高中数学同步题库含详解21圆的方程

高中数学同步题库含详解21圆的方程

一、选择题（共40小题；共200分）

1. 已知 ?? ?2,0 ，?? 2,0 ，则以 ???? 为直径的圆的方程是 ??

A. ??2+??2=2 A. ??+???1=0 经过 ??

A. 第一 、二象限

B. 第二、三象限

C. 第三、四象限

D. 第一 、四象限

4. 方程 ??2+??2+2???4???6=0 表示的图形是 ??

A. 以 1,?2 为圆心， 11 为半径的圆 B. 以 1,2 为圆心， 11 为半径的圆 C. 以 ?1,?2 为圆心， 11 为半径的圆 D. 以 ?1,2 为圆心， 11 为半径的圆

5. 圆 ??2+??2+????+????+??=0 ??2+??2?4??>0 的圆心坐标与半径分别为

A. 2,2 ， ??2+??2?4?? C. ?,? ， ??2+??2?4?? 22A. 1 ??

A. ??? +??2=

2

3232

25425

??

??

????

B. ??2+??2=1 B. ??+??+3=0

C. ??2+??2=3 C. ?????+1=0

D. ??2+??2=4 D. ?????+3=0

2. 将圆 ??2+??2?2???4??+1=0 平分的直线是 ??

3. 在平面直角坐标系 ?????? 中，已知动点 ?? 的坐标满足方程 ???1 2+ ???3 2=4，则点 ?? 的轨迹

B. 2,2 ，

??

???? ??2+??2?4??2

2

D. ?,? ，

22C. ?1

?? ??2+??2?4??6. 圆 ??2+??2+????=0 的圆心的横坐标为 1，则 ?? 等于 ??

B. 2

D. ?2

7. 圆 ?? 经过三点 ?? 0,1 ，?? 2,0 ，?? 0,?1 ，且圆心在 ?? 轴的正半轴上，则圆 ?? 的标准方程为

B. ??+ +??2= 416D. ???4 +??2=

B. 4，6，9

C. ?4，6，9

32

254

32

25

C. ???4 +??2=16 A. 4，?6，9

8. 已知圆 ??2+??2+????+????+??=0 的圆心坐标为 ?2,3 ，半径为 2，则 ??，??，?? 分别为 ??

D. ?4，?6，9

9. 圆 ??+1 2+??2=2 的圆心到直线 ??=??+3 的距离为 ??

A. 1

A. ?????+1=0 A. ?11

B. 2

B. ??????1=0

C. 2

C. ??+???1=0 B. 0

D. 2 2 D. ??+??+1=0

10. 经过圆 ??2+2??+??2=0 的圆心 ??，且与直线 ??+??=0 垂直的直线方程是 ?? 11. 若点 1,1 在圆 ????? 2+ ??+?? 2=4 的内部，则 ?? 的取值范围是 ??

12. 方程 ??2+??2+2????+2????+??2+??2=0 表示的图形是 ??

第1页（共20页）

A. 以 ??,?? 为圆心的圆 C. 点 ??,??

13. 圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是 ??

A. ???1 2+ ???1 2=1 C. ??+1 2+ ??+1 2=2 A. ??2+??2=1 C. ???1 2+??2=1 ??

B. 以 ???,??? 为圆心的圆 D. 点 ???,???

B. ??+1 2+ ??+1 2=1 D. ???1 2+ ???1 2=2 B. ??2+??2=4 D. ??2+ ???1 2=1

14. 以 ?? 0,0 和 ?? 0,2 为直径端点的圆的方程为 ??

15. 方程 ??2+??2+2?????????+??=0 表示圆心为 ?? 2,2 ，半径为 2 的圆，则 ??，??，?? 的值依次为

A. 2，4，4

1

B. ?2，4，4

1

C. 2，?4，4

1

D. 2，?4，?4

1

16. 若方程 ??2+??2??????+4??=0 表示的曲线是圆，则有 ??

A. ??≤2 A. 一个圆

B. ??<2 B. 两个圆

C. ??<8 C. 半个圆

D. ??≤8 D. 两个半圆

17. 方程 ?? ?1= 1? ???1 2 表示的曲线为 ??

18. 圆 ??2+??2+4??+26??+??2=0 与某坐标轴相切，那么 ?? 可以取的值是 ??

A. 1 和 2

B. ±2 或 ±13

C. ?1 和 ?2

12

D. ?1 和 1

12

19. 方程 ??2+??2???+??+??=0 表示一个圆，则 ?? 的取值范围是 ??

A. ??≤2

B. ??<2

C. ??< D. ??≤

20. 已知圆 ?? 的一般方程为 ??2+??2+4?????2??+5??=0，则实数 ?? 的取值范围是 ??

A. 4,1 C. ?∞,4

5

5

11

B. 1,+∞

D. ?∞,4 ∪ 1,+∞

5

5

1

21. 已知方程 ??2+??2+2?????+??=0 表示圆，则实数 ?? 的取值范围是 ??

A. ??>4 A. 一个点

B. ??>?4 B. 一个圆

C. ??<4 C. 一条直线

D. ??

22. 方程 2??2+2??2?4??+8??+10=0 表示的图形是 ??

23. 方程 ?? ?1= 1? ???1 2 所表示的曲线是 ??

A. 一个圆

B. 两个圆

C. 半个圆

D. 两个半圆

24. 若圆的一条直径的两个端点分别是 2,0 和 2,?2 ，则此圆的方程是 ??

A. ??2+??2?4??+2??+4=0 C. ??2+??2?4??+2???4=0

25. 圆 ??:??2+??2?4??+2??+2=0 的半径是 ??

A. 3

B. 3

C. 2

D. 2 26. 经过圆 ??+1 2+ ???1 2=2 的圆心 ??，且与直线 ??+??=0 垂直的直线方程是 ??

B. ??2+??2?4???2???4=0 D. ??2+??2+4??+2??+4=0

第2页（共20页）

A. ??+??+1=0 ??

B. ??+???2=0 C. ?????+2=0 D. ??????1=0

27. 已知直线 ?? 过圆 ??2+ ???3 2=4 的圆心，且与直线 ??+??+1=0 垂直，则直线 ?? 的方程是

A. ??+???2=0

B. ?????+2=0

2

C. ??+???3=0 D. ?????+3=0

2

28. 方程 ??2+??2+????+2????+2??2+???1=0 表示圆，则 ?? 的取值范围是 ??

A. ??

B. ?3

1

C. ?2

D. ?2

29. 点 5??+1,12?? 在圆 ???1 2+??2=1 的内部，则实数 ?? 的取值范围是 ??

A. ?? <1

B. ??<13 B. 两个圆

C. ?? <5 C. 半个圆

1

D. ?? <13 D. 两个半圆

30. 方程 ?? ?1= 1? ???1 2 所表示的曲线是 ??

A. 一个圆

31. 已知实数 ??，?? 满足 ??2+ ??+4 2=4，则 ???1 2+ ???1 2 的最大值为 ??

A. 30+2 26

B. 30+4 26

C. 30+2 13 D. 30+4 13

32. 经过点 ?? 5,2 ，?? 3,2 ，圆心在直线 2??????3=0 上的圆的方程为 ??

A. ???4 2+ ???5 2=10 C. ???4 2+ ??+5 2=10

A. ??2+??2+10??=0 B. ??2+??2?10??=0 ??

B. ??+4 2+ ???5 2=10 D. ??+4 2+ ??+5 2=10 C. ??2+??2+10??=0

D. ??2+??2?10??=0

33. 圆心在 ?? 轴上，且过点 3,1 的圆与 ?? 轴相切，则该圆的方程是 ??

34. 圆 ?? 与 ?? 轴相切于 ?? 1,0 ，与 ?? 轴正半轴交于两点 ??，??，且 ???? =2，则圆 ?? 的标准方程为

A. ???1 2+ ??? 2 =2 C. ??+1 2+ ??+ 2 =4 A. ???1 2+ ??+1 2=2 C. ???1 2+ ??+1 2=4 36. 圆 ???2 2+??2=4 关于直线 ??=

22

B. ???1 2+ ???2 2=2 D. ???1 2+ ??? 2 =4 B. ??+1 2+ ???1 2=2 D. ??+1 2+ ???1 2=4

3?? 对称的圆的方程是 ?? 3

2

2

35. 经过原点并且与直线 ??+???2=0 相切于点 2,0 的圆的标准方程是 ??

A. ??? 3 + ???1 2=4 C. ??2+ ???2 2=4

2

B. ??? 2 + ??? 2 =4 D. ???1 2+ ??? 3 =4

2

2

37. 过三个点 ?? 1,3 ，?? 4,2 ，?? 1,?1 的圆交 ?? 轴于 ??，?? 两点，则 ???? = ??

A. 2 6 A. π?2 A. ?11

B. 3 6 B. π+2

C. 2 C. π B. 0

D. 5 6 D. 2

38. 由曲线 ??2+??2= ?? + ?? 围成的图形的面积为 ??

39. 点 ?1,?1 在圆 ??+?? 2+ ????? 2=4 的内部，则 ?? 的取值范围是 ??

第3页（共20页）

40. 圆 ??2+??2?4???4???10=0 上的点到直线 ??+???14=0 的最大距离与最小距离的差是

??

A. 36 B. 18

二、填空题（共40小题；共200分）

C. 6 2 D. 5 2

41. 若点 1,1 在圆 ????? 2+ ??+?? 2=4 的内部，则实数 ?? 的取值范围是 ． 42. 圆 ??2+??2?2???3=0 的圆心坐标是 ，半径为 ．

43. 已知圆 ??2+??2?2??+4???20=0 上一点 ?? ??,?? ，则 ??2+??2 的最小值是 . 44. 若曲线 ??2+??2+4?????2??+5??=0 表示一个圆，则实数 ?? 的取值范围为 ． 45. 过三点 ?? 1,3 ，?? 4,2 ，?? 1,?7 的圆的面积是 ．

46. 若方程 ??2+??2+????+????+??=0 表示的曲线是以 ?2,3 为圆心，4 为半径的圆，则 ??+??+

?? 的值为 ．

47. 若圆 ?? 的半径为 1，其圆心与点 1,0 关于直线 ??=?? 对称，则圆 ?? 的标准方程为 ． 48. 已知圆 ??:??2+??2+?????4=0 上存在两点关于直线 ?????+3=0 对称，那么实数 ?? 的值

为 ．

49. 已知点 ?? ?2,0 ，?? 2,2 ，那么以线段 ???? 为直径的圆的方程为 ．

50. 已知圆心 ?? 既在直线 ?????=5 上，也在直线 2??+??=4 上，且圆 ?? 与 ?? 轴相切，那么圆 ?? 的

标准方程是 ．

51. 圆 ??2+??2=2 的半径是 ．

52. 圆 ??2+??2?2??+4??+3=0 的圆心到直线 ?????=1 的距离为 ．

53. 若坐标原点在圆 ????? 2+ ??+?? 2=4 的内部，则实数 ?? 的取值范围是 ． 54. 若方程 ??2??2+ ??+2 ??2+2????+??=0 表示圆，则 ?? 的值为 ．

55. 设有一组圆 ????: ?????+1 2+ ???3?? 2=2??4 ??∈??? ，其圆心在定直线 ?? 上，则该直线的方程

为 ．

56. 已知圆 ??2+??2?6?????2 ???1 ??+10??2?2???24=0 ??∈?? ，若圆的圆心一定在直线 ??

上，则 ?? 的方程为 ．

57. 曲线 ??=? ?? 与 ??2+??2=4 所围成的图形中较小图形的面积是 ．

58. 在平面直角坐标系 ?????? 中，若圆 ??:??2+ ???1 2=4 上存在 ??，?? 两点关于点 ?? 1,2 成中心对

称，则直线 ???? 的方程为 ．

59. 方程 ??2+??2?2????+2=0 表示圆心为 ?? 2,0 的圆，则圆的半径 ??= ． 60. 若圆 ?? 的方程为 ??2+2??+??2+4???4=0，则该圆的圆心坐标为 ．

61. 已知 ??∈??，方程 ??2??2+ ??+2 ??2+4??+8??+5??=0 表示圆，则圆心坐标是 ，半径

是 ．

62. 若圆 ?? 经过坐标原点和点 4,0 ，且与直线 ??=1 相切，则圆 ?? 的方程是 ． 63. 若圆 ?? 经过 ?? 1,0 ，?? 3,0 两点，且与 ?? 轴相切，则圆 ?? 的方程为 ．

64. 已知圆 ??2+??2?2??+?????4=0 上有两不同点 ??，?? 关于直线 2??+??=0 对称，则圆的半径

为 ．

第4页（共20页）

65. 若两圆 ??1，??2 都和两坐标轴相切，且都过点 4,1 ，则两圆圆心的距离 ??1??2= ． 66. 已知圆的方程为 ??2+??2?4???4??=0，则圆上的点到原点的距离的取值范围是 ． 67. 已知圆 ??2+??2+2???4??+??=0 关于直线 ??=2??+?? 对称，那么 ????? 的取值范围

是 ．

68. 圆心在 ?? 轴上且通过点 3,1 的圆与 ?? 轴相切，则该圆的方程是 ．

69. 已知圆 ?? 的半径为 1，圆心在第一象限，与 ?? 轴相切，与 ?? 轴相交于点 ??，??，且 ????= 3，那

么该圆的标准方程是 ．

70. 方程 ??2+??2???+??+??=0 表示圆，则 ?? 的取值范围是 ．

71. 已知圆 ?? 经过 ?? 5,1 ，?? 1,3 两点，圆心在 ?? 轴上，则圆 ?? 的方程为 ．

72. 圆 ??2+??2?4???4???10=0 上的点到直线 ??+???14=0 的最大距离与最小距离的和

是 ．

73. 以点 1,0 为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ．

74. 若圆心在直线 2??????7=0 上的圆 ?? 与 ?? 轴交于两点 ?? 0,?4 ，?? 0,?2 ，则圆 ?? 的方程

为 ．

75. 已知圆心 ?? 在第一象限且半径为 1 的圆 ?? 与 ?? 轴相切，与 ?? 轴相交于点 ??，??，????= 3，则圆

?? 的标准方程是 ．

76. 经过圆 ??2+2??+??2=0 的圆心 ??，且与直线 ??+??=0 垂直的直线方程是 ．

77. 已知圆 ?? 关于 ?? 轴对称，经过点 1,0 且被 ?? 轴分成两段，弧长比为 1:2，则圆 ?? 的方程

为 ．

78. 已知圆 ??2+??2?2??+????=0 上任意一点 ?? 关于直线 ??+??=0 的对称点 ?? 也在此圆上，那么

实数 ??= ．

79. 圆 ???1 2+ ???2 2=1 关于直线 ??=?? 对称的圆的方程是 ．

80. 已知动点 ?? ??,?? 满足 ??2+??2? ?? ? ?? =0，?? 是坐标原点，则 ???? 的取值范围是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81. 求过两点 ?? 1,4 ，?? 3,2 ，且圆心在直线 ??=0 上的圆的标准方程．

82. 如图，等边 △?????? 的边长为 2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

83. 写出圆心为 ?? 2,?3 ，半径长为 5 的圆的方程，并判断点 ?? 5,?7 ，?? ? 5,?1 是在圆上还是

在圆外、圆内．

第5页（共20页）

84. 在平面直角坐标系 ?????? 中，设二次函数 ?? ?? =??2+2??+?? ??∈?? 的图象与两坐标轴有三个交

点，经过这三个交点的圆记为 ??． （1）若 ??=?3，求圆 ?? 的方程；

（2）求实数 ?? 的取值范围．

85. 试证明四点 ?? 2,3 ，?? ?2,?1 ，?? 2,?3 ，?? 4,1 在同一个圆周上．

86. 已知圆 ??2+??2?4??+2??+??=0 与 ?? 轴交于 ??，?? 两点，圆心为 ??，若 ∠??????=90°．求 ??

的值．

87. 若方程 ??2+??2+2?????4????+6???1=0 表示圆，求 ?? 的取值范围．

88. 方程 ????2+????2?4 ???1 ??+4??=0 表示圆，求出其中半径最小的圆的方程． 89. 已知过 ?? 0,1 和 ?? 4,?? 且与 ?? 轴相切的圆只有一个，求此圆的标准方程． 90. 求过原点及点 ?? 1,1 ，且在 ?? 轴上截得的线段长为 3 的圆的方程．

91. 求圆心在直线 ???2???3=0 上，且过点 ?? 2,?3 ，?? ?2,?5 的圆的标准方程． 92. 求经过 ?? 4,2 ，?? ?1,3 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程． 93. 求圆 ??2+??2?2???1=0 关于直线 ??：2?????+3=0 对称的圆的方程．

94. 一圆经过 ?? 4,2 ，?? ?1,3 两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程． 95. 有一种大型商品，??，?? 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的

费用是：每单位距离 ?? 地的运费是 ?? 地运费的 3 倍，已知 ??，?? 两地距离 10 km，顾客选 ?? 或 ?? 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求 ??，?? 两地售货区域的分界线的

曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

96. ?? 是什么实数时，关于 ??，?? 的方程 2??2+???1 ??2+ ??2???+2 ??2+??+2=0 表示一个

圆．

97. 已知圆与 ?? 轴相切，圆心在直线 3?????=0 上，且这个圆经过点 ?? 2,3 ，求该圆的方程． 98. 设圆满足：①截 ?? 轴所得弦长为 2；②被 ?? 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1．在满足条件

①②的所有圆中，求圆心到直线 ??：???2??=0 的距离最小的圆的方程．

99. 有一种大型商品，??，?? 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费

用是：?? 地每千米的运费是 ?? 地每千米运费的 3 倍．已知 ??，?? 两地距离为 10 km，顾客选择 ?? 地或 ?? 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求 ?? 地居民选择 ?? 地或 ?? 地购物总费用相等时，点 ?? 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择

购物地点．

100. 某景区内 ??，?? 两个景点在一条小路（直道）的同侧，分别距小路 2 km 和 2 2 km，且 ??，??

两景点间的距离为 2 km，今欲在小路上设一观景台，使两景点同时进入视线并有最佳观赏、拍摄效果，则观景台应设在何处?

第6页（共20页）

答案

第一部分 1. D 3. A 4. D 5. D 6. D

2. C

【解析】圆心坐标为 1,2 将圆平分的直线必经过圆心．

【解析】动点 ?? 的轨迹是圆心为 1,3 ，半径为 2 的圆，它经过第一 、二象限．

【解析】将已知圆的方程配方为 ??+1 2+ ???2 2=11，它表示以 ?1,2 为圆心， 11 为

【解析】将圆 ??2+??2+????=0 化为标准方程：??2+????+ 2 +??2= 2 ，

??2

??24

??2

??2

半径的圆．

即 ??+ +??2=

2

??

．

由已知得 ?2=1， 所以 ??=?2． 7. C

???2 2=??2,

【解析】根据题意，设圆 ?? 的圆心坐标为 ??,0 ??>0 ，半径为 ??；则有 ??2+ 0+1 2=??2,

??2+ 0?1 2=??2.

3

25

32

25

解可得 ??=4，??2=16；则要求圆的方程为： ???4 +??2=16； 8. A 9. C 离为 【解析】由 ??+2 2+ ???3 2=22，整理得 ??2+??2+4???6??+9=0，

【解析】由于圆 ??+1 2+??2=2 的圆心为 ?1,0 ，则圆心 ?1,0 到直线 ?????+3=0 的距

?1?0+3 2所以 ??=4，??=?6，??=9．

= 2．

10. A

【解析】因为 ??2+2??+??2=0 可化为 ??+1 2+??2=1， 所以圆心坐标为 ?? ?1,0 ．

又过点 ?? 的直线与 ??+??=0 垂直， 所以其斜率为 1，

故所求直线方程为 ??=??+1，即 ?????+1=0． 11. A 【解析】直接应用点与圆的位置关系判断． 因为点在圆的内部，

所以 1??? 2+ 1+?? 2<4． 所以 ?1

12. D 【解析】由题意配方得 ??+?? 2+ ??+?? 2=0， 所以方程表示点 ???,??? ．

13. D 【解析】由题意知圆半径 ??= 2， 所以圆的方程为 ???1 2+ ???1 2=2． 14. D 15. B

16. C 【解析】方程变形为 ???2 + ???2 =4+4?4??=2?4??，

12

12

1

1

1

第7页（共20页）

若表示圆，则 ?4??>0，

2

1

故 ??<．

8

1

17. D 【解析】原式平方后，得 ?? ?1 2+ ???1 2=1， ?? ≥1． 当 ??≥1 时， ???1 2+ ???1 2=1； 当 ??≤?1 时， ??+1 2+ ???1 2=1，如图．

18. B 19. C 20. D

?? ?1 2+ ???1 2=1,21. C 22. A 23. D 【解析】由题意得

?? ?1≥0,

??+1 2+ ???1 2=1, ???1 2+ ???1 2=1,即 或

??≤?1,??≥1故原方程表示两个半圆． 24. A 25. B

【解析】因为圆 ??:??2+??2?4??+2??+2=0，其标准方程为： ???2 2+ ??+1 2=3， 所以圆 ??:??2+??2?4??+2??+2=0 的半径是 3．

26. C 27. D 28. D 【解析】由方程表示圆的条件得 ??2+ 2?? 2?4 2??2+???1 >0． 即 3??2+4???4<0， 所以 ?2

?? ?1 2+ ???1 2=1,【解析】由题意得

?? ?1≥0,

???1 2+ ???1 2=1, ??+1 2+ ???1 2=1,即 或

??≥1??≤?1.故原方程表示两个半圆．

31. B 【解析】 ???1 2+ ???1 2 表示圆 ??2+ ??+4 2=4 上动点 ??,?? 到点 1,1 的距离 ?? 的平方，

因为 26?2≤??≤ 26+2，

所以最大值为 26+2 =30+4 26． 32. A 【解析】设圆心为 ??,?? ，半径为 ??，

则 2??????3=0， ???5 2+ ???2 2=??2， ???3 2+ ???2 2=??2， 解得 ??，??，?? 的值即可．

33. B 【解析】根据题意，设圆心坐标为 0,?? ，半径为 ??，则 32+ ???1 2=??2，解得 ??=5，可得圆的方程为 ??2+??2?10??=0．

34. A 【解析】由题意，圆的半径为 1+1= 2，圆心坐标为 1, 2 ， 所以圆 ?? 的标准方程为 ???1 2+ ??? 2 =2．

第8页（共20页） 2

2

2

35. A

【解析】设圆心的坐标为 ??,?? ， 则 ??2+??2=??2，???① ???2 2+??2=??2，???②

?????2

=1；???③

由 ①②③ 组成方程组，解得 ??=1，??=?1，??2=2； 故所求圆的标准方程是 ???1 2+ ??+1 2=2．

1+9+??+3??+??=0,

36. D 37. C 【解析】设圆的方程为 ??+??+????+????+??=0，则 16+4+4??+2??+??=0,

1+1+?????+??=0,

2

2

所以 ??=?4，??=?2，??=0， 所以 ??2+??2?4???2??=0， 令 ??=0，可得 ??2?2??=0， 所以 ??=0或2， 所以 ???? =2．

38. B 【解析】由 ??2+??2= ?? + ?? 得， 当 ??≥0，??≥0 时，

??2+??2= ?? + ?? ???2+??2=??+??

???2???+??2???=0

22111

? ??? + ??? =;

222当 ??≥0，??<0 时，

??2+??2= ?? + ??

???2+??2=?????

???2???+??2+??=0

12121

? ??? + ??+ =;

222当 ??<0，??≥0 时，

??2+??2= ?? + ??

???2+??2=???+??

???2+??+??2???=0

12121

? ??+ + ??? =;

222当 ??<0，??<0 时，

??2+??2= ?? + ??

???2+??2=??????

???2+??+??2+??=0

12121

? ??+ + ??+ =.

222第9页（共20页）

作图，如图所示，

可以看出，曲线围成的图形是由 4 个相同的半圆和三角形组成的，半圆的圆心为 ±,± 4 个点，半

22径为 2，三角形是直角边长为 1 的等腰直角三角形， 所以该图形的面积 ??=4× 2×π×39. A 40. C

【解析】由 ??2+??2?4???4???10=0 配方，得 ???2 2+ ???2 2=18． 所以圆心坐标为 2,2 ，半径为 3 2． 设圆心与直线的距离为 ??，则 ??=又因为半径 ??=3 2，

所以圆上的点到直线的距离的最大值为 ??+??=8 2，最小值为 ?????=2 2． 所以 ??+?? ? ????? =8 2?2 2=6 2． 第二部分 41. ?1,1 42. 0,1 ，2

【解析】法一：圆心的横坐标 ?=0，纵坐标 ?=1，圆心为 0,1 ，半径为 ??=

2

2

??

??

??2+??2?4??2

2+2?14 21

2

2 2 211

+2×1×1 =π+2．

1

=5 2．

=2．

法二：将圆 ??2+??2?2???3=0 化为标准方程为 ??2+ ???1 2=4， 所以圆心为 0,1 ，半径 ??=2． 43. 30?10 5 44. ?∞,4 ∪ 1,+∞

【解析】方程配方得 ??+2?? 2+ ???1 2=4??2+1?5??，由 4??2?5??+1>0，得 ??<4 或 ??>1． 45. 25π

【解析】由已知得，??????=

3?21?4

1

1

=?，??????=

3????

12+74?1

=3，所以 ????????????=?1，所以 ????⊥????，即 △??????

为直角三角形，所以外接圆的半径为 2=5，所以圆的面积是 25π． 46. ?5

【解析】由题意得 ?2=?2，?2=3，2 ??2+??2?4??=4，解得 ??=4，??=?6，??=?3，所以 ??+??+??=4?6?3=?5． 47. ??2+ ???1 2=1

【解析】由题意知圆 ?? 的圆心坐标为 0,1 ，半径为 1，

??

??

1

第10页（共20页）

所以圆 ?? 的标准方程为 ??2+ ???1 2=1． 48. 6

【解析】因为圆 ?? 上存在关于直线 ?????+3=0 对称的两点，所以 ?????+3=0 过圆心 ?? ?即 ?2+3=0，所以 ??=6． 49. ??2+ ???1 2=5

【解析】以 ???? 为直径的圆，圆心为 ???? 的中点 0,1 ，半径为 2????=2 42+22= 5， 故所求圆的方程为 ??2+ ???1 2=5．

50. ???3 2+ ??+2 2=4

?????=5,【解析】解方程组 得圆心 ?? 的坐标为 3,?2 ，又圆 ?? 与 ?? 轴相切，所以半径为 2，所以

2??+??=4,所求圆 ?? 的标准方程为 ???3 2+ ??+2 2=4． 51. 2

【解析】因为圆的标准方程中 ??2=2，所以圆的半径 ??= 2． 52. 2

【解析】因为圆心坐标为 1,?2 ，所以圆心到直线 ?????=1 的距离为 ??=53. ? 2, 2

【解析】因为 0,0 在 ????? 2+ ??+?? 2=4 的内部， 则有 0??? 2+ 0+?? 2<4，解得 ? 2

【解析】令 ??2=??+2， 所以 ??=?1 或 ??=2，

而 ??=2 时，??2+??2?4??<0，舍去． 55. ??=3 ??+1

【解析】由题知圆心为 ???1,3?? ，半径为 2??2， 所以圆心在直线 ??=3 ??+1 上． 56. ???3???3=0

【解析】圆的方程可化为 ???3?? 2+ ??? ???1 2=25．

??=3??,设圆心坐标为 ??,?? ，则

??=???1,消去 ??，得 ???3???3=0． 57. π

【解析】曲线 ??=? ?? = 即 4π×22=π． 58. ??+???3=0

【解析】由条件知圆心 ?? 0,1 ，根据题意知，????⊥????，??????=1?0=1，所以 ??????=?1，故直线 ???? 的方程为 ???2= ?1 ???1 ，即 ??+???3=0． 59. 2

60. ?1,?2

第11页（共20页）

2?1

1

1+2?1 21

1

??

??2

,0 ，

= 2．

??,??≤01

与圆 ??2+??2=4 围成的较小图形的面积是圆面积的 4，

???,??>0

【解析】将圆的方程化为标准方程，得 ??+1 2+ ??+2 2=9， 所以圆心坐标是 ?1,?2 ． 61. ?2,?4 ，5

【解析】因为 ??2??2+ ??+2 ??2+4??+8??+5??=0 表示圆， ??2=??+2≠0, 所以 2

16+64?4×5??×??>0.解得 ??=?1，

所以圆的方程为 ??2+??2+4??+8???5=0，即 ??+2 2+ ??+4 2=25． 故圆心的坐标为 ?2,?4 ，半径为 5． 62. ???2 2+ ??+ =

2

32

254

【解析】因为圆过原点，所以可设圆的方程为 ??2+??2+????+????=0． 因为圆过点 4,0 ，将点 4,0 代入圆的方程得 ??=?4， 即圆的方程为 ??2+??2?4??+????=0．

又圆与直线 ??=1 相切，将其代入圆的方程得 ??2+1?4??+??=0， 又方程只有一个解， 所以 ??=42?4 1+?? =0， 解得 ??=3．

故所求圆的方程为 ??2+??2?4??+3??=0， 即 ???2

2

+ ??+2 =

232

254

．

63. ???2 2+ ??± 3 =4

【解析】因为圆 ?? 经过 ?? 1,0 ，?? 3,0 两点，所以圆心在直线 ??=2 上．又圆 ?? 与 ?? 轴相切，所以半径 ??=2，设圆心坐标为 2,?? ，则 2?1 2+??2=4，??2=3，??=± 3，所以圆 ?? 的方程是 ???2 2+ ??± 3 =4． 64. 3 65. 8

【解析】因为两圆 ??1，??2 都和两坐标轴相切，且都过点 4,1 ，所以两个圆的圆心都在第一象限，且在直线 ??=?? 上．

设圆心坐标分别是 ??,?? ， ??,?? ，则方程分别是 ????? 2+ ????? 2=??2， ????? 2+ ????? 2=??2． 因为两圆都过点 4,1 ，所以 4??? 2+ 1??? 2=??2， 4??? 2+ 1??? 2=??2，即 ??，?? 都是方程 4??? 2+ 1??? 2=??2 的根，整理得，??2?10??+17=0，即 ??+??=10，????=17， 所以 ??1??2= 2 ????? = 2× 102?4×17=8． 66. 2 2?2,2 2+2

【解析】圆心 ?? 2,2 ，设 ?? 点是圆上一点，则 ?? 点到原点 ?? 距离的最大值为 ????+??=2 2+2，最小值为 ???????=2 2?2 故范围是 2 2?2,2 2+2 ． 67. ?∞,1

【解析】圆的方程化为 ??+1 2+ ???2 2=5???， 所以其圆心为 ?1,2 ，且 5???>0，即 ??<5．

2

第12页（共20页）

又圆关于直线 ??=2??+?? 对称， 所以 2=?2+??， 所以 ??=4，

所以 ?????=???4<1． 68. ??2+??2?10??=0 69. ???1 2+ ???2 =1 【解析】依题可设圆 ??: ???1

2

+ ?????

2

=1 ??>

2 30 ，且 2

12

+??2=1，解得 ??=，所以圆 ?? 的

2

1

标准方程为 ???1 2+ ??? =1．

270. ??<2

71. ???2 2+??2=10

【解析】设所求圆 ?? 的方程为 ????? 2+??2=??2，把所给两点坐标代入方程得 5??? 2+12=??2,??=2, 解得 2 222??=10, 1??? +3=??,

所以所求圆 ?? 的方程为 ???2 2+??2=10． 72. 10 2 【解析】由圆 ??2+??2?4???4???10=0 知圆心坐标为 2,2 ，半径为 3 2，则圆上的点到直线 ??+???14=0 的最大距离为 最小距离的和为 10 2． 73. ??2+??2?2??=0 74. ???2 2+ ??+3 2=5

【解析】因为圆 ?? 过 ?? 0,?4 ，?? 0,?2 ，所以圆心 ?? 的纵坐标为 ?3．又圆心 ?? 在直线 2??????7=0 上，所以圆心 ?? 为 2,?3 ，所以圆 ?? 的半径 ??=????= 4+1= 5，故所求圆 ?? 的方程为 ???2 2+ ??+3 2=5． 75. ???1 2+ ???2 =1 【解析】依题可设圆 ??: ???1

2

+ ?????

2

=1 ??>

2

30 ，且 2 12

2+2?14 21

12

+3 2=8 2，最小距离为 2+2?14 2?3 2=2 2，故最大距离与

+??2=1，解得 ??=2，

1

所以圆 ?? 的标准方程为 ???1 2+ ???2 =1． 76. ?????+1=0

【解析】圆心 ?? 为 ?1,0 ，斜率 ??=1，故所求方程为 ?????+1=0． 77. ??+ ??±

2

2 3 3

4

12

=3

2π3

【解析】由题知圆心在 ?? 轴上， 且被 ?? 轴所分劣弧所对圆心角为 ． 设圆心 0,?? ，半径为 ??， 则 ??sin3=1，??cos3= ?? ， 解得 ??=

2 π

π

，即 ??2=3， ?? =34

3， 3

第13页（共20页）

即 ?? =±

3． 3

2

2

3 3

故圆 ?? 的方程为 ??+ ??±78. 2

=3．

4

【解析】因为圆 ??2+??2?2??+????=0 上任意一点 ?? 关于直线 ??+??=0 的对称点 ?? 也在圆上， 所以直线 ??+??=0 经过圆心 ?? 1,? ，

2故有 1?

??2

??

=0，

解得 ??=2．

79. ???2 2+ ???1 2=1

【解析】圆 ???1 2+ ???2 2=1 的圆心坐标为 1,2 ，它关于 ??=?? 的对称点为 2,1 ，圆的半径不变，所以所求圆的方程为 ???2 2+ ???1 2=1． 80. 0 ∪ 1, 2

【解析】方程 ??+??? ?? ? ?? =0 可化为 ?? ?2 + ?? ?2 =2，所以动点 ?? ??,?? 的轨迹为原点和四段圆弧，如图所示，

2

2

12

12

1

故 ???? 的取值范围是 0 ∪ 1, 2 ． 第三部分

81. 圆的标准方程为 ????? 2+ ????? 2=??2，因为圆心在 ??=0 上， 所以 ??=0，所以圆的方程为 ????? 2+??2=??2， 又因为该圆过点 ?? 1,4 ，?? 3,2 ，所以 1??? 2+16=??2, 解之，??=?1，??2=20， 22 3??? +4=??,

所以所求圆的方程为 ??+1 2+??2=20 .

82. 由已知得等边 △?????? 三个顶点 ??，??，?? 的坐标分别为 ?? 0, 3 ，?? ?1,0 ，?? 1,0 ． 设 △?????? 外接圆的方程为 ??2+??2+????+????+??=0．

??=0,3+ 3??+??=0,

解得 ??=?2 3, 由题意得 1???+??=0,

3

1+??+??=0,??=?1.即 △?????? 外接圆的方程为 ??2+??2?3 3???1=0． 这个圆的圆心坐标为 0,

2 3，半径长为 3． 33

2

83. 根据点的坐标与圆的方程的关系判断． 因为圆心为 ?? 2,?3 ，半径长为 5，

第14页（共20页）

所以该圆的标准方程为 ???2 2+ ??+3 2=25．

把点 ?? 5,?7 代入方程的左边得 5?2 2+ ?7+3 2=32+42=25， 所以点 ?? 5,?7 是这个圆上的点，即点 ?? 5,?7 在圆上．

把点 ?? ? 5,?1 代入方程的左边得 ? 5?2 + ?1+3 2=13+4 5<25，即点 ?? 在圆内． 84. （1） ?? ?? =??2+2???3 中令 ??=0，得抛物线与 ?? 轴交点是 0,?3 ． 令 ?? ?? =??2+2???3=0，得抛物线与 ?? 轴交点是 ?3,0 ， 1,0 ． 设圆 ??:??2+??2+????+????+??=0，

?3??+??+9=0,??=2,

则 ?3??+??+9=0, 解得 ??=2,

??+??+1=0.??=?3.

所以圆 ?? 的方程为 ??2+??2+2??+2???3=0． （2） 令 ??=0，得抛物线与 ?? 轴交点是 0,?? ， 令 ?? ?? =??2+2??+??=0，由题意 ??≠0 且判别式 ??>0， 解得 ??<1 且 ??≠0．

85. 设过 ??，??，?? 三点的圆的方程为 ??2+??2+????+????+??=0，

2??+3??+??+13=0

则将 ??，??，?? 三点分别代入得 2??+??????5=0

2???3??+??+13=0

??=?2

解方程组得 ??=0

??=?9

所以过 ??，??，?? 三点的圆的方程为 ??2+??2?2???9=0．

将 ?? 点坐标代入此圆，满足圆的方程，即过 ??，??，?? 三点的圆通过点 ??， 所以四点 ?? 2,3 ，?? ?2,?1 ，?? 2,?3 ，?? 4,1 在同一个圆周上． 86. 由题设 △?????? 是等腰直角三角形， 所以圆的半径为圆心到 ?? 轴的距离的 2 倍．

将圆的方程 ??2+??2?4??+2??+??=0 配方得 ???2 2+ ??+1 2=5???． 圆心是 ?? 2,?1 ，半径 ??= 5???， 所以 5???=2 2． 解得 ??=?3．

87. 原方程即为 ??+?? 2+ ???2?? 2=5??2?6??+1． 令 5??2?6??+1>0，得 5???1 ???1 >0． 解不等式，得 ??>1 或 ??<．

51

2 ???1 2??

222

88. 明显 ??≠0，原方程可化为 ???

2

+ ??+ =

??

??2

4 ??2?2??+2

??2．

因为 ???2??+2>0 ??∈?? ，所以圆的半径 ??=2 又 ??=

4 ??2?2??+2

??2 ??2?2??+2

．

=

2??2+2 ??2?4??+4

??2= 2+

2 ???2 2

??2≥ 2．

当 ??=2，??min= 2，所以半径最小的圆的方程为 ???1 2+ ??+1 2=2． 89. 设所求圆的标准方程为 ????? 2+ ????? 2=??2，将 ??，?? 两点坐标代人得

第15页（共20页）

??2+1?2??=0, 2

2

???8??+16+???????=0.

消去 ?? 得 1??? ??2?8??+ ??2???+16 =0．

当 1???=0 即 ??=1 时，??=2，??=，所求方程为 ???2 2+ ??? =

22当 1???≠0 时，??=0???=0，此时 ??=4，??=

17

5

52

254

．

172

，所求方程为 ???4 2+ ???2 =2

2894

．

32

90. 设圆的方程为 ??2+??2+????+????+??=0，注意数形结合，由弦长为 3 可得圆心横坐标为 ±，即 ??=±3．

因为原点及点 ?? 1,1 在圆上， 所以它们的坐标是方程的解．

把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 ??，??，?? 的三元一次方程组，

??=0,

即 ??+??+??+2=0,，解此方程组，可得 ??=3，??=?5，??=0 或 ??=?3，??=1，??=0．

??=±3.

因此所求圆的方程为 ??2+??2+3???5??=0 或 ??2+??2?3??+??=0． 91. 方法一：设点 ?? 为圆心， 因为点 ?? 在直线 ???2???3=0 上， 所以可设点 ?? 的坐标为 2??+3,?? ． 又因为该圆经过 ??，?? 两点， 所以 ???? = ???? ．

所以 2??+3?2 2+ ??+3 2= 2??+3+2 2+ ??+5 2，解得 ??=?2． 所以圆心坐标为 ?? ?1,?2 ，半径 ??= 10． 故所求圆的标准方程为 ??+1 2+ ??+2 2=10． 方法二：设所求圆的标准方程为 ????? 2+ ????? 2=??2． 2??? 2+ ?3??? 2=??2,??=?1,

222由条件知 ?2??? + ?5??? =??, 解得 ??=?2,

??2=10.???2???3=0,故所求圆的标准方程为 ??+1 2+ ??+2 2=10． 方法三：线段 ???? 的中点为 0,?4 ，??????=所以弦 ???? 的垂直平分线的斜率 ??=?2，

所以线段 ???? 的垂直平分线的方程为 ??+4=?2??，即 ??=?2???4． 故圆心是直线 ??=?2???4 与直线 ???2???3=0 的交点，

??=?2???4,??=?1,由 得 即圆心为 ?1,?2 ，

??=?2.???2???3=0,圆的半径为 ??= ?1?2 2+ ?2+3 2= 10， 所以所求圆的标准方程为 ??+1 2+ ??+2 2=10． 92. 设所求圆的方程为 ??2+??2+????+????+??=0． 当 ??=0 时，??2+????+??=0，则 ??1+??2=???； 当 ??=0 时，??2+????+??=0， 则 ??1+??2=???．

第16页（共20页） ?3? ?5

2? ?2

=，

2

1

??=?3,16+4+4??+2??+??=0, 5则 1+9???+3??+??=0, 解得 ??=?3, ??? + ??? =4. ??=?22. 3所以圆的方程为 ??2+??2???????

3

3

7

5

223

7

=0．

93. 因为 ??2+??2?2???1=0 可以转化为 ???1 2+??2=2， 所以已知圆的圆心为 1,0 ，半径为 2．

=?,

解得 ??=?3, 设圆心的对称点为 ??,?? ，则 ???11+??2??

??=2.2×?+3=0,

2

2

???0

1

所以点 1,0 关于 ??：2?????+3=0 的对称点为 ?3,2 ， 故所求圆的方程为 ??+3 2+ ???2 2=2． 94. 设所求圆的方程为 ??2+??2+????+????+??=0， 令 ??=0，得 ??2+????+??=0，所以 ??1+??2=???． 令 ??=0，得 ??2+????+??=0，所以 ??1+??2=???． 由题意知 ??????=2，即 ??+??+2=0.① 又因为圆过点 ??，??，

所以 16+4+4??+2??+??=0,②

1+9???+3??+??=0,③

解 ①②③ 组成的方程组得 ??=?2，??=0，??=?12． 故所求圆的方程为 ??2+??2?2???12=0．

95. 如图所示，以 ??，?? 所确定的直线为 ?? 轴，???? 中点 ?? 为坐标原点建立直角坐标系，

则 ?? ?5,0 ，?? 5,0 ．

设某地 ?? 的坐标为 ??,?? ，且 ?? 地居民选择 ?? 地购买商品便宜，并设由 ?? 地运回的运费标准为 3?? 元/ km，由 ?? 地运回的运费标准为 ?? 元/ km． 所以 3?? ??+5 2+??20，

所以 3 ??+5 2+??2< ???5 2+??2． 两边平方，得 9 ??+5 2+9??2< ???5 2+??2， 即 ??+

2524

152

+??< 14 ．

254

2

所以以点 ?? ?

,0 为圆心，4 为半径的圆是这两地售货区域的分界线．

15

圆 ?? 内的居民从 ?? 地购货便宜；

第17页（共20页）

圆 ?? 外的居民从 ?? 地购货便宜；

圆 ?? 上的居民从 ??，?? 两地购货的总费用相等，因此，可随意从 ??，?? 两地之一购货． 96. 欲使方程 ????2+????2+??=0 表示一个圆，只要 ??=??≠0，<0．

????

由 ??=?? 得 2??2+???1=??2???+2，得 ??2+2???3=0， 所以 ??=?3 或 ??=1．

（1）当 ??=1 时，方程为 2??2+2??2=?3，不合题意舍去； （2）当 ??=?3 时，方程为 14??2+14??2=1，

即 ??2+??2=14，表示以原点为圆心，以 14 为半径的圆．

97. 因为圆心在 3?????=0 上并且这个圆经过点 ?? 2,3 ，同时与 ?? 轴相切， 所以设圆心坐标为 ??,3?? 且 ??>0， 根据圆与 ?? 轴相切得到半径为 ??，

则圆的方程为 ????? 2+ ???3?? 2=??2，把 ?? 2,3 代入圆的方程得： 2??? 2+ 3?3?? 2=??2， 化简得：9??2?22??+13=0，则 ??=1或9， 所以圆的方程为 ???1 2+ ???3 2=1 或 ???

13213

132

1

14 + ???9 =3

16981

．

98. 解法一：设圆的圆心坐标为 ?? ??,?? ，半径为 ??，则点 ?? 到 ?? 轴，?? 轴的距离分别为 ?? ， ?? ．由题设知圆 ?? 截 ?? 轴所得劣弧的圆心角为 90°，于是圆 ?? 截 ?? 轴所得的弦长为 2??，故 ??2=2??2，又圆 ?? 截 ?? 轴所得的弦长为 2，

所以有 ??2=??2+1，从而得 2??2???2=1． 点 ?? ??,?? 到直线 ???2??=0 的距离为 ??=

所以5??2

???2?? 5．

= ???2?? 2

=??2+4??2?4????

≥??2+4??2?2 ??2+??2 =2??2???2=1,

当且仅当 ??=?? 时上式取等号，此时 5??2=1，从而 ?? 取得最小值．

??=??,由此有 2 2

2?????=1.

??=1,??=?1,解此方程组得 或

??=1??=?1.

由 ??2=2??2 知 ??2=2，故所求圆的方程是： ???1 2+ ???1 2=2 或 ??+1 2+ ??+1 2=2． 解法二：同上得 ??=

???2?? 5，

故 ???2??=± 5??，

于是，??2=4??2±4 5????+5??2,???① 将 ??2=2??2?1 代入 ① 式，

整理得 2??2±4 5????+5??2+1=0,???①

把它看成关于 ?? 的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负， 于是 ??=8 5??2?1 ≥0， 解得 5??2≥1．

第18页（共20页）

所以 5??2 有最小值 1，从而 ?? 有最小值 ． 将其代入 ② 式得 2??2±4??+2=0，解得 ??=±1．

将 ??=±1 代入 ??2=2??2，得 ??2=2，又由 ??2=??2+1，得 ??=±1． 综上解得，??=±1，??=±1，??2=2． 由 ???2?? =1 知 ??，?? 同号．

于是，所求圆的方程是 ???1 2+ ???1 2=2 或 ??+1 2+ ??+1 2=2．

55

99.

如图，以 ??，?? 所在的直线为 ?? 轴，线段 ???? 的中点为原点建立平面直角坐标系． 因为 ???? =10，所以 ?? ?5,0 ，?? 5,0 ．

设 ?? ??,?? ，?? 到 ??，?? 两地购物的运费分别是 3?? 元/km，?? 元/km． 当由 ?? 地到 ??，?? 两地购物总费用相等时，价格+ ?? 地运费=价格+ ?? 地运费， 所以 3??? ??+5 2+??2=??? ???5 2+??2，

因为 ??>0，所以 3 ??+5 2+??2= ???5 2+??2，两边平方， 整理得 ??+

252

152

+??2= 4 ． 4

254

（1）当居民到 ?? 地或 ?? 地购物总费用相等时，?? 点在以 ?

252

152

,0 为圆心、 4 为半径的圆上．

15

（2）当 ?? 点在上述圆上时，到 ??，?? 两地购物总费用相等．当 ?? 点在上述圆内时， 因为 ??+

+??2< 4 ， 4

所以 3?? ??+5 2+??2

252

152

+??2> 4 ， 4

所以 3?? ??+5 2+??2>?? ???5 2+??2． 故此时到 ?? 地购物合算．

100. 以小路所在直线为 ?? 轴，景点 ?? 在小路上的射影 ?? 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

第19页（共20页）

则点 ?? 0,2 2 ，?? 2 2,2 ．

为使两景点同时进入视线并有最佳观赏、拍摄效果， 故观景台应位于过 ??，?? 两点的圆与 ?? 轴相切的切点处，

故设过 ??，?? 两点且与 ?? 轴相切的圆的方程为 ????? 2+ ????? 2=??2 ??>0 ． 因圆心在线段 ???? 的垂直平分线上，

而线段 ???? 的垂直平分线方程为 ?????+ 2=0， ?????=? 2, 所以 22

2

??+ 2 2??? =??,??=0,??=4 2,解得 或

??= 2??=5 2,??=4 2,由实际意义知 应舍去，

???5 2所以所求圆的方程为 ??2+ ??? 2 =2，与 ?? 轴的切点即为所求的点，而此点为坐标原点， 故观景台应设在景点 ?? 在小路的射影处．

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