶图

甲乙8726278982285 ————3分

（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方 差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好. ———6分 （Ⅲ）记事件A： 甲的成绩比乙高

从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：

?86,78?,?86,82?,?86,88?,?86,82?,?86,95??77,78?,?77,82?,?77,88?,?77,82?,?77,95??92,78?,?92,82?,?92,88?,?92,82?,?92,95? ?72,78?,?72,82?,?72,88?,?72,82?,?72,95??78,78?,?78,82?,?78,88?,?78,82?,?78,95?共25个. ————9分 事件A包含的基本事件有

?86,78?,?86,82??86,82?,共7个————11分

?92,78?,?92,82?,?92,88?,?92,82?,?P(A)?7————13分 2517．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）底面ABCD是边长为正方形，?AC?BD

A1A?底面ABCD，BD?平面ABCD?A1A?BD————3分

A1AAC?A，?BD?平面A1ACC1——5分

（Ⅱ）连结PO，

D1B1C1P为CC1的中点，O为AC的中点

A1P?AC1∥PO，————7分

D又OP?平面PBD，AC1?平面PBD

COB?AC1∥平面PBD————10分

（Ⅲ）

AAA1?22，AO?2，?AO?10， 1同样计算可得A为等腰三角形，————12分 11P?10，?AOPCO?CP?2，?OP?2，?等腰三角形AOP的高为3 11?VA1?BOP?S3A1OPOB ?2————14分

18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由已知??1?11??(n?1)?2，又a1?1，?是公差为2的等差数列， ?aaa1?n?n?1?2n?1————3分 an

?an?1————5分 2n?111111??(?)————7分 （Ⅱ）anan?1?2n?12n?122n?12n?1?Tn?a1a2?a2a3?a3a4?????anan?1

111111(1?????????) 23352n?12n?1n?————9分 2n?1?Tn?111，Tn随n的增大而增大，?Tn?T1?————11分 ?322(2n?1)又Tn?111??————12分 22(2n?1)211??Tn?.————13分 3219．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x轴上，c?1，

c2， ?a2?a?2，b?1，————2分

x2?椭圆E的方程为?y2?1————4分

2?y?kx?m?222y（Ⅱ）?x2，消去得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0————6分 2??y?1?222直线l与椭圆有两个交点，??0，可得m?1?2k（*）————8分

设A(x1,y1)，B(x2,y2)

?x1?x2??4km?2kmABx?，中点的横坐标 ?0221?2k1?2kAB中点的纵坐标y0?kx0?m?m————10分 21?2k?AB的中点D(?2kmm,)

1?2k21?2k211'设AB中垂线l的方程为：y??(x?)

k2

?1?2k2D在l上，?D点坐标代入l的方程可得m?（**）————12分

2k''将m?1?2k（*）代入解得k?2222， ,或k??22?k?(??,?22)(,??)————14分 2220．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）x?3时，f(3)?3a?b?9

f'(x)?x2?4x?a,?f'(3)?9?12?a?3， ?a?6————2分

(3,f(3))在直线y?3x?5上，?f(3)?4，即3a?b?9?4, ?b??5

?a?6,b??5 ————4分

13x?2x2?6x?5， 313m2（Ⅱ）①g(x)?x?2x?6x?5?

3x?2f(x)?g(x)是[3,??)上的增函数，

?g'(x)?x2?4x?6?mm2?(x?2)??2?0，

(x?2)2(x?2)2在[3,??)上恒成立，————6分

2令(x?2)?t, 则t?1，

设y?t?mm?2， ?t??2?0在[1,??)上恒成立————7分 ttm?t2?2t?(t?1)2?1恒成立，?m?3， 实数m最大值为3————9分

13mx?2x2?6x?5?， 3x?21m ?g(4?x)?(4?x)3?2(4?x)2?6(4?x)?5?34?x?21325m2? ??x?2x?6x?

33x?2105)11分 ?g(x)?g(4?x)?， ?Q(2,————

33②由g(x)?

10?y)也在图象上， 355而线段AB的中点恒为Q(2,)；由此可知g(x)图象关于点Q(2,)对称.

335这也表明存在点Q(2,)，使得过Q的直线若能与g(x)图象相交围成封闭图形，

3表明：若点A(x,y)为g(x)图象上任意一点，则点(4?x,则这两个封闭图形面积相等. ————13分（其它解法相应给分）.

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