细-2012届高考数学-三角函数的最值-5页-2012.11.22-已打印

本卷第1页（共5页） ●知识梳理

1.y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法.

常转化为y =22b a +sin （x +?），其中tan ?=

a

b . 2.y =a sin 2x +b sin x +

c 型.

常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型.

3.y =d x c b x a ++cos sin 型. （1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解.

4.利用单调性.

●点击双基 1.（2000年全国）若0＜α＜β＜

4π，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则 A.a ＜b ＜1 B.a ＞b ＞1 C.ab ＜1 D.ab ＞1 解析：a =2sin （α+

4π），b =2sin （β+4π），0＜α+4π＜β+4π＜2

π，∴1＜a ＜b ，ab ＞1.答案：D 2.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－

4π，4π］上的最小值是 A.212- B.－221+ C.－1 D.

2

21- 解析：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45. ∴当x =－

4

π时，y min =221-.答案：D 3.函数y =x －sin x 在［2π，π］上的最大值是 A.2π－1 B.

2π3+1 C.2

π3－22 D.π 解析：y =x －sin x 在［2π，π］上是增函数，∴x =π时，y max =π.答案：D 4.y =x

x sin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________. 解析一：y =

x x sin 22sin 2+-+=1－x sin 22+. 当sin x =－1时，得y min =－1，当sin x =1时，得y max =3

1. 解析二：原式?sin x =y

y -12（∵y ≠1） ?|y y -12|≤1?－1≤y ≤31.∴y max =3

1，y min =－1. 答案：3

1 －1

本卷第2页（共5页） 5.y =x

x sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________. 解析一：y =

x x sin cos 2-?y sin x +cos x =2?21y +sin （x +?）=2 ?sin （x +?）=212

y +（x ∈（0，π））?0＜212y +≤1?y ≥3.

∴y min =3.

解析二：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹 ?

??='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A （－23，2

1）时，y min =k AB =3

. ●典例剖析

【例1】 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.

解：当a ＞0时，??

??=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；

当a ＜0时，??

??-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +?）（tan ?=－3

4）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +?）（tan ?=

34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.

【例2】 求函数y =cot 2

x sin x +cot x sin2x 的最值. 剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 解：y =x x sin cos 1+·sin x +x x sin cos ·2sin x cos x =2（cos x +41）2+8

7. ∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1. ∴当cos x =－41时，y 有最小值8

7，无最大值.

本卷第3页（共5页） 评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件.

【例3】 求函数y =x

x cos 2sin 2--的最大值和最小值. 剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.

解法一：去分母，原式化为sin x －y cos x =2－2y ，即sin （x －?）=2122y y

+-. 故21|

22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤3

74+. ∴y max =374+，y min =3

74-. 解法二：令x 1=cos x ，y 1=sin x ，有x 12+y 12=1.它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos

x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可.由21|

22|k k +-=1，得k =3

74±. ∴y max =

374+，y min =3

74-. 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.

●闯关训练 1.函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－

6π，4π］时的值域为 A.［－1，0］ B.（－1，0］ C.［0，1）

D.［0，1］ 解析：y =log 2（1－sin 2x ）=log 2cos 2x .

当x =0时，y max =log 21=0；

当x =4

π时，y min =－1.∴值域为［－1，0］.答案：A 2.当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是 A.23 B.－23 C.13 D.4

解析：y =13sin （?－x ）（其中tan ?=

3

2）.y 有最大值时，应sin （?－x ）=1??－x =2k π+2π?－x =2k π+2π－?. ∴tan x =－tan （－x ）=－tan （2k π+2π－?）=－cot ?=－?tan 1=－2

3.答案：B

本卷第4页（共5页） 3.函数y =2

sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______. 解析：∵y =2sin 1sin 3+-x x =2sin 72sin 3+-+x x ）（=3－2

sin 7+x ， ∴当sin x =1时，y max =3－37=3

2； 当sin x =－1时，y min =－4. 答案：

32 －4 4.在△ABC 中，a =sin （A +B ），b =sin A +sin B ，则a 与b 的大小关系为_______.

解析：a =sin A cos B +cos A sin B ＜sin A +sin B =b . 答案：a ＜b

5.（2004年湖南，13）已知向量a =（cos θ，sin θ），向量b =（3，－1），则|2a －b |的最大值是____________.

解析：∵2a －b =（2cos θ－3，2sin θ+1），

∴|2a －b |=22sin 23cos 2）（）（1++-θθ=）（3

πsin 88-+θ≤4. ∴|2a －b |的最大值为4.

6.求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域.

解：设t =sin x +cos x ，则t ∈［－2，2］.由（sin x +cos x ）2=t 2

?sin x cos x =212-t . ∴y =1+t +212-t =21（t +1）2.∴y max =2

1（2+1）2=2223+，y min =0.∴值域为［0，2223+］. 培养能力 7.已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值.

解：令u =sin 2x +4sin 2x cos 2x ，

则u =sin 2x +sin 22x =21（1－cos2x ）+（1－cos 22x ）=－cos 22x －21cos2x +23=－（cos2x +41）2+16

25， 得u max =1625.由y ≥u 知y min =16

25. 8.（2005年北京海淀区高三期末练习）已知向量a =（cos

23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin 2

x ），c =（3，－1），其中x ∈R . （1）当a ⊥b 时，求x 值的集合；

（2）求|a －c |的最大值.

解：（1）由a ⊥b 得a ·b =0，即cos

23x cos 2x －sin 23x sin 2x =0. 则cos2x =0，得x =

2πk +4π（k ∈Z ）.∴{x |x =2πk +4π，k ∈Z }为所求. （2）|a －c |2=（cos 23x －3）2+（sin 23x +1）2=5+4sin （23x －3

π）， ∴|a －c |有最大值3.

本卷第5页（共5页） 探究创新

9.设函数f （x ）=a sin ωx +b cos ωx （ω＞0）的最小正周期为π，并且当x =

12

π时，有最大值f （12π）=4. （1）求a 、b 、ω的值；

（2）若角α、β的终边不共线，f （α）=f （β）=0，求tan （α+β）的值. 解：（1）由ω

π2=π，ω＞0得ω=2.∴f （x ）=a sin2x +b cos2x . 由x =12π时，f （x ）的最大值为4，得?????==???

???=+=+.3224232422b a b a b a ， （2）由（1）得f （x ）=4sin （2x +

3π）. 依题意有4sin （2α+

3π）=4sin （2β+3π）=0. ∴sin （2α+3π）－sin （2β+3

π）=0. ∴cos （α+β+

3π）sin （α－β）=0（和差化积公式见课本）. ∵α、β的终边不共线，即α－β≠k π（k ∈Z ），故sin （α－β）≠0.

∴α+β=k π+6

π（k ∈Z ）.∴tan （α+β）=33. ●思悟小结

1.求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性.

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.

3.注意题中的隐含条件.

拓展题例

【例题】 （2001年春季全国）已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cos αcos βcos γ的最大值等于_______.

解析：∵sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1，∴3－（cos 2α+cos 2β+cos 2γ）=1.

∴cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2≥33γβα222cos cos cos .

∴cos 2αcos 2βcos 2γ≤（3

2）3. ∴cos αcos βcos γ≤332）（=3232=962.答案：9

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i8he.html