三角函数的图像与性质知识点及习题

三角函数的图象与性质

基础梳理 1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π?3

，1 (π，0) ?π，－1? (2π，0) (0,0) ??2??2? (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π?3π

，0，(π，－1)，?，0?，(2π，1) (0,1)，??2??2?2.三角函数的图象和性质

函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： π_(kπ＋，0) (k∈Z)__ 2 2π 单调增区间[2kπ－π，π单调增区间_(kπ－，2πkπ＋)(k∈Z)___ 2kπ?对称中心：_??2，0? (k∈Z) __ R π对称轴：__ x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)__ _； 对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间_[2kπ－π ππ，2kπ＋](k∈Z)___； 2kπ] (k∈Z) ____； 22单调性 单调减区间[2kπ，2kππ单调减区间[2kπ＋，2＋π](k∈Z)______ 3π 2kπ＋] (k∈Z) __ 2奇函数 偶函数 奇偶性 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

对函数周期性概念的理解

周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π . |ω|2π ， |ω|

4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)yππ

2x－?；(2)y＝sin?－2x?. ＝sin?4???4?热身练习:

π

x＋?，x∈R( )． 1．函数y＝cos??3?

A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数

C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 π?

2．函数y＝tan??4－x?的定义域为( )．

ππ

x≠kπ＋ ，k∈Z D.x?x≠2kπ＋ ，k∈Z C.x?44??

?????ππ

?xx≠2kπ－，k∈Z? x≠kπ－，k∈Z? A.?x?B.44???

?

?

?

?

??

???

???

???

π

3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( )

3

ππππ

A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 612612

π

x－?的图象的一个对称中心是( )． 4．y＝sin??4?A．(－π，0)

3π3π

－，0? C.?，0? B.??4??2?

π?

D.??2，0?

( )

5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0，π)

π3π

－，0? C.?，2π? B.??2??2?π

－π，－? D.?2??

ππ

6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，

62

则f(x)的单调递增区间是( )

πππ

A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)

362π2ππ

C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)

632

xπ?

7.函数f(x)＝3cos?R的最小正周期为________． ?2－4?x∈π

x＋?的最大值为_______，此时x＝_____ _________. 8..y＝2－3cos??4?ππ

10．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[，]上的最大值是 .

42

题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：

(1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝sin x－cos x. 变式训练1 (1)求函数y?lg(2sinx?1)??tanx?1的定义域；

x?cos(?)28

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换

π

例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.

6

(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图； (2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化

π

例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

2

(1)求f(x)的解析式；

π

(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在

12

ππx∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

63

π

例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点

2

π2π

中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

23

(1)求f(x)的解析式；

π1

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，122

纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围．

题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π

例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.

2

π3π

(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

44

π

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的

3

解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： π

－2x＋?；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin?3??

ππ

＋4x?＋cos?4x－?的周期、单调区间及最大、最小值； 变式训练2 (1)求函数y＝sin?6??3??π

x＋?－1. (2)已知函数f(x)＝4cos xsin??6?

ππ

－，?上的最大值和最小值. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间??64?

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用

??????例2已知向量m＝(3sin2x－1，cosx)， n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m?n，x∈R.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间．

题型七 三角函数的对称性与奇偶性

π

|φ|≤?的图象关于直线x＝0对称，例3 (1)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) ??2?则φ的值为________.

4π?

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最小值为( ) π A .

6

变式训练3 若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝

π?π

，函数f′(x)的图象的一个对称中心是??8，0?，则f(x)的最小正周期是________. 4ω

πB. 4

πC. 3

πD. 2

三角函数的图象与性质练习一

一、选择题

1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项正确的是( )

ππ

A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称

42

C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2

ππ

2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的( )

22

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

ππ

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位

26

后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象( )

π5π

A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称

12125ππ

C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称

1212

π

4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)

4

的x的取值范围是( )

π3π3π7ππ3π3π3πA．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 44442242

ππ

5．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，则

33

π

g()＝____. 3

三角函数的图象与性质练习二

π

2x＋?图象的对称轴方程可以为 1.函数f(x)＝sin?3??5π

A.x＝

12

ππB.x＝ C.x＝

36

( )

π

D.x＝

12

( ) π?D.??2，0?

( )

π

x－?的图象的一个对称中心是 2.y＝sin??4?A.(－π，0)

3π3π

－，0? C.?，0? B.??4??2?

π

3.函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是

43πA. 4

3ππB.－ C.

44

π

D. 2

二、填空题 4.函数y＝lg(sin x)＋1cos x－的定义域为____________.

2

π

5.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0，

6π

]，则f(x)的取值范围是_______________. 2

π??0，4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在?4?上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，??那么ω等于________．

π

2x＋? (x∈6.关于函数f(x)＝4sin?R)，有下列命题： 3??

π

2x－?； ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos?6??ππ

－，0?对称；④③y＝f(x)的图象关于点?y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称. ?6?6其中正确命题的序号是___________. 三、解答题

π

7.设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. 8(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.

πππ

2x＋? (－

三角函数的图象与性质练习三

一、选择题

?0，π? 时，1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈?2?

5π?

f(x)＝sin x，则 f ??3?的值为 ( ) 1

A.－

2

13B. C.－ 22

D.3

2

ππ

－，?上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) 2.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间??34?2

A. 3

3B. 2

C.2

D.3

( )

5π?

3.函数f(x)＝cos 2x＋sin??2＋x?是

A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题

π

4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的

2垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为__________. π

0，?上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝5.函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在??4?___________. 6.给出下列命题：

2π?3

x＋是奇函数； ②①函数y＝cos?存在实数α，使得sin α＋cos α＝； ?32?2

5ππ

2x＋?的一条对称轴； ⑤③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α

2x＋?的图象关于点?，0?成中心对称图形. 函数y＝sin?3???12?其中正确的序号为___________. 三、解答题

7.若函数f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公π

差为的等差数列. (1)求m的值；

2

π

(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈?0，2?，求点A的坐标.

??

三角函数的图象与性质练习四

一、选择题

1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )．

A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 2．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )．

555－，－1? C.?－，1? D.?－1，? A．[－1,1] B.?4??4??4??

π?π，π?上单调递减，0，?上单调递增，3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间?在区间则ω＝( )． ?3??32?23

A. B. C．2 D．3 324．函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x的最小正周期为( )． A．2π B.

3ππ

C．π D. 22

ππ?5．下列函数中，周期为π，且在??4，2?上为减函数的是( )． π

2x＋? A．y＝sin?2??πx＋? C．y＝sin??2?π

2x＋? B．y＝cos?2??πx＋? D．y＝cos??2?

π

x－?(x∈6．已知函数f(x)＝sin??2?R)，下面结论错误的是( )．

π

0，?上是增函数 A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间??2?C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数

二、 填空题 7.y=－|sin（x+

π）|的单调增区间为___）_____. 48.要得到y?3cos?2x??????的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移__单位.4?

9.若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为________. 10函数f(x)=sinx?1(0?x?2?) 的值域是________ __.

3?2cosx?2sinx??????????????，且在区间f(x)(??0)，f?f??????，?有最小值，无

3??6??3??63?11.已知f(x)?sin??x?

最大值，则?＝__________．

12、给出下面的3个命题：（1）函数y?|sin(2x?在区间[?,?3)|的最小正周期是

?3?（2）；函数y?sin(x?)223?5?5?)上单调递增；)的图象的一条对称轴.其中正（3）x?是函数y?sin(2x?242确命题的序号是 ．

π

－ωx?(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________． 13．若函数f(x)＝cos ωxcos??2?π

2x＋?的图象与x轴交点的坐标是______． 14．函数y＝tan?4??

?－π，π??是偶函数，则θ的值为________． 15．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈??22??

三、解答题

π?1

－x. (1)若α∈16．已知f(x)＝sin x＋sin?[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值； ?2?3(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

π

17．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间

·b，其中向量a?(m，cos2x)，b?(1?sin2x，18、设函数f(x)?a1)，x?R，且y?f(x)的图象经过点?，2?．

（1）求实数m的值； （2）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合． (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量c平移得到y?

19、设函数f?x??sin??x??????0,? ①f?x?的图象关于直线x?? ③f?x?的图象关于点??π

?4

??

2sin2x的图象,求向量c。

???2??????，给出下列三个论断： 2??6对称； ②f?x?的周期为?；

???,0?对称． ?12? 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．

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