复变函数与积分变换复习资料

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x?y；

22

2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下：

yx 当x?0, argz?arctan；

y?y?0,argz?arctan????x 当x?0,?；

?y?0,argz?arctany???x?4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z?ze，其中??argz。 (二) 复数的运算

1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：

1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

i?

z1z2?x1?iy1x2?iy2i???x1???x2iyx2?1??i?y?2i?2i?y2?x2??i2yx?x212yy21?i2?2xy2?yx212?y2x。 12xy222）若z1?z1e1,z2?z2ez1z2?z1z2ei??1??2?, 则 z1z2i??1??2?；

z1z2?e

3.乘幂与方根

1） 若z?z(cos??isin?)?ze，则zn?z(cosn??isinn?)?zein?。 2） 若z?z(cos??isin?)?ze，则

1ni?nni?z?zn??2k???2k???cos?isin??nn??(k?0,1,2?n?1)（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数 1）指数函数：e?ezx?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。

注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）；

主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???1z；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；z?ebbLnz(z?0)

?注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb??bzb?1。

4）三角函数：sinz?e?e2iiz?iz,cosz?e?e2iz?iz,tgz?sinzcosz,ctgz?coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz

注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）

e?e2z?z4） 双曲函数 shz?,chz?e?e2z?z；

shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。

（四）解析函数的概念

1

1．复变函数的导数

f?z0??z??f?z0??z1）点可导：f??z0?=lim；

?z?02）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念

1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：

?u?x?v?x?u?x??v?y,?u?y???v?x

此时， 有f??z???i。

2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：

?u?x?v?x?u?x??v?y,?u?y???v?x；

此时f??z???i。

注意： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。

因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数

f(z)?u?iv一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

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1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3） （六）复变函数积分的概念与性质

n1． 复变函数积分的概念：?f?z?dz?limcn???f????zkk?1k，c是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1） ?f?z?dz???ccc?1f?z?dz （c与c的方向相反）；

?1

2） ?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；

cc3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则?f?z?dz?c?c1f?z?dz??cf2?z?dz。

3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：?f?z?dz?c?cudx?vdy?i?vdx?udy；（常用于理论证明）

c2）参数方法：设曲线c： z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，?对应曲线c的终点，则 ?f?z?dz?c???f[z?t?]z?(t)dt。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

??f?z?dz?0

c2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则

① ??f?z?dz?cn???f?z?dz, 其中c与ck?1ckk均取正向；

?1② ??f?z?dz?0，其中?由c及c(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。

?3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续

3

变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则?z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)

说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，

fz0为c内任意一点，则???z?cz?z0dz?2?if?z0?

6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

f ???z?c(z?z0)dz?n?12?in!f?n??z0?(n?1,2?)

其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：

1?2?i,dz???0,n?0n?0??(z?a)cn?1。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法?f?z?dz??c??f[z?t?]z??t?dt

2）设f?z?在区域D内解析， ? ?

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，??f?z?dz?0

cc是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

?cf?z?dz??z2z1f?z?dz?F?z2??F?z1?

3）设f?z?在区域D内不解析

f?z??dz?2?if?z0????cz?z?0曲线c内仅有一个奇点：?（f(z)在c内解析）

f?z?2?i?n??dz?f?z0??c(z?z)n?1??n!0??

?

曲线c内有多于一个奇点：??f?z?dz?cn???f?z?dz（ck?1cki内只有一个奇点zk）

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n 或：??f?z?dz?2?i?Res[f(z),zk]（留数基本定理）

ck?1? 若被积函数不能表示成

f?z?n?1(z?zo)，则须改用第五章留数定理来计算。

（八）解析函数与调和函数的关系

???x221．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足????y22?0，

?(x,y)为D内的调和函数。 2．解析函数与调和函数的关系 ? ?

解析函数f?z??u?iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 两个调和函数u与v构成的函数f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西— 黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。

3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件，得

?v?v； ,?x?y对

?v?y??u?x两边积分，得v???xdy?g?x? （*）

?v?x????u?dy??g??x? （**） ???x??x????u?dy??g??x?，可求出 g?x?； ???x??x??u再对（*）式两边对x求偏导，得

由C?R条件，

?u?y???v?x，得

?u?y??代入（*）式，可求得 虚部v???xdy?g?x? 。

?v?xdx??v?ydy???u?ydx??u?x?u2）线积分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件可得dv? dy，

故虚部为v????x,y?x0,y0???u?ydx??u?xdy?c；

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中?x0,y0?与?x,y? 是解析区域中的两点。

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3）不定积分法：若已知实部u?u?x,y?，根据解析函数的导数公式和C?R条件得知，

f??z???u?x?v?y?u?x?u?y?i??i

将此式右端表示成z的函数U?z?，由于f??z?仍为解析函数，故

f?z???U?z?dz?c （c为实常数）

注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. （九）复数项级数 1．复数列的极限

1）复数列{?n}?{an?ibn}（n?1,2?）收敛于复数??a?bi的充要条件为

liman?a,n??limbn?b （同时成立）

n??2）复数列{?n}收敛?实数列{an},{bn}同时收敛。 2．复数项级数

???1）复数项级数??n(?n?an?ibn)收敛的充要条件是级数?an与?bn同时收敛；

n?0n?0n?02）级数收敛的必要条件是lim?n?0。

n??注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性

?n?1．幂级数的概念：表达式?cn(z?z0)或?cnzn为幂级数。

n?0n?02．幂级数的敛散性

?1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数?cnzn在z0?0处收敛，那么对满足

n?0z?z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在z0处发散，那么对满足z?z0的一切z，级数必

发散。

2）幂级数的收敛域—圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。

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3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

cn?1cn1? 比值法 如果limn?????0，则收敛半径R?1?；

? ?

根值法 limn??cn???0，则收敛半径R??；

如果??0，则R??；说明在整个复平面上处处收敛； 如果???，则R?0；说明仅在z?z0或z?0点收敛；

?注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如?cnz2n）

n?03．幂级数的性质

1）代数性质：设?anz,?bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记R?min?R1,R2?，

nn?0n?0??则当z?R时，有

??nnn??(?an?0?n??bn)z???anz???bnz （线性运算）

n?0n?0?nn?(?anz)(?bnz)?n?0n?0?(an?0nb0?an?1b1???a0bn)z （乘积运算）

n?2）复合性质：设当??r时，f?????a?nn?0nn，当z?R时，??g?z?解析且g?z??r，

?则当z?R时，f[g?z?]??an?0n[g?z?]。

?3） 分析运算性质：设幂级数?anzn的收敛半径为R?0，则

n?0??

其和函数f?z???an?0nz是收敛圆内的解析函数；

n??

在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f??z???nan?0?znn?1 z?R

?

在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；?f?z?dz??0zann?1zn?1 z?R

n?0（十一）幂函数的泰勒展开

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1. 泰勒展开：设函数f?z?在圆域z?z0?R内解析，则在此圆域内f?z?可以展开成幂级数

?f?z???n?0f?n??z0?n!?z?z0?n；并且此展开式是唯一的。

注：若f?z?在z0解析，则f?z?在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R?z0?a；

其中R为从z0到f?z?的距z0最近一个奇点a之间的距离。 2．常用函数在z0?0的泰勒展开式

?1）e?z?n?01n!?z?1?z?nz22!?z33!???znn!?? z??

2）

11?z??zn?0n2n?1?z?z???z?? z?1

?3）sinz??(2n?1)!zn?0?(?1)n2n?1?z?z33!z4?z55!???(?1)n(2n?1)!n2nz2n?1?? z??

4）cosz??n?0(?1)n(2n)!z2n?1?z22!?4!???(?1)(2n)!z?? z??

3．解析函数展开成泰勒级数的方法

1n!?n??1）直接法：直接求出cn?f?z0?，于是f?z???cn?z?z0?。

n?0n2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。

（十二）幂函数的洛朗展开

?n 1. 洛朗级数的概念：

?n???cn?z?z0?，含正幂项和负幂项。

2．洛朗展开定理：设函数f?z?在圆环域R1?z?z0?R2内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意

?一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f?z???n???cn?z?z0? ，且展开式唯一。

n3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4．利用洛朗级数求围线积分：设f?z?在r?z?z0?R内解析，c为r?z?z0?R内的任何一

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条正向简单闭曲线，则 ??f?z?dz?2?ic?1。其中c?1为f(z)在r?z?z0?R内洛朗展开式中

c1z?z0的系数。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。 （十三）孤立奇点的概念与分类

1。 孤立奇点的定义 ：f?z?在z0点不解析,但在z0的0?z?z0??内解析。 2。孤立奇点的类型：

1）可去奇点：展开式中不含z?z0的负幂项；f?z??c0?c1?z?z0??c2?z?z0??? 2）极点：展开式中含有限项z?z0的负幂项；

f2?z??c?m(z?z0)m?c?(m?1)(z?z0)m?1???c?1(z?z0)?c0?c1(z?z0)?c2(z?z0)???m?1m2g?z?(z?z0)m,

其中g?z??c?m?c?(m?1)(z?z0)???c?1(z?z0)且g?z0??0,m?1,c?m?0；

?c0(z?z0)??在z0解析，

3）本性奇点：展开式中含无穷多项z?z0的负幂项；

f?z????c?m(z?z0)m???c?1(z?z0)?c0?c1(z?z0)???cm(z?z0)??

m（十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：limf?z??c0常数；

z?z02．极点：limf?z???

z?z03．本性奇点：limf?z?不存在且不为?。

z?z04．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数f?z?，如果能表示成f?z??(z?z0)??z?，

m其中??z?在z0解析，??z0??0,m为正整数，称z0为f?z?的m级零点； 2）零点级数判别的充要条件

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