第二章 线性方程组数值解法

第二章 线性方程组数值解法

A 直接方法

1. 考虑方程组：

?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557;

(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为

?a11??0证明A2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组：

a1T??A2?

4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当为上三角阵。

;?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127?;?0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123?

?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U

|aii|??|aij|(i?1,2,?,n),n6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A

是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式

j?1j?i。

7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

?a11??0?a11??0a1T??A2?a1T??A2?，

其中

A?(aij)n,A2?(aij)n?1;(2)

证明 （1）A的对角元素ii（2）A2是对称正定矩阵；

a?0(i?1,2,?,n);

(n)a?aii,(i?1,2,?,n); （3）n（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）

2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n

（6）从（2），（3），（5）推出，如果

|aij|?1，则对所有k

(k)|aij|?1.8. 设

Lk为指标为k的初等下三角阵，即

?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~IL?IijLkIij求证当i,j?k时，k也是一个指标为k的初等下三角阵，其中ij为初等排

列阵。

9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。

(a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。

?1T11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵；

（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：

?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15??

13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中

00??2?10?1???12?10??0?0????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0???00?12??0??0??14. 用改进的平方根法解方程组

15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么

分解是否唯一？

?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6??

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546??

?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??.

17. 如果方阵A 有

aij?0(|i?j|?t)r?1，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分

解条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.

uri?ari?1）

rkkik?max(1,i?t)?lr?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；

(i?r?1,?,min(n,r?t)).

lir?(air?2）18. 设

ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A????0.10.3?，

计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证

(a) ||x||??||x||1?n||x||?，

1(b)

n||A||F?||A||2?c2||A||F。

n?n20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义

||x||p?||Px||试证明

。

||x||pn?n是R上的一种向量范数。 为对称正定阵，定义

n21. 设A?R||x||A?(Ax,x)1/2，

n试证明||x||A为R上向量的一种范数。

nTx?R,x?(xx,?,x)12n22. 设，求证

lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。

Tx23. 证明：当且尽当x和y线性相关且y?0时，才有

||x?y||2?||x||2?||y||2。

24. 分别描述R中（画图）

2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。

25. 令

?是R（或C）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范

nn?1??||x||?||Px||||A||?||PAP||。 数，证明

26. 设

TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证

||A||s,||A||t为Rn?n上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切

A?Rn?n满足

c1||A||s?||A||t?c2||A||s

28. 设A为非奇异矩阵，求证

||A||?y?0||y||||A?1||??。

?1?1(A??A)||A||||?A||?129. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计

1?min||?A||||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||

cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为

?2???A????11?。

???证明当

23时，cond(A)?有最小值。

TT1/2T31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?DL，求证

2cond(A)?[cond(?)]; 22(a)

T(b) cond(A2)?cond(?)2cond(?)2.

32. 设

?10099?A????9998?

cond(A)v(v?2,?)

计算A的条件数。

33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。

n?n?A,B?R34. 设且为上矩阵的算子范数，证明

cond(AB)?cond(A)cond(B)。

B 迭代法

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1

终止．

?00?A???20??, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设

3. 证明对于任意选择的A, 序列

I,A,收敛于零．

121314A,A,A,?23!4!

４. 设方程组

?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2;迭代公式为

(a11,a12?0);

1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a?11??x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22 ? (k?1,2,?).

(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

r?5. 设方程组

a12a21?1.a11a22

?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)

6. 求证

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1limAk?Ak??的充要条件是对任何向量x，都有

7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

limAkx?Ax.k??111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4B(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0的谱半径；

(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）

?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?211x??(,1,?)T,?(k)?6||x?x||?5?1022?精确解要求当时迭代终止，并且对每一个?值确定迭代次数。

10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）

(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。

?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1

11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式

?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。

(k?1)(k?1)xAx?bi12. 用高斯－塞德尔方法解，用记x的第i个分量，且

试证明当

0???2x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)

ri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。

ri(k?1)x?x?ai；

(a) 证明

(k)?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证： (b) 如果??ri其中

(c) 设A是对称的，二次型

(k?1)(k?1)i??(k)i??aij?j?1i?1ri(k?1)?aii

(k?1)j??aij?i(k)j?in。

Q(?(k))?(A?(k),?(k))

Q(?(k?1))?Q(?(k))???n(rj(k?1))2aj?1jj证明 。 (d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向

量x是收敛的，则A是正定阵。

13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中z1,z2,d1,d2?R。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

(m?1)(m)(m?1)(m)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);

n(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,

(m?1)(m)(m?1)(m?1)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);

?1aa??A??a1a????aa1??

111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?51?02A???3?1??0315. 设

23?04??2?1??07?，试说明A为可约矩阵。 (k?1)?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的16. 给定迭代过程，x特征值i，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR迭代法的框图。

18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；

T2cond(AA)?(cond(A))22(b) 求证。

T?(C)?0(i?1,2,?)

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