向量代数与空间解析几何

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ － － － Ⅷ ＋ － － x y z 记忆起来也不难：前四个卦限的x坐标和y坐标和平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z坐标都是正的；后四个卦限的x坐标和y坐标和也平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z坐标都是负的。

4.1.2 空间两点间的关系

设空间两点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，求它们之间的距离d=个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图8-4所示的长方体。

M1M2。过A、B两点各作三

d2=M1M222222=M1B+BM22

=M1A+AB+BM2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2所以

d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 特别地，点M(x,y,z)与原点O的距离为 d=OM=x2+y2+z2 4.2 向量代数

4.2.1 向量的概念

在现实世界中，我们常见到两类量：一类是数量，如温度、长度、质量等，这类量只有大小，没有方向也称为标量；还有一类量既有大小也有方向如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量。我们也 常用有向线段来表示向量，以M为起点N为终点的有向线段所示的向量，记为MN。也可用黑体字母

??????表示，如a，b,i，F等，有时为了书写方便也用a，b，i，F等表示向量。

??????向量a的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模．模为1的向量称为单位向量．模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.

4.2.2 向量的坐标表示

向量的运算仅靠几何方法研究有些不便，为此须将向量的运算代数化。

基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.向径的坐标表示 点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1i?a2j?a3k或简记为OP={a1,a2,a3}.

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M1M2的坐标表示 设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量；M1M2的坐标表达

式为M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.

向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.

2224.2.3 向量的运算

1.向量的加法

①若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为a?b.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.

②将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a?b.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.

向量的加法满足下列运算律. 交换律：a?b=b?a；

结合律：（a?b）+c=a+（b+c）.

?b ??a+b ?a

??a+b ?a

?b

图4.3 图4.4

2.向量与数的乘法运算

实数?与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数?的乘积，记作?a，并且规定： ①?a?? a；

②当??0时，?a与a的方向相同；当??0时，?a与a的方向相反； ③当??0时，?a是零向量.

设?,?都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：?(?a)?(??)a??(?a)；

分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b. 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算. 3.求与a同向的单位向量的方法

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设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量 ea?4.负向量

a. a当???1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量. 5.向量的减法

两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b .

向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以

a的终点为终点的向量.

6.向量的数量积

（1）定义

设向量a,b之间的夹角为?(0???π)，则称abcos?为向量a与b的数量积，记作a·b，即 ，结果是一个数。 a·b=abcos?.向量的数量积又称“点积”或“内积”

向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：?(a·b)=(?a)·b (其中?为常数). （2）数量积的坐标表示

设a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,则a·b=a1b1?a2b2?a3b3. （3）向量a与b的夹角余弦

设a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,则 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b = (0???π).

222222aba1?a2?a3b1?b2?b3（4）向量的方向余弦

?,?,?(0??,?,??π),称其为向量设 向 量 a?a1i?a2j?a3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 a的三个方向角，并称cos? ,cos?,cos?为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos??a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a79

212223, cos??a3a?a?a212223，

且cos2??cos2??cos2??1.

7．向量的向量积

（1）定义

两个向量a与b的向量积是一个向量，记作a×b，结果是一个向量，它的模和方向分别规定如下： ①a×b=absin? 其中?是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律. 反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?为常数). （2）向量积的坐标表示

设a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，则

a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.

可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3 .

b1 b2 b38.三个重要结论

给出两个向量a(a1,a2,a3)a和b(b1,b2,b3)

（1）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3; （2）a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0; （3）a∥b?a=?b?a1a2a3???a?b?0. b1b2b3其中，“?”表示“充分必要条件”．

例4.1 设向量AB=4i?4j+7k的终点B的坐标为(2,?1,7).求 (1)始点A的坐标；(2)向量AB的模；(3)向量AB的方向余弦；(4)与向量AB方向一致的单位向量.

解：（1）设始点A的坐标为 (x,y,z)，则有 2?x?4， ?1?y??4 ,7?z?7，得 x=?2 ,

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