第四章扭转（讲稿）材料力学教案（顾志荣）

第 四 章 扭 转

同济大学航空航天与力学学院 顾志荣

一、教学目标与教学内容 1、教学目标 (1)掌握扭转的概念；

(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图； (3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；

(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；

(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；

(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。 (7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。 2、教学内容

(1) 扭转的概念和工程实例；

(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图； (3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;

(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件； (5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件； (6) 圆轴受扭破坏分析； (7) 矩形截面杆的只有扭转； (8) 薄壁杆件的自由扭转。 二、重点和难点

1、重点：教学内容中（1）～（6）。

2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变

形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。 三、教学方式

通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、实施学时 六、讲课提纲

工程实例：

图4-1

**扭转和扭转变形 1、何谓扭转？

如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。

2、何谓扭转变形？

在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形

特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。

I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T)的计算

T?7.02?Ppn KN·m Pp指轴所传递的功率（马力）n指轴的转速（转/分、r/min）T?9.55?PkWn KN·m PkW指轴所传递的功率（千瓦、n指轴的转速（转/分、r/min）

2、扭矩（Mn）的确定及其符号规定 （1）Mn的确定 截面法

(7-1) (7-2)

Kw）

图4-3

?Mx?0

Mn左?TA?0 Mn左?TA

?Mx?0

?Mn右?TB?0 Mn右?TB

（2）Mn的符号规定 右手螺旋法则

图4-4

3、扭矩图

扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。

作法：轴线（基线）x —— 横截面的位置 纵坐标—— Mn的值

正、负 —— 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

图4-5

解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。 （2）作扭矩图，见图4-5，b 一、 圆轴扭转时横截面上的应力 1、实心圆轴

（1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6

（2）τ的方向

由Mn确定，τ与M n同向（见图4-6，a） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算

???Mn?Ip

(7-3)

式中Mn---- 横截面上的扭矩；

ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; Ip----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为Ip?（4）?计算公式的讨论：

①对于某一根受扭的圆轴而言，?max一定发生在Mnmax所在段； ②在确定的截面上，?max一定发生在ρmax处（周边上）； ③Ip的意义 从τ的计算公式讨论Ip ：Ip愈大，τ愈小； 从应力分布状况讨Ip ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，

?D432。

达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算

图4-7

计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的Ip空计算

Ip空??D324?1????0.1D?1???

444 式中的??（3）τ的方向

d D仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。 3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当??d?0.9时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公D式之误差仅为3%左右。 （2） τ的分布规律

图4-8

（3）τ的计算

??Mn2?r0t2 （r0见图4-8） （7-4）

三、圆轴扭转时斜截面上的应力

横截面上：?max发生在周边各点，σ=0

圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。

在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:

图4-9

分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn上的应力： 设斜截面mn的面积为dA,则mb面和bn面的面积：

Amb?dA?cos? Abn?dA?sin?

选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：

?Fn?0 ??dA?(??dA?cos?)?sin??(??dAsin?)?cos??0

??F??0 ?dA?(??dA?cos?)?cos??(??dAsin?)?sin??0

利用????，整理上两式，得：

?????sin2? (a)

????cos2? (b)

据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：

（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。

???0???180????cos2(00)?? ???90????cos2(900)???

??270? （2）由（a）式知：

???45???sin2(450)???

0???135???sin2(1350)????(?1)??

0即：

图4-11

这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。

（低碳钢）

（ 铸铁 ）

图4-11

四、圆轴扭转时强度条件

?max??Mn?maxWp???? （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件

对于实心圆截面 Wp??d316?0.2d3

对于空心圆截面 Wp空??D316(1??4)?0.2D3(1??4)

而 ???：（1）可通过扭转试验测定：

τS---塑性材料 τb---脆性材料

（0.5?0.6）[?] （2）????

例题4-2 已知：主传动轴AB由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,

壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受Mnmax=1.5KN·m

试：校核该轴的强度。

图4-12

解：??dD?2t90?5???0.945 DD901、 按薄壁圆管公式计算τ：

??Mn?22?r0t150090?2.522???()?10?6?2.5?10?32?50MPa????

2、 按空心圆轴公式计算τ：

Wp空??D316(1??)?4??90316(1?0.9454)?29?103mm3

?maxMn1.5?103???51.7MPa???? 3?9Wp空29?10?10校核结果：强度足够。 两种计算方法的误差比较：

51.7?50?100%?3.4% 50

例题4-3 若将AB轴改为实心轴，应力条件相同（即??51.7MPa），试确定实心轴的直径D1=？并比较空心轴和实心轴的重量。

Mn1.5?1036解：?max??51.7?10??D1?0.053m?53mm 3Wp?D116两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：

A实心A空心????4D122?D4??d2?d22??532?2?3.2 （用料） 90?852A空心?A实心?D442D1902?852??0.31 （重量） 253小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；

⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；

⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；

⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。

图4-13

Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念

图4-14

?????扭转角，截面B相对于截面A转过的角度；??γ?杆表面纵向直线所转过的角度。 2、圆轴扭转时的变形计算

⑴扭转角的计算

??MnlGI rad （弧度） p??MnlGI?180?°（度）

p? ⑵单位长度扭转角的计算

???nl?MGIp Rad/m

7-6）7-7）7-8）

（ （

（

Mn180?????lGIp??°/m

（7-9）

3、扭转时刚度条件

?max??maxMnmaxGIp????Rad/m

（7-10） （7-11）

d?0.8；BC段是实D

°/m

Mnmax180???????GIp?

例题4-4 某轴AB段是空心轴，内外径之比??心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa、[θ]=1?m、G=80GPa,试设计D和d 应等于多少？

图4-15

解：1、作扭矩图

2、根据强度条件设计D、d

AB段：

?max?Mn1146??[?]?80MPa?Wp空D3(1??4) 16D?316?1146?49.6mm??(1?0.84)?80?106

BC段：

?max?Mn764??[?]?80MPaWp实?d3

16d?316?764?0.0365m?36.5mm??80?106

3、根据刚度条件设计D、d AB段：

Mn180?????GIp空?114680?109??32?180D4(1??4)??[?]?1?m

32?1146180?D?4??0.0611m?61.1mm80?109???(1?0.84)?1?

BC段：

Mn180?????[?]?1?mGIp空?76480?109??180??1

?d432?

?32?764180d?4??0.0486m?48.6mm80?109???1?

4 结论：

D=61.1mm – 刚度条件确定。 d=48.1mm – 刚度条件确定。

Ⅲ 扭转超静定

例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, [τ]=50MPa、[θ]=2.5?m、G=80?109Pa,试对此轴进行强度和刚度校核。

图4-16

解：①截面的几何性质计算： AC段：IP空?CE段：IP实??D432??d432???3432?10?8???1.5432?10?8?7.45?10?8m4

?D432???3432?10?8?7.95?10?8m4②求约束反力:

解除A端约束，建立变形协调条件：

图4-17

?A?E?0，即：

?A?ETA?40?10?2TA?40?10?2300?15?10?2300?40?10?2500?25?10?2??????0GIP空GIP实GIP空GIP实GIP实将G、IP空、IP实代入上式运算，得 TA??52N?M再由静力平衡方程解出 TE??252N?M

③强度校核 BC段： Wp空??D316(1??)?4??(0.03)3161.5[1?()4]?4.97?10?6m3

3Mn248?max???49.9MPa?[?]?50MPaWp空4.97?10?6

DE段： Wp实??max??D316???(0.03)316?5.3?10?6m3

Mn248??47.5MPa?[?]?50MPaWp实5.3?10?6

④刚度校核 BC段： ?maxDE段： ?maxMn180?248180??????2.38?9?8mGIP空??80?10?7.45?10

Mn180?252180??????2.27? 9?8mGIP实??80?10?7.95?10均 ?[?]?2.27?m

Ⅳ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。 一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别

（a） (b)

图4-18

圆截面杆受扭：平面假定

非圆截面受扭：截面翘曲—图a所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图b）。说明：

原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。 二、非圆截面杆扭转的两种情况 1、自由扭转

等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。

因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。 2、约束扭转

由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。 三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形 1、矩形截面杆

（1）截面上剪应力的分布规律

图4-19

①最大剪应力发生在截面长边的中点处

?max?MnMn? 2W?htpWp??ht2

?-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数

?'???max

（短边中点）

?-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数

式中：α 、υ可按截面尺寸比值从教材提供的表格中查取。 ②截面周边各点处的剪应力方向一定与周围平行（相切）。 ③截面凸角点处的剪应力一定为零。 （2）单位长度扭转角θ的计算式

??MnMn??Ght2GIp

Ip??ht3

?-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数

2、狭长矩形截面杆

当矩形截面的h/t>10时，称为狭长矩形。

（1）截面上的应力分布规律

①最大剪应力发生在截面长边除靠近顶点外的各点。

?max?3MnMn12?W?ht p2 3Wpht长边上除靠近顶点以外均相等

②长边各点处的剪应力方向均与长边相切。 ③截面凸角点的剪应力为零。

图4-20

（2）单位长度扭转角θ的计算式

??3MnMn13I?ht?p2 3GIGhtp

例题4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面I-I上的τ可近似地按矩形截面杆受扭计算。若t=23mm,h=102mm,Mn=26.3mm,求该截面上的τmax=?

截面I-I 图4-21

解：由截面I-I的尺寸求得

h?4.43 t查教材P159表４－１，并利用插入法，求出

α＝０.286

则

例题4-7 试求由薄板卷成的薄壁圆管的应力和扭角。圆管用两种不同的制作方法；1）开口圆管；2）焊接封闭圆管。请比较两种截面的

?maxMn26.3?103???1.7MPa ?ht20。286?102?232

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