高一数学必修一重点方法讲解

高中必修一一些重点

函数值域求法十一种 .......................................................................................................... 2 复合函数 .............................................................................................................................. 9 一、复合函数的概念 .................................................................................................... 9 二、求复合函数的定义域： ........................................................................................ 9 复合函数单调性相关定理 ................................................................................................ 10 函数奇偶性的判定方法 .................................................................................................... 10 指数函数： ........................................................................................................................ 12 幂函数的图像与性质 ........................................................................................................ 15

1

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数

解：∵x?0

y?1x的值域。

1?0x∴

显然函数的值域是：(??,0)?(0,??) 例2. 求函数y?3?x的值域。

解：∵x?0

??x?0,3?x?3 故函数的值域是：[??,3]

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

2 例3. 求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。

2解：将函数配方得：y?(x?1)?4 ∵x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

1?x?x2y?1?x2的值域。 例4. 求函数

解：原函数化为关于x的一元二次方程

(y?1)x2?(y?1)x?0 （1）当y?1时，x?R ??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0

13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?? 故函数的值域为?

例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域。

22解：两边平方整理得：2x?2(y?1)x?y?0（1） ∵x?R

2∴??4(y?1)?8y?0

解得：1?2?y?1?2

但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2

22由??0，仅保证关于x的方程：2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，

2

?13??2,2??。 即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2

?y?x?x(2?x)?0

?ymin?0,y?1?2代入方程（1）

解得：

x1?2?2?2422?[0,2]

2?2?242x1?2即当时，

原函数的值域为：[0,1?2]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x?4 例6. 求函数5x?6值域。

x?解：由原函数式可得：则其反函数为：

4?6y5y?3

y?4?6y3x?5x?3，其定义域为：5

3?????,?5? 故所求函数的值域为：?

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

ex?1y?xe?1的值域。 例7. 求函数

ex?解：由原函数式可得：

x∵e?0 y?1?0y?1∴

y?1y?1

解得：?1?y?1

故所求函数的值域为(?1,1)

cosxsinx?3的值域。 例8. 求函数

解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为：

y?y2?1sinx(x??)?3y

3ysinx(x??)?y2?1 即

∵x?R

∴sinx(x??)?[?1,1]

3

?1?即解得：

3yy?1?2?1

22?y?44

?22??,??44??? 故函数的值域为?

6. 函数单调性法 例9. 求函数y?2x?5?log3x?1(2?x?10)的值域。

解：令y1?2,y2?log3x?1 则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，

x?5ymin?2?3?log32?1?18

5当x=10时，ymax?2?log39?33

?1??8,33?? 故所求函数的值域为：?

例10. 求函数y?x?1?x?1的值域。 2y?x?1?x?1 解：原函数可化为：

令y1?x?1,y2?x?1，显然y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数

所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数

2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值2，原函数有最大值2显然y?0，故原函数的值域为(0,2]

?2

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数y?x?x?1的值域。

解：令x?1?t，(t?0)

2则x?t?1

13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵

又t?0，由二次函数的性质可知

当t?0时，ymin?1 当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??)

2 例12. 求函数y?x?2?1?(x?1)的值域。

2解：因1?(x?1)?0 2即(x?1)?1

4

故可令x?1?cos?,??[0,?]

∴

y?cos??1?1?cos2??sin??cos??1 ?2sin(???4)?1

∵

0????,0????54?4? ??22?sin(???4)?1?0?2sin(???4)?1?1?2

故所求函数的值域为[0,1?2] x3?x例13. 求函数

y?x4?2x2?1的值域。 解：原函数可变形为：

?12?2x1?x2y1?x2?1?x2 2x1?可令x?tg?，则有1?x2sin2?,x2?1?x2?cos2?

?y??12sin2??cos2???14sin4? 当

??k?2??8时，y?1max4 当

??k?2??18时，ymin??4 而此时tan?有意义。 ?故所求函数的值域为???11?4,4?? ?1)x??例14. 求函数y?(sinx?1)(cosx，

??????12,2??的值域。解：y?(sinx?1)(cosx?1)

?sinxcosx?sinx?cosx?1

令sinx?cosx?t，则sinxcosx?12(t2?1)

y?12(t2?1)?t?1?12(t?1)2

由t?sinx?cosx?2sin(x??/4) x??且

??????12,2?? 2可得：2?t?2

3232∴当t?2时，ymax?2?2，当

t?2时，y?4?2??3?2,3?2?故所求函数的值域为??422???。 5

2 例15. 求函数y?x?4?5?x的值域。

2解：由5?x?0，可得|x|?5

故可令x?5cos?,??[0,?]

?y?5cos??4?5sin??10sin(??)?44

∵0????

??5??????444

当???/4时，ymax?4?10

当???时，ymin?4?5

故所求函数的值域为：[4?5,4?10]

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22y?(x?2)?(x?8) 例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(?8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10 故所求函数的值域为：[10,??]

22 例17. 求函数y?x?6x?13?x?4x?5的值域。

解：原函数可变形为：

y?(x?3)2?(0?2)2?(x?2)2?(0?1)2

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(?2,?1)的距离之和，

22y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43， min由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

故所求函数的值域为[43,??]

22 例18. 求函数y?x?6x?13?x?4x?5的值域。

2222解：将函数变形为：y?(x?3)?(0?2)?(x?2)?(0?1)

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(?2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y?|AP|?|BP| 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成?ABP'，根据三角形两边之差

22小于第三边，有||AP'|?|BP'||?|AB|?(3?2)?(2?1)?26

即：?26?y?26

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（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|?|BP||?|AB|?26 综上所述，可知函数的值域为：(?26,26]

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(?2,?1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），

(2,?1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式a?b?2ab,a?b?c?3abc(a,b,c?R)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数

解：原函数变形为：

3?y?(sinx?1212)?(cosx?)?4sinxcosx的值域。 11?sin2xcos2xy?(sin2x?cos2x)??1?ces2x?sec2x?3?tan2x?cot2x?33tan2xcot2x?2?5 当且仅当tanx?cotx

?x?k??4时(k?z)，等号成立 即当

故原函数的值域为：[5,??)

例20. 求函数y?2sinxsin2x的值域。

解：y?4sinxsinxcosx

?4sin2xcosx y?16sin4xcos2x?8sin2xsin2x(2?2sin2x)?8[(sin2x?sin2x?2?2sin2x)/3]3?642722

当且仅当sinx?2?2sinx，即当由

sin2x?23时，等号成立。

y2?648383??y?99 27可得：

?8383?,???99??? 故原函数的值域为：?

10. 一一映射法

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原理：因为y?ax?b(c?0)cx?d在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 y?1?3x 例21. 求函数

2x?1的值域。

??x|x??1或x??1?解：∵定义域为?22?? 由

y?1?3xx?1?y2x?1得2y?3 x?1?y11?y故

2y?3??2x???1或2y?32 解得

y??32或y??32 ????,?3??3?故函数的值域为?2??????2,????

11. 多种方法综合运用 例22. 求函数

y?x?2x?3的值域。

解：令t?x?2(t?0)，则x?3?t2?1

y?t1t2?1??11（1）当t?0时，t?12t，当且仅当t=1，即x??1时取等号，所以

0?y?2（2）当t=0时，y=0。

?综上所述，函数的值域为：??0,1?2?? 注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数?1?x?2x2?x3?x4y1?2x2?x4的值域。

解：y?1?2x2?x4x?x31?2x2?x4?1?2x2?x4 ?1?x2???2?1?x?x?2???1?x2 2???1?x2???cos2?令x?tan2，则??1?x2??

x11?x2?2sin?

?y?cos2??112sin???sin2??2sin??1 ????1?217?sin??4???16 117∴当

sin??4时，ymax?16 当sin???1时，ymin??2

??此时

tan172都存在，故函数的值域为???2,?16??

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注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

复合函数

一、复合函数的概念

如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

2二、求复合函数的定义域：

（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ]

例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1]

（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。

例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3]

（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。

1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x) 解：设f(x)?ax?b (a?0)，则

f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b

?a?2?a2?4?a??2　或　　 ?? ???b?1b?3??ab?b?3??f(x)?2x?1　　或　　f(x)??2x?3

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2、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，

常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

11)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式 xx1121解：?f(x?)?(x?)?2， x??2

xxx例2 已知f(x? ?f(x)?x2?2 (x?2)

3、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的

定义域的变化。

例3 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1) 解：令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2

f(x?1)?x?2x

?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1, ?f(x)?x2?1 (x?1)

?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)

复合函数单调性相关定理

1、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数

证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］， 故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

2、引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)

上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

3、总结 同增异减

函数奇偶性的判定方法

1．定义域判定法

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例1 判定f(x)?(x?1)（非奇非偶） x?2的奇偶性．2．定义判定法f(x)与f（-x）关系

例2 判断f(x)?x?a?x?a的奇偶性．（偶） 3．等价形式判定法

例3 判定f(x)?1?x2?x?11?x?x?12的奇偶性．（奇）

评注：常用等价变形形式有：若f(x)?f(?x)?0或

f(?x)??1，则f(x)为奇函数；若f(?x)?f(x)?0或f(x)f(?x)． ?1，则f(x)为偶函数（其中f(x)?0）

f(x)4．性质判定法

例4 若a?0，f(x)(x???a，a?)是奇函数，g(x)(x?R)是偶函数，试判定?(x)?f(x)g(x)的奇偶性． 评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 5、练习

（1）.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1] （2）(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

(1)令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减. (2)∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0.

x2,+∞)上单调

2.奇偶性

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，

如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，

则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。 二 加减函数

1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则

2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则 三 相乘函数 1.增减性

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对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减. 2.奇偶性

对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.

指数函数：

?aa?0且a?1定义：函数y叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。

要求函数y?axx??中的a必须a?。因为若a?0时，y???4?，当x?0且a?1x1时，函数值不存在。 4xxx，y?0，当x?0，函数值不存在。a?时，y?1对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y?1 a?01x的反函数不存在，

因为要求函数y?ax中的a?。 0且a?1 ?1?x1、对三个指数函数y?的图象的认识。 2，y?y?10??，??2图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）x取任何实数值时，都有a?0； （2）无论a取任何正数，x?0时，y?1； xx（1）图象都位于x轴上方； （2）图象都经过点（0，1）； （3）y?2，y?10在第一象限内的纵坐xx?则ax?1?x?0，（3）当a?时，? 1x?则a?1?x?0，标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，?1?y???的图象正好相反； ?2?x?则ax?1?x?0， 当0时，? ?a?1x?则a?1?x?0， x

（4）y时，y?a是增函数， ?2，y?10的图象自左到右逐渐（4）当a?1xx?1?上升，y???的图象逐渐下降。 ?2?x当0时，y?a是减函数。 ?a?1x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y?2和y?10相交于(0，1)，当x?0时，y?10的图象

x22xxx0?2及10?2。 在y?2的图象的上方，当x?0，刚好相反，故有1

?2?2?1?x②y?2与y???的图象关于y轴对称。

?2??1?x0且a?1③通过y?2，y?10，y???三个函数图象，可以画出任意一个函数y?a（a?）的示意图，

?2?xxxx

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?1?如y?3的图象，一定位于y?2和y?10两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y???也由关于y轴的对称

?3?xxxx?1?性，可得y???的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

?3?2、对数：

定义：如果a?N(a?0且a?1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b?（a是底数，N 是真数，logaNbx） logaN是对数式。

由于N故logaN中N必须大于0。 ?a?0当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：

b则0.32x?x524?12

求log0.32??52??52?? 解：设log0.32???x ?4??4??8??8?即??????25??25?

1∴x??2?52?1即log0.32????2?4?x

评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求3?5中的x，化为对数式x?log35即成。

（2）对数恒等式： 由a ?N(1)b?logN(2)a将（2）代入（1）得alogaNb ?N运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：

?3??log123 解：原式?31?log1223?1?????3?log?2123。

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：

①l ogMN?logM?logNM，N?R??aaa???og?logM?logNM，N?R②l aaa③l ogN?nlogNN?RaaMNn???1n?????

nog?logNNR? ④laNa??? 13

3、对数函数：

定义：指数函数y?a(a?0且a?1)的反函数

x?(0,??)叫做对数函数。 y?logaxx

1、对三个对数函数y ?log，y?log，2x1x2y?lgx的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； +

函数性质 （1）定义域：R，值或：R； （2）x?时，y?0。即l； 1og?0a1（3）当a?1时，若x?1，则y?0，若，则y?0； 0?x?1时，若x?0，则y?0，若?a?1在x轴上方，当0时，图象在x轴下当0?x?0时，则y?0； 0?x?1方，y?logx与上述情况刚好相反； （3）y?，y?lgx当x?时，图象1log2x12时，y?是增函数； 1log（4）y从左向右图象是上（4）a??logx，y?lgxax2升，而y?log1x从左向右图象是下降。 2时，y?是减函数。 0?a?1logax对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y?与y?lgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x?0时，log2x的图象在y?lgx的图象上方；而0时，y?的图象在y?lgx的图象的下方，故有：?x?1y?loglog2x2x；l。 log.15?lg1.5og0.1?lg0.122

（2）y?的图象与y?log1x的图象关于x 轴对称。 log2x2（3）通过y?，y?lgx，y?log1x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y?loglog2x3x2的图象，它一定位于y?和y?lgx两个图象的中间，且过点（1,0），x?0时，在y?lgx的上方，而位于log2x的下方，0时，刚好相反，则对称性，可知y?log1x的示意图。 ?x?1y?log2x3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：

logaNlogN?blogab

LN?log(其中e?2.71828…)称为N的自然对数neNLN?log称为常数对数g10N

由换底公式可得：

lgNlgNLN???2.303lgN nlge0.434314

由换底公式推出一些常用的结论： （1）logb?an1 或logb·loga?1ablogab

（2）loganbm?（4）logana?mmlogab n

oglog（3）l nb?abam n5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 af?x??bf(x)?(x) a?af?x?x??? a?b解法 取以a为底的对数f? xlog??ab取以a为底的对数f?x?x???? 取同底的对数化为fx ·lga?x·lgb????换元令t?a转化为t的代数方程 xFax?0 ???对数方程的题型与解法：

名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 logxb??af? logfx?log?x????aa解法 对数式转化为指数式f?x??a b转化为f?x?x????（必须验根） 换元令t?l转化为代数方程 ogaxF(logax)?0 幂函数的图像与性质

一、幂函数的定义

?

213?14一般地，形如y?x（x?R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，?是常数.如y?x,y?x,y?x等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

分数指数幂

正分数指数幂的意义是：a负分数指数幂的意义是：a1、 幂函数的图像与性质

mn?nam（a?0，m、n?N，且n?1）

?mn?1nam（a?0，m、n?N，且n?1）

幂函数y?x随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握

ny?xn，当n??2,?1,?

11,,3的图像和性质，列表如下． 2315

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点?1,1?，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

11,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在?0,???上是增函数． 321③ a??,?1,?2时，幂函数图像不过原点且在?0,???上是减函数．

2② a?④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

y?xn 奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n?1 O x O x O x y y y 0?n?1 O x O x O x y y y n?0 O x O x O x

y 例1、 右图为幂函数y?x?在第一象限的图像，则a,b,c,d的大小关系是 （ ） y?xa y?xb y?xc

(A)a?b?c?d (C)a?b?d?c

解：取x?选(C)．

(B)b?a?d?c (D)a?d?c?b

cdba1?1??1??1??1?，由图像可知：???????????，?a?b?d?c，应2?2??2??2??2?O x 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义

对数函数的定义：一般地，我们把函数y?logax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函

16

数的定义域是（0，+∞）．

幂函数的定义：一般地，形如y?x?（x?R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，?是常数. ②性质

对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R； 过点（1，0），即当x=1，y=0；

在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y?x、y?x、y?x、y?x是增函数， 在（0，+∞）上， y?x?1是减函数。

2?5m?3例1．已知函数f?x??m?m?1x，当 m为何值时，f?x?：

2312??（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是?0,???上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）m?2或m??1（2）m??1（3）m??变式训练：已知函数f?x??m?mx242（4）m??（5）m??1 55??m2?2m?3，当 m为何值时，f?x?在第一象限内它的图像是上升曲线。

2??m?m?0简解：?2解得：m????,?1???m?2m?3?0?3,???

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

例2．比较大小：

（1）1.5,1.7 （2）(?1.2),(?1.25)（3）5.25,5.26,5.26（4）0.53,30.5,log30.5 解：（1）∵y?x在[0,??)上是增函数，1.5?1.7，∴1.5?1.7

（2）∵y?x在R上是增函数，?1.2??1.25，∴(?1.2)?(?1.25) （3）∵y?x在(0,??)上是减函数，5.25?5.26，∴5.25∵y?5.26是增函数，?1??2，∴5.26综上，5.25?5.263?1?1121233?1?112?21212333?1?1?5.26?1；

x?1?5.26?2；

?5.26?2

0.5（4）∵0?0.5?1，3?1，log30.5?0，∴log30.5?0.53?30.5

2

例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x－4x+3)

2

解法一：设 y=log4u,u=x－4x+3.由 u＞0,

2

u=x－4x+3，

解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.

2

当x∈(－∞，1)时，u=x－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x

17

∈(3，±∞)时，u=x－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

2

解法二：u=x－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＜2 (u减)

解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.

2

由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.

22

u=x－4x+3=(x－2)－1,

x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＞2 (u增)

解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

2

例2 求下列复合函数的单调区间： y=log1 (2x－x)

32

解： 设 y=log1u,u=2x－x.由

32

u＞0

2

u=2x－x 解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.

2

由于y=log1u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x的单调性正好相反.

3易知u=2x－x=－(x－1)+1在x≤1时单调增.由

0＜x＜2 （复合函数定义域） x≤1，(u增)

解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.

2

又u=－(x－1)+1在x≥1时单调减，由

x＜2， (复合函数定义域) x≥1， (u减)

解得1≤x＜2,所以?1，2)是原复合函数的单调增区间. 例3、求y=7?6x?x的单调区间.

解： 设y=u,u=7－6x－x,由 u≥0,

2

u=7－6x－x 解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.

2

22

2因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.

22

易知u=-x-6x+7=-(x+3)+16在x≤-3时单调增加。由 -7≤x≤1,（复合函数定义域） x≤-3,（u增）

解得-7≤x≤-3.所以?-7，3?是复合函数的单调增区间.

22

易知u=－x－6x+7=－(x+3)+16在x≥－3时单调减，由 －7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥－3， (u减)

解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

12()x?2x?1例4 求y=2的单调区间.

1()u2

解 ： 设y=2.由 u∈R, u=x－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.

1()u2

因为y=2在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.

易知,u=x－2x－1=(x－1)－2在x≤1时单调减，由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u减)

解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.

注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复

18

2

2

合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步. 练习

求下列复合函数的单调区间.

1.y=log(x2

3－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)

12.y=log2(x2

－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)

553.y=?x2?5x?6,(答：［2，2是单调增区间，］［2，3］是单调减区间.)

14.y=0.7x;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)

25.y=23?x;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)

(1)x?36.y=3,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)

7.y=3log2x；(答：(0，+∞)为单调减区间.)

log18.y=

?(4x?x2)；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)

9.y=4x2?6x；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.)

210.y=72x?x；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)

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