最新人教版A版高三数学（理）高考一轮复习8.8 曲线与方程教学设计及答案

第八节 曲线与方程

轨迹与轨迹方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

知识点 曲线与方程 1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，

y)＝0的实解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)方程f(x，y)＝0为最简形式．

(5)说明以简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2

?F1

的交点坐标即为方程组?

?F2

x，y＝0，x，y＝0

的实解．

若此方程组无解，则两曲线无交点．

易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．

[自测练习]

1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( ) A．恒过定点(－2,3) B．恒过定点(2,3)

C．恒过点(－2,3)和点(2,3) D．都是平行直线

解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.

答案：A

y??

2．平面上有三个点A(－2，y)，B?0，?，C(x，y)，若→AB⊥→BC，则动点C2??的轨迹方程为____________．

y?→?y???y?y→

解析：AB＝?2，－?，BC＝?x，?，由→AB⊥→BC，得→AB·→BC＝0，即2x＋?－?·

2?2????2?2＝0，∴动点C的轨迹方程为y＝8x.

答案：y2＝8x

3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．

解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，

∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

答案：＋＝1(y≠0)

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考点一 直接法求轨迹方程|

1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若

2

x2y2

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