第六章非线性方程的数值解法习题解答

第六章非线性方程的数值解法习题解答

填空题：

1. 求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:xn?1?xn?2.求解方程

(1)

xn?f(xn)1?f?(xn)

在(1, 2)内根的下列迭代法中，

(2)

(3)

收敛的迭代法是（A）.

(4)

A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)

3.若f(a)f(b)?0，则f(x)?0在(a,b)内一定有根。 ( )

4．用二分法求方程f(x)?x3?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案[0.5,1]， [0.5,0.75]）

计算题：

1、已知方程x3?x2?1?0在x?1.5附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： 1132x?1?x；②；③ x?x?1x2试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。

①x?1?解：①令?1(x)?1?32122''，则，?(x)???(1.5)??0.5926?1，故迭代收敛； 11233xx1.5'22?2'2(1.5)?0.4558?1，故迭代收敛； ②令?2(x)?1?x，则?(x)?x(1?x)3，?23③令?3(x)?11''(1.5)?1.4142?1，故迭代发散。 (x)??，则?3，?33x?12(x?1)以上三中以第二种迭代格式较好。

2、设方程f(x)?0有根，且0?m?f'(x)?M。试证明由迭代格式xk?1?xk??f(xk) (k?0,1,2,)产生的迭代序列?xk?k?0对任意的初值x0?(??,??)，当0????2时，均收敛M于方程的根。

证明：设?(x)?x??f(x)，则?'(x)?1??f'(x)，故1?M???'(x)?1?m?，进而可知， 当0???2时，?1??'(x)?1，即?'(x)?1，从而由压缩映像定理可知结论成立。 M3、试分别用Newton法和割线法求以下方程的根

x?cosx?0 取初值x0?0.5,x1??4，比较计算结果。

解：Newton法：x1?0.75522242,x2=0.73914166,x3=0.73908513；

割线法：x2?0.73638414,x3=0.73905814,x4=0.73908515,x5=0.73908513； 比较可知Newton法比割线法收敛速度稍快。

34. 已知一元方程x?3x?1.2?0。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

解：（1）f(0)??1.2?0,f(2)?1.8?0 又f(x)连续故在(0,2)内有一个正根

(2)

x?3x?1.2,???(x)?(3x?1.2),max???(x)?3x?(0,2)?2311.223?1,?xn?1?33xn?1.2收敛(3)f?(x)?3x?3,xn?1323xn?3x?1.2 ?xn?23xn?35、用二分法求方程f(x)?x?x?1在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；x?1.32。

*32x?x?1?0在x0?1.56．为求方程

附近的一个根，设将方程改写成下列等价

形式，并建立相应的迭代公式。

4） x?1?1,迭代公式xk?1?1?1x2;

xk225） x?1?x,迭代公式

26） x?32xk?1?31?xk;

1,迭代公式xk?1?1x?1xk?1.

试分析每种迭代公式的收敛性。

32321.4?1.4?1??0.216?01.5?1.5?1?0.125?0?[1.4,1.5]为有根区间。解：

1)x?1?1/x2?(x)?1?1/x2?'(x)??22??0.73?1x31.43

222?迭代公式xk?1?1?1/xk收敛。2)x?1?x32?(x)?1?x32－12?1.52?(x)?（1?x）3?2x?/(1?1.0)3?0.63?133'2?迭代公式xk?1?31?xk收敛。?323)x2?1?(x)?x?11x?1?'(x)??(x?1)123?2?(1.5?1)2?1.4?1?迭代公式xk?1?1发散。xk?1

'?a?x?bx??(x)[a,b]7、已知在区间内只有一根，而当时，(x)?k?1,试问如

何将x??(x)化为适于迭代的形式？

将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x?4.5（弧度）附近的根。

解：由反函数微分法则有 (?－1(x))'?1?'(x)1?1.?'(x)) 故当 ?'(x)?k?1时，有 (?－1(x))'? 将x??(x) 对 x?tgx??x???1(x)?xk?1???1(xk)(k?0,1,?xk?1???arctgxk 则迭代法是收敛的。x???arctgx 用搜索法知在[4.45,4.50]内有根，取x0?4.45迭代，x(5)?4.49341。

8、能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。

（1）x?(cosx?sinx)/4; （2）x?4?2x.

解: (1) ?(x)?(cosx?sinx)/4,对所有的x,有

?'(x)??sinx?cosx21???1442

故能用迭代法求根。

xxf(x)?x?4?2,则f(1)?0,f(2)?0,故有根区间x?4?2?0. （2）方程为设

为［1，2］。

x'x由?(x)?4?2,?(x)??2ln2?2ln2?1.36829?1,故不能用xk?1?4?2xk来迭

代。

将原方程改写为x?ln(4?x)/ln2,此时，?(x)?ln(4?x)/ln2,

?'(x)??11111?????14?xln24?2ln22ln2，

故可用迭代公式

xk?1?ln(4?xk)ln2

来求解。

9．用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为

xn?12xnxn?33x???xn?， 即 n?122x2xnn(n?0,1,2,?)

取x0=1.7, 列表如下：

n xn 1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 10．给定方程f(x)?(x?1)ex?1?0

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

x解：1）将方程 (x?1)e?1?0 （1）

改写为

?x x?1?e （2）

*?x 作函数f1(x)?x?1，f2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。

?x2) 将方程（2）改写为 x?1?e

?xk?1?1?e?xk构造迭代格式 ?x?1.5?0 (k?0,1,2,?)

计算结果列表如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 ?x?x??(x)?1?e?(x)??e3) ，

当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且

|??(x)|?e?1?1

所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。

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