随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx( )和Ry( )。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t )y(t )x(t)y(t)

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz( ) E x(t )x(t) E y(t )y(t)

Rx( )Ry( )

（2）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t ) y(t ) x(t) y(t) E x(t )x(t) x(t )y(t) y(t )x(t) y(t )y(t)

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz( ) Rx( ) 2mxmy Ry( )

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：y(t)

答案：

（1） 该系统的系统函数为H(s)

Y(s)1

X(s)1 RCs

则频率响应为H(j )

1

1 jRC

n0

2

而输入信号x(t)的功率谱密度函数为PX(j )

该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： PY(j ) PX(j )H(j )

2

n0/2

1 RC 2

对PY(j )求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：

1

RY( )

2

PY(j )e

j

1

d

2

n0/2j

1 RC 2ed

（2） 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输

出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。 均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxH(0)=0

2

方差：RY(0) Var(Y) my

因为均值为0，所以方差Var(Y) RY(0) 一维PDF：略

1

2

n0/2

1 RC2 2d

3、 理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为B，其在通带的频率增益为1。假定输入是均

值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的平均功率；（3）求输出信号的一维概率密度函数。 答案：类似上一题，仅需注意的是：

(a) 此处滤波器的频率响应为H(j )

1, 0

2 (fc B/2) 2 (fc B/2)

otherwise

(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在 0处

的值，即RY(0)

4、 设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI系统所得的输出

为y1(t)，x2(t)通过同一个LTI系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。 答案：就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。

由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。 所以，我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。

设LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则： y1(t)

x1(t )h( )d

y2(t) x2(t )h( )d

所以有：

E y1(t)y2(t) E x1(t )h( )d x2(t v)h(v)dv

E

x1(t )x2(t v)h( )h(v)d dv

1

2

E x(t )x(t v) h( )h(v)d dv

再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有：

E y1(t)y2(t) E x(t ) E x(t v) h( )h(v)d dv 0，从而完成证明。

1

2

教材：2.8和2.9题 答案略

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