大学物理学第三版下册课后答案

习题八

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3

解得

q???

(2)与三角形边长无

关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解: 如题8-2图示

3q3Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

解得 q?2lsin?4??0mgtan? 8-3 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强

→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

?解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则

这两板之间有相互作用力f，有人说f=

q24??0d2,又有人说，因为f=qE,E?q，所?0Sq2以f=．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

?0S解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个?0Sqq2板的电场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用?2?0S2?0S2?0Sq的电场力．

????8-5 一电偶极子的电矩为p?ql，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为

?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E?分

别为

Er=

pcos?psin?, = E?332??0r4??0r?证: 如题8-5所示，将p分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量psin?． ∵ r??l

∴ 场点P在r方向场强分量

??Er?垂直于r方向，即?方向场强分量

pcos? 32π?0rpsin? 34π?0rE0?

题8-5图 题8-6图

-1

8-6 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强． 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEP?1?dx 24π?0(a?x)?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx 2(a?x)?11[?]

ll4π?0a?a?22??lπ?0(4a2?l2)

?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

(2)同理 dEQ?1?dx 方向如题8-6图所示

4π?0x2?d22由于对称性dEQx?0，即EQ只有y分量，

l??1?dxddEQy?22∵ 4π?0x2?d22x?d2EQy??dEQyl2

d2??4π?2?l2l?2dx(x2?d22)

3

2?以??5.0?10?9?l2π?0l2?4d22C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?

题8-7图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

dE??Rd?方向沿半径向外

4π?0R2则 dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0R dEy?dEcos(???)?积分

Ex???0??sin?d??4π?0R2π?0R

Ey?∴ E?Ex???0??cos?d??0

4π?0R?，方向沿x轴正向．

2π?0R8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E．

?q解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图，大小为

4dEP???cos?1?cos?2?4π?0r2?l2r2?l22l42

∵ cos?1?

cos?2??cos?1

∴ dEP??4π?0r2?l42lr2?l22

?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

∴ dE???l4π?0r2?l42rr2?l22r2?l42

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

题8-17图

E??dEy??2???Rd?cos?

?4π?R202????［sin(?)?sin］

224π?0R??

2π?0R?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??AB2R?dx?dx????ln2 R4π?0x4π?0x4π?0同理CD产生 U2??ln2 4π?0半圆环产生 U3?πR?? ?4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3??? ln2?2π?04?04

-1

-31

-19

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10kg，电子电量e=1.60×10C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

E??

2π?0re? 2π?0r电子受力大小 Fe?eE?e?v2∴ ?m

2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得 ??e8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压． 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

4∴ U?Ed?1.5?10V

-1

??8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；

(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)．

解: (1)点电荷 U?q 4π?0r 题 8-20 图

∴ E????U?q??r0?r r0为r方向单位矢量． 20?r4π?0r(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势

U?q4π?0R?x22

??U?qx∴ E??i??x4π?0R2?x2??3/2?i

??(3)偶极子p?ql在r??l处的一点电势

U?q[4π?01l(r?cos?)2?1l(1?cos?)2]?qlcos? 24π?0r∴ Er???Upcos?? ?r2π?0r3E???1?Upsin?? 3r??4π?0r8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．

?2，证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，

?3，?4

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

?? ?E?dS?(?2??3)?S?0

s∴ ?2??3?0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

2

8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0

-7

mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

题8-22图

(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB ∴

?1EACdAB???2 ?2EABdAC且 ?1+?2?qA S得 ?2?qA2q, ?1?A 3S3S2qA??2?10?7C 3而 qC???1S??qB???2S??1?10?7C(2) UA?EACdAC?

?1dAC?2.3?103V ?08-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

题8-23图

U???R2???E?dr??qdrq ?R24π?r24π?R00(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电

势由内球?q与内表面?q产生：

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0

4π?0R2得 q??R1q R2外球壳上电势

UB?q'4π?0R2?q'4π?0R2??q?q'?R1?R2?q ?24π?0R24π?0R2d?3R处有

8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0

8-24图

由电势叠加原理有：

UO?q'q??0

4π?0R4π?03R得 q???q 38-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

q2解: 由题意知 F0?

4π?0r2(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

q, 2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3q???q

4∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

q??32qq'q\38F1???F0 2284π?0r4π?0r(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为

2q. 3

?q1?q2?q10?q20?C1U?C2U?CU?q则?1?11 ?q2C2U2??U1?U2解得 (1) q1?C1(C1?C2)C(C?C2)U,q2?21U

C1?C2C1?C2(2)电场能量损失

?W?W0?W

2q12q21122?(C1U?C2U)?(?) 222C12C2?2C1C22U

C1?C28-34 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为

R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求：

(1)整个电场储存的能量；

(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q

题8-34图

(1)在r?R1和R2?r?R3区域

?E?0

?在R1?r?R2时 E1??r?R3时 E2?∴在R1?r?R2区域

?Qr

4π?0r3?Qr 34π?0rW1??R2R11Q22?0()4πrdr 224π?0r??在r?R3区域

R2R1Q2drQ211?(?) 28π?0R1R28π?0r1QQ2122 W2???0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?Q2111∴ 总能量 W?W1?W2?(??)

8π?0R1R2R3?1.82?10?4J

?(2)导体壳接地时，只有R1?r?R2时E??Qr,W2?0

4π?0r3Q211∴ W?W1?(?)?1.01?10?4 J

8π?0R1R2(3)电容器电容 C?2W11?4π?/(?) 0R1R2Q2?4.49?10?12F

习题九

?9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定?义为磁感应强度B的方向?

解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向

??不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁?场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．

题9-2图

?9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁

感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?

?? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明B1?B2

?abcd??B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

??∴ B1?B2

?(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B方

??向相反，即B1?B2.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?

答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．

9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??0nI，外面B=0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分

???LB外·dl=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为 这是为什么?

解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是

??Bl·d=?0I ?L外?L??B外?dl??0?I?0，与

?L???B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实

际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，只是B外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B??的距离．

??0I,r为管外一点到螺线管轴2?r

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存

在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．

-2

9-6 已知磁感应强度B?2.0Wb·m的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．

解： 如题9-6图所示

题9-6图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

???2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰?0.24Wb)

??45题9-7图

?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半

径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

??AB 产生 B1?0

CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里． 2?R269-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，

I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的

距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．

题9-8图

?解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里

BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1 m

题9-9图

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．

解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

I1电阻R2???. I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外

B1??0I1(2???)，

2R2?

?I2产生B2方向?纸面向里

B2??0I2?

2R2?∴

B1I1(2???)??1 B2I2?有 B0?B1?B2?0

9-10 在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A通

过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

??? 题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取

?Idl，在轴上P点产生dB与R坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI??R垂直，大小为

IRd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d?dBx?dBcos??02

2?R?Isin?d??dBy?dBcos(??)??02

22?R?0∴ Bx???2??2?0I?Icos?d??0I???5 T ?[sin?sin(?)]??6.37?102222?R2?R22?RBy??(??2??2?0Isin?d?)?0

2?2R???5∴ B?6.37?10i T

9-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10-8cm的轨道上作匀速圆周运动，

速率v=2.2×10cm·s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．

8

-1

解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

????0ev?aB0?

4?a3如题9-11图，方向垂直向里，大小为

B0??0ev?13 T 4?a2电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

?Pm?e2eva?a??9.2?10?24 A?m2 T2题9-11图 题9-12图

9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度； (2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,l=25cm)． 解：(1) BA??0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T方向?纸面向外

(2)取面元dS?ldr

???r1?r2r1[?1I1?0I1?Il?Il1?Il?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?6Wb 2?r2?(d?r)2?2?3?9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13

图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率

???0.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

??B?dl??0?I

lIr2B2?r??02

R∴ B??0Ir 2?R2

题 9-13 图 磁通量 ?m?B?dS?(s)????R0?0Ir?0I?6dr??10 Wb 24?2?R9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等? ?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

解： B?dl?8?0a???

??ba??B?dl?8?0

c???B?dl?0

(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

题9-14图题9-15图

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率??试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：

?0，

r2?a2 B? 22r2?(b?a)?0I解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??B则 ??dl?B2?r

l?I?(?r2??a)2I

?b2??a2?0I(r2?a2)∴ B? 222?r(b?a)9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小 解：

?L??B?dl??0?I

Ir2(1)r?a B2?r??02

RB?(2) a?r?b B2?r??0I

?0Ir 22?RB??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I22c?b?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?c B2?r?0

B?0

题9-16图题9-17图

9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2?? 222?a2?aR?r∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R?r)22

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2??电流I1产生的B2 ?22222?aR?r2?(R?r)??∴ B0?0Ia2?(R?r)22

题9-18图

9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力． 解： FAB???AB??I2dl?B

FAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

AFAC??d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a?ln 2?r2?d?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

FBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?∴ FBC?dr ?cos45?d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?题9-19图

?9-19 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电

流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．

?

解：在曲线上取dl

???b则 Fab??Idl?B

a??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B

aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

题9-20图

9-20 如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求：

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩． 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

??0I1?4FCD?I2b?8.0?10 N

2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I12?(d?a)?8.0?10?5 N

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5 N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

?????F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B ∵ 线圈与导线共面

???∴

?M?0??Pm//B．

题9-21图

9-21 边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T 的均匀磁场中，线圈平面与

磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1)线圈每边所受的安培力； (2)对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???解： (1) Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为

Fab?IlBsin120??0.866 N

???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

Fca?IlBsin120??0.866 N

(2)Pm?IS

???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1?0 ?2?32lB 4∴ A?I32lB?4.33?10?2J 4?9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T. 解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则

??M?PmBsin??NIa2Bsin?

d2?22由转动定律 J2??NIaBsin???NIaB?

atd2?NIa2B??0 即 2?Jdt∴ 振动角频率 ??NIa2B J2??2?J

Na2IB周期 T??9-23 一长直导线通有电流I1＝20A，旁边放一导线ab，其中通有电流I2=10A，且两者共面，如题9-23图所示．求导线ab所受作用力对O点的力矩． 解：在ab上取dr，它受力

?dF?ab向上，大小为 dF?I2dr?0I1 2?r????dF对O点力矩dM?r?F ?dM方向垂直纸面向外，大小为

dM?rdF??0I1I2dr 2??IIM??dM?012a2?b?badr?3.6?10?6 N?m

题9-23图题9-24图

9-24 如题9-24图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?剩余电荷．假

?定圆盘绕其轴线AA?以角速度? (rad·s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?．试证磁

-1

场作用于圆盘的力矩的大小为M????R4B4．(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑．)

解：取圆环dS?2?rdr，它等效电流

dI? ?dq??dq T2???dS???rdr 2?2等效磁矩 dPr3dr m??rdI????????纸面向内，大小为 受到磁力矩 dM?dPm?B，方向

dM?dPm?B????r3drB

M??dM????B?rdr?0-4

R3???R4B4

9-25 电子在B=70×10T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r=3.0cm．已知B垂直于纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题9-25图．

(1)试画出这电子运动的轨道；

?(2)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．

??

题9-25图

解：(1)轨迹如图

v2(2)∵ evB?m

reBr?3.7?107m?s?1 m12?16(3) EK?mv?6.2?10 J

2-4

9-26 一电子在B=20×10T的磁场中沿半径为R=2.0cm的螺旋线运动，螺距h=5.0cm，

∴ v?如题9-26图．

(1)求这电子的速度； (2)磁场B的方向如何?

解: (1)∵ R??mvcos? eBh?2?mvcos?eB题9-26 图

∴ v?(eBR2eBh2)?()?7.57?106m?s?1 m2?m?(2)磁场B的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定．

9-27 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm的导体，沿长度方向载有

-5

3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10V的横向电压．试求：

(1)载流子的漂移速度； (2)每立方米的载流子数目．

解: (1)∵ eEH?evB ∴v?-3

EHUH? l为导体宽度，l?1.0cm BlBUH1.0?10?5??2?6.7?10?4 m?s-1 ∴ v?lB10?1.5(2)∵ I?nevS ∴ n? ?I evS3 ?19?4?2?51.6?10?6.7?10?10?10

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