单频复正弦信号频率估计

毕业论文呵呵

单频复正弦信号频率估计

摘要：频率估计是数字信号处理的重要内容，对淹没在噪声中的正弦波信号进行频率估计是信号处理的一个经典课题。目前，高精度频率估计己经成功应用于雷达探测、声纳地震监测、桥梁振动检测以及电子通信技术中，因此，研究高精度频率估计算法，具有重要的理论意和应用价值。

本文对于高斯白噪声中单频复正弦信号的频率估计,对常用的几种频率估计方法进行了回顾，提出了一种对复加性高斯白噪声环境下的复正弦信号的频率进行估计的迭代方法。该方法在Kay提出的相位加权平均（WPA）方法的基础上引入迭代的思想，只需要通过少数几次迭代就可克服WPA方法中信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的缺点，从而大大提升估计性能。新的迭代方法的估计范围为整个[ , )区间，且在这整个估计范围内，新的迭代方法都能得到基本相同的较低信噪比门限。仿真实验的结果验证了新的迭代方法对WPA方法及WNLP方法的性能提升，说明了该方法的优越性。

关键词 复正弦信号，频率估计，信噪比门限，相位加权平均算法，迭代算法，matlab

毕业论文呵呵

Abstract：Frequency estimation is an important part of digital signal processing, and submerged in the noise of the sine wave signal of frequency estimation is a classic signal processing tasks.Currently, high-precision frequency estimation has been successfully applied to radar, sonar, seismic monitoring, bridge vibration testing and electronic communications, therefore, of high accuracy frequency estimation algorithm, has important theoretical significance and application value.

This white Gaussian noise for a single complex sinusoid of frequency estimation, frequency estimation of several commonly used methods were reviewed, a pair of complex additive white Gaussian noise environment of the complex sinusoidal signal to estimate the frequency of iterative method. The method proposed phase-weighted average Kay (WPA) method based on the introduction of iterative thinking, only a few times through the iteration method can overcome the WPA with the estimated signal to noise ratio threshold of the complex sinusoidal signal frequency increases increased shortcomings, which greatly enhance the estimation performance. New iteration method for the entire range of the estimated range, and estimates in the context of the whole, the new iteration method can be basically the same low signal to noise ratio threshold. Simulation results verify the new method and iterative method WPA performance WNLP method shows the superiority of the method.

Kaywords:Complex sinusoid,Frequency estimation,SNR threshold,Phase weighted average algorithm，Iterative algorithm，matlab

毕业论文呵呵

目录

1. 引言.............................................................................................................................................. 1 2. 频率估计的研究综述相关算法回顾 .......................................................................................... 3

2.1 最大似然估计法 ................................................................................................................ 3 2.2 双线幅度法(Rife法) ......................................................................................................... 4 2.3 M-Rife算法(修正Rife算法) ............................................................................................ 6 2.4 Quinn 频率估计方法 ....................................................................................................... 10 2.5 分段FFT法测频 ............................................................................................................. 14 2.6 相关结论 .......................................................................................................................... 16 3. 频率估计的相位加权平均算法及其迭代方法 ........................................................................ 17

3.1 相位加权平均法 .............................................................................................................. 17 3.2 迭代方法 .......................................................................................................................... 19

3.2.1 信号模型 ............................................................................................................... 19 3.2.2 WPA方法及其问题 ........................................................................................... 20 3.3.3 频率估计的迭代方法 ........................................................................................... 21

4. 性能对比及计算机模拟结果 .................................................................................................... 25 5. 结论............................................................................................................................................ 29

致谢......................................................................................................................................... 30 参考文献: ............................................................................................................................... 31 附录......................................................................................................................................... 33

毕业论文呵呵

1. 引言

频率是参量估计中的一个重要物理量。高斯白噪声中复正弦信号进行频率估计是对高斯白噪声中复正弦信号进行频率估计是一个广泛研究的重要课题。要高精度和高速度测量信号频率必须要有好的频率估计方法,一种好的频率估计方法,在在雷达、通信、地球物理、通信对抗侦察及生物医学信号处理等领域都能占据更大优势。频率估计方法繁多,在实际信号处理中采取何种方法,是经常要遇到的问题。

参考文献[1]中给出在高斯白噪声中对正弦波信号进行频率估计的最大似然估计(ML)算法,该算法估计误差达到克拉美-罗限(CRLB) ,因此是最优估计. 但是ML算法需要进行一维搜索,计算量太大,无法进行实时处理. 文献[2][3]利用信号频谱的最大两根谱线进行插值对频率进行估计. 文献[4]对噪声背景中的插值FFT方法估计正弦波频率的精度进行研究,指出当信号真实频率与DFT 量化频率差为某一范围时Rife 算法精度不高. 文献[5]提出相位平均算法, 速度很快, 但仅在高信噪比条件下才有较好的性能。文献[6]利用牛顿迭代方法实现正弦波频率最大似然估计,但计算量较大。文献[7]利用半牛顿迭代方法(Semi-Newton) 给出一个近似最大似然估计算法,性能接近CRLB ,计算量也较小,获得广泛应用. 但该迭代算法的收敛性与初始值选取有关,作者以Rife 估计作为初始值,由于当信号真实频率较接近量化频率时Rife 算法估计的偏差较大,导致牛顿迭代算法存在不收敛情况。文献[8]提出将采样数据分段, 对较少数据点作快速傅里叶变换(FFT ) , 积累其幅度谱, 通过脉冲积累的方法提高信噪比, 可以改善相位加权算法的性能, 但在某些频段存在相位模糊, 导致估计精度下降, 其总体性能不如牛顿迭代算法。但计算量较大。

本文就针对复白噪声下的信号,回顾用5种方法估计其频率,得出结论,并提出了一种对复加性高斯白噪声环境下的复正弦信号的频率进行估计的迭代方法。该方法在Kay提出的相位加权平均（WPA）方法的基础上引入迭代的思想，只需要通过少数几次迭代就可克服WPA方法中信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的缺点，从而大大提升估计性能。新的迭代方法的估计范围为整个

[ , )区间，且在这整个估计范围内，新的迭代方法都能得到基本相同的较低

毕业论文呵呵

信噪比门限。仿真实验的结果验证了新的迭代方法对WPA方法及WNLP方法的性能提升，结果说明了该方法的优越性。

毕业论文呵呵

2. 频率估计的研究综述相关算法回顾

2.1 最大似然估计法

设复高斯白噪声v( n) 中混有复正弦信号为:

s n A1exp j 1n 1 （1）

设x n s n v n 的一次实现的N 个取样值为:

x n A1exp j 1n 1 v n ,n 0,1,2, ,N 1

（2）

式中A1， 1， 1分别是正弦信号的振幅、频率和相位;v n 为复高斯白噪声。

s( n) 和x ( n) 用矢量分别表示为:

s s 0 , 1 , ,s N 1

T

T

A1exp j 1 1,exp j 1 , ,exp j N 1 1

（3）

x x 0 ,x 1 , ,x N 1 （4）

T

白噪声v n 的自相关矩阵为:

Rw v2 （5）

毕业论文呵呵

其中, v2为v n 的方差, I 是N 阶单位矩阵。令:

Ac1 A1exp j 1 （6）

又令:

ei 1,exp j 1 , ,exp j N 1 1 （7）

T

则式(3) 可表示为:

s Ac1ei （8）

为求A1， 1， 1 的最大似然估计,需求解:

LAc1, 1 x s

H

x s （9）

如果已知 1,则可求出使式（9）最小化的解Ac1,式中 1如果用最大似然估计取代,则Ac1就是正弦波复振幅的最大似然估计。式（9）的求解即为x n 的周期图, 故有结论:在复高斯白噪声中混有单个复正弦信号, 其频率的最大似然估计可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出。

2.2 双线幅度法(Rife法)

设正弦信号为

g n ae

i2 f0n T 0

,0 n N 1 （1）

毕业论文呵呵

式中:a，f0， 0分别表示信号的振幅、频率、初相; T为采样间隔; N 为样本数。其离散时间的傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT)分别为

Ge

g n e

i

n 0N 1n 0

i

N 1

n i

ae

n 0

N 1

ni2 f0n T 0 i

e （2）

Gk g n e ae

n 0N 1

2

knN

i2 f0n T 0

e

i

2 knN

（3）

k 0,1, ,N 1

为连续角频率。 式(2) 中

若 Gk0 是 g n 经FFT 变换后功率谱的最大值, Rife 法给出的频率估计公式为

Gk0 fs f0 k0 N Gk0 Gk0

（4）

式中: 1当Gk0 1 Gk0 1时，则 1，反之，则 1，fs为采样频率;k0为功率谱最大值对应的量化频率,k0为整数。修正因子0 Gk0 Gk0

1

。根据功2

1

率谱的对称性特点, 被估计频率f0介于k0fsN与 k0 fsN之间。

2

Rife 法利用了g n 的两根谱线, 因此也称双线幅度法, 它是在没有噪声

x n g n v n （5）

因此 x n 的DFT 系数由两部分组成: Xk Gk Vk，其中Vk是噪声序列的

毕业论文呵呵

DFT 系数, 对于有限长的采样序列它是随机变量。

在适度的信噪比条件下, 当f0位于最大谱线fsk0

N和次大谱线

fs kN中间时, Rife 法的估计性能非常好, 但信噪比较低且f0十分靠近0

最大谱线fsk0N时, 算法精度降低。假如fsk0N f0 fs k0 1 N，在没有噪声的情况下应该有Xk0 1 Xk0 1，但由于噪声的影响, 可能出现Xk0 1 Xk0 1的误判情况, 若此时仍然用Rife法, 那么估计频率被认为位于

fs k0 1 N f0 fsk0N，显然造成的误差比仅用DFT 的粗略估计还要大。Rife

算法的这一特点也可以这样分析:如果fc很接近两相邻离散频率的中点

1 k r 0

2 fs，则X k0 r 的幅度与X k0 很接近, 这时采样内插公式具有较N

高的精度。反之若fc很接近于

k0

fs，则X k0 r 很小, 在有噪声存在的情况下,N

噪声对X k0 r 的影响比较大, 这将影响内插的精度。

2.3 M-Rife算法(修正Rife算法)

加性高斯白噪声污染的正弦波信号表示为

x n aej 0e

j

2 fcn T

w n n 0,1,2, ,N 1 （1）

式中: a，fc，频率和初相; T为采样间隔; N 为样本数; w n 0 分别为振幅、为实部和虚部相互独立的、方差为2 2的零均值复高斯白噪声。

对x n 作FFT , 取其中的最大谱线值 X k0 。上面给出利用Rife算法进行正弦波频率估计的计算公式。

毕业论文呵呵

X k0 r 1 f0 k r 0

T Xk0 Xk0 r

（2）

利用当fc位于两个离散采样频率的中心区域时Rife 算法性能很好的特点，这里定义 k 3,k 23 为离散频率点k与k 1之间的中心区域。这种算法的基本思想是: 先用Rife 算法进行频率估计得 fc，然后判断 fc是否位于两相邻量化频率点中心区域; 如果是, 则将 fc作为最后的频率估计值; 否则对原信号进行适当的频移, 使新信号的频率位于两个相邻离散频率点的中心区域, 再用Rife 算法进行频率估计, 这样就可以保证较高的估计精度。具体算法如下。

假设x n 经过FFT以后的频谱为X k ，即

X k x n e

n 0N 1

j2 nk

N

k 0,1,2, ,N 1 （3）

求得最大谱线位置k0，根据式(2)得到fc的估计值 fc由于

k1

fc 0fs f，(式中 f为DFT量化频率间隔)。fc满足 X k0 X k0 r ，

N2

如果满足

k11

f fc 0fs f （4） 3N2

则认为 fc位于量化频率中心区域 ,作为最终估计值。反之, 需要进行修正。

估计值 fc 除可能满足式(4) 外, 可能还有两种情况:

(a)0 fc

k01

fs f； N3

毕业论文呵呵

(b)0 fc

k01

fs f。 N3

为了使被估计信号频率尽量接近量化频率中点, 将信号x n 向左或向右频移 k量化频率单位, k可以按式(5) 确定

X k0 r 1

k （5）

2Xk0 Xk0 r

平移之后的信号为

x1 n x n e

j2 n

r kN

（6）

频谱为

X1 n x n e

n 0N 1

j

2 n

k r k N

k 0,1,2, ,N 1 （7）

当Xk0 1 Xk0 1时，r 1，对应于(a) , 谱线右移; 反之对应于(b)，r 1，谱线左移。

下面以r 1为例来说明。假设 fc的位置如图1所示。平移后的信号x1 n 的频率位于两相邻量化频率中点附近。利用Rife 算法求得x1 n 的频率估计值 f1c，将 f1c减去 k f就可以得到一个比较精确的原信号的频率估计值。

Rife 算法仅利用x1 n 的最大两根谱线值。将原始信号的频谱平移 k f后, 当r 1时, X1 k 的最大两根谱线一定位于k0和 k0 1 处, 而当r 1时, 最大两根谱线一定位于 k0 1 和k0处, 于是仅需计算出相应的两根谱线, 再作简

毕业论文呵呵

单的判断就可以确定X1 k 的最大值, 最后再用式(2) 估计频率。因此不需要对

x1 n 作FFT , 仅需计算k0和 k0 r 两点的DFT 即可。

式(6) 中的频移因子 k是一个不确定的值, 与初始估计值 fc有关。因此上述方法需要计算复指数e

j2 n

kN

,计算量较大。为了避免每次进行频率估计都要计

1

,通过频移,新信号的频率将位于两个相邻3

算复指数, 考虑取一个固定值 k

量化频率点的中心区域, 仍然可以保证得到较高的精度。对于固定的 k,可以预先将e

j2 n

kN

计算好存放在RAM 里, 极大地减少了计算量。

由于受噪声的影响,可能出现图2 所示情况, fc与真实频率fc不在k0的同一侧, 不能保证一次频移就将新信号的频率移到离散频率的中心区域。此时可以对原始信号作二次频移, 然后再用Rife 算法进行估计, 得到最终估计值。整个算法的流程如图3 所示。

毕业论文呵呵

2.4 Quinn 频率估计方法

Quinn 提出了利用FFT 主瓣内次大谱线与最大谱线FFT 系数复数值之比的实部进行频率插值的方法。设FFT 的最大值处的离散频率为m ,则m 1和m 1

毕业论文呵呵

分别位于最大值的两侧, 且其中一个为次大值。定义 1 R S m 1 S m 及

1 和 2 R S m 1 S m ，式中R x 表示x取的实部,分别计算 111 1 ，则频率插值可表示为 212

, 0, 0 112 （1）

2,其他

研究S k 的相位, 并注意到式中幅度项符号的变化, 用 1， 2和 3分别表S k 在幅度最大值处、主瓣内第二大值处及主瓣另一侧第一旁瓣的相位, 在不考虑噪声情况下, 有 1 2 ， 1 3 0。因此,当信号实际频率大于m f， 即次大

， 都为正; 反之, 次大值位于值位于最大值右侧时, 1 0， 2 0，于是 12 ， 都为负,因此式(1) 可得到正确的最大值左侧时, 1 0， 2 0，于是 12频率插值。与Rife-Jane方法相比,Quinn 方法的突出优点是当 很小时,由于

S m 1 S m 与S m 1 S m 非常接近, 所以Rife-Jane 方法容易受噪声干扰出现插值方向错误, 而S m 1 与S m 1 的相位因为相差180°(见图1) ，所以不容易受噪声干扰相混,Quinn 方法取S m 1 S m 与S m 1 S m 的实部, 正是利用了相位信息来判断插值方向, 从而避免了Rife-Jane 方法在 较小时频率估计误差激增的问题。

图1 FFT 在幅度最大值处及两侧的相位测量结果

毕业论文呵呵

下面分析Quinn 方法的频率估计方差。利用 1和 2估计频率的方差相同, 下面仅分析其中之一并略去下标。由于正弦信号的FFT 在主瓣内的两条谱线相位相差 ，S k 在主瓣内最大值和次大值处的复数值可分别表示为

S m A1ej Z1，S m2 A2ej Z2其中A1和A2分别为无噪声S1和S2的幅度,

且有A1 S m Nasin 2 及A2 S m2 Nasin

2 1 。

则根据Q u inn 估计公式, 有

A2ej Z2 R （2） j

Ae Z 11

将Z1和Z2分别表示为Z1 X1 jY1和Z2 X2 jY2，代入上式, 得

R

A2cos X2 j A2sin Y2

Acos X jAsin Y 1 111

A12 Z1 2AU11

2

A1A2 A2U1 AU12 X1X2 YY12

（3）

式中U1 X1cos Y1sin ，U2 X2cos Y2sin 。考虑到主瓣内FFT 系数的信噪比一般较高,Z1A1及Z2A2大于或接近1的概率很小,分析估计误差时忽略这

毕业论文呵呵

种小概率情况而假设Z1A1 1及Z2A2 1。上式可近似为

UU1 1 2AA1A2

（4） 2A11 2U1

A1

根据前述条件, 可将上式展开成泰勒级数并略去高次项, 可近似表示为

A2 U1U2 2U1 1 1 A1 A1A2 A1

A2 U2U1 1 A1 A2A1

（5）

代入Quinn 的频率估计公式, 整理得

A 1 U2A2 U1A1

2 （6） 1 A1 A2 U2 U1A2A1

同理将上式展开级数并略去高次项, 整理得

A2AU A2U1

12 （7） 2

A1 A2 A1 A2

所以相对频率偏差估计的方差可表示为

22

AvarU Avar U1 122 var （8） 4

A1 A2

22cos Ysin 根据定义var U1 var U2 X222

X X Z2 N 2， 代入上式得

及FFT 的性质有

毕业论文呵呵

2

A12 A2N 2 var （9） 4

2 A1 A2

代入A1，A2，得

var

1 1

22

N SNR sinc2 2

(10)

因此Quinn 方法的频率估计方差为 2f

var T2

1

2

1 2

(11)

N SNR sinc2 2

对比式(10) 和式(11) 可见,Quinn 方法的频率估计方差与Rife-Jane 方法的频率估计方差的第一项相同。

2.5 分段FFT法测频

分段FFT 法利用2 段等长连续的正弦采样数据之间的相位相关性测频。

将采样序列分为2 个长度相同的序列,s1 n 对应前N2点,s2 n 对应后

N2点。分别对s1 n 和s2 n 进行N2点DFT,得到离散频谱为:

s1 k Akexp j k ;

s2 k s1 k exp j f0T 。

毕业论文呵呵

式中, Ak， k分别为S1 k 的幅度项与相位项,

asin k f0T2 ； Ak

sin 2 k f0T2N

Ak

asin k f0T2 。 sin 2 k f0T2N

S1 k 和S2 k 的幅度项完全一样。幅度最大值k处对应的离散频率为

k0 f0T2 ( x 表示取最接近x 的整数) 。利用DFT 的最大谱线粗测频率为

fk k0 f， f为DFT 的频率分辨率。由 k可知,DFT 最大谱线的相位包含信号

频率与DFT 最大谱线位置的偏差信息,但由于初相未知,不能直接利用DFT 的相位来估计频率。用 1m和 2m分别表示S1 k 和S2 k 在最大谱线处的相位,则两者的差值为:

2m 1m f0 2k0 。

于是频差估计为:

f

f 。 2 T

然后按下式计算

的估值。

f0 fk f k0 f。

分段FFT 相位法测频流程为:

①将时域采样数据分成等长的2 段。如果数据长度为奇数,则舍弃最后一个

毕业论文呵呵

点。尽量使2 段数据点数相同。每段数据长度N/ 2 ； ②分别对2 段数据做FFT 运算;

③求得最大谱线位置和最大谱线处的相位。求2 个相位之差, 注意是后段峰值相位减去前段峰值相位。记k0 f0T2 ， 表示最大谱线对应的数字频率,则

2m 1m f0 2k0

④求数字频偏 2，估计频率为f0 fk f k0 f，其中 f为

频率分辨率。

2.6 相关结论

利用FFT 主瓣幅度最大值处的相位或邻近最大值的谱线的幅度可以提高基于FFT 的频率估计方法的估计精度。在加性高斯白噪声背景中, 不论哪种频率估计方法, 只要是无偏估计, 方差都存在理论下限。频率估计精度与信噪比及信号观测时间长度有关, 还与信号实际频率和FFT 最大谱线对应的频率的相对偏差有关。理论分析和计算机模拟结果表明, 在加矩形窗的情况下, 分段FFT 相位差法和Quinn 插值法的频率估计效果较好, 方差接近CR下限。Rife-Jane 插值法在δ接近±0. 5 (信号实际频率靠近最大谱线与次大谱线中间) 时与Quinn 方法性能相同, 当δ接近零时频率估计方差高出CR 下限很多。重叠FFT 相位差法在D接近零时性能与分段FFT 相位差法接近, 但∣δ∣较大时, 出现较大的误差。加Hanning 窗(或其它非矩形窗函数)2 CRB时, 由于窗函数使得有效数据长度缩短,Quinn 方法和分段FFT 相位差法的误差均略高于不加窗情况。加窗使得FFT 主瓣变宽, Rife-Jane 插值法基本不再出现插值方向错误, 频率估计误差大大降低, 估计性能与Quinn 方法相同。加Hanning 窗时能量重心法的频率估计标准差约为 , 略高于分段FFT 相位差法, 与Quinn 方法接近。

毕业论文呵呵

3. 频率估计的相位加权平均算法及其迭代方法

在信号处理领域，估计复高斯白噪声环境中的单频复正弦信号的频率是一个十分重要的问题，其应用十分广泛[11]。如在系统频率同步时，利用导频进行频偏估计等。

根据最大似然（ML）准则，解决该问题的最优方法是搜索周期图的谱峰位置，但是，即使采用FFT快速算法，这种最大似然估计方法仍然具有非常大的运算量。因此，在文献[12]-[16]中提出了一些运算量相对较低的简化算法。要评价这些简化算法的估计性能，信噪比门限是一个重要的指标。某一算法的信噪比门限指的是该算法估计结果的均方误差开始离开CRB（Cramer-Rao bound）时的信噪比值。

文献[12]-[16]提出的方法中，WPA方法[12]具有最低的运算量，但是其存在信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的问题。为了克服这个问题，文献[16]提出了WNLP方法，该方法可使得信噪比门限在整个[ , )的估计范围内保持不变，但WNLP方法的信噪比门限较高，当所估计的复正弦信号频率较低时，WNLP方法的信噪比门限将高于WPA方法。因此，本文提出了一种基于WPA方法的迭代方法。该迭代方法不仅能在整个[ , )的估计范围内保持其信噪比门限不变，而且其信噪比门限远低于WNLP方法的信噪比门限。

3.1 相位加权平均法

叠加复高斯白噪声的复正弦信号为:

j n

s n Ae 0 zn

式中,n 0,1,2, ,N 1。

毕业论文呵呵

采样时刻序列表示采样周期的整数倍。主要关心的参量是频率 0。zn表示测量噪声。

记加权系数为：

2

3 n N 1 N 2 。 pn 2 1 NN

2

频率的估计为:

n xn 1 xn xnxn 1 ，

0 pn xnxn 1 。

t 0

N 2

式中 pn 1； 0是无偏估计。其中 n为相邻2点的相位差。Kay 提出的频率估

t 0

N 2

计算法在高信噪比下达到CR门限。

在较高信噪比SNR > 6dB 时,估计误差可以达到CRB. Kay 方法理论上可以计算的频率范围为 , ,其主要缺点是低信噪比情况下性能较差, 其门限信噪比还会随着待估频率的增大而增大. Kim 等人在Kay 方法的基础上, 针对Kay 方法的高信噪比门限问题,提出了前置矩形滤波器的思路，通过这一预处理, 极大地改善了信噪比门限这一问题,且只增加了少量的计算量, 然而Kim 方法的不足在于其频率估计范围极大地减小. 当前置滤波器为长度为M 的矩形滤波器时, 频率估计器可以获得10log10 M 的增益,但是其频率估计范围仅为

M, M ,这种方法是以减小频率估计范围为代价来达到使频率估计方法

适应于低信噪比情况。

另一方面,从最大谱峰搜索这一思路出发FITZ 首先推导出一种快速测频方

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ia6e.html