高等代数（下）课外习题 第六章 向量空间

第六章 向量空间

一、判断题

n1. {(x1,x2,?,xn)|?xi?1,xi?R}为Rn的子空间. ( ).

i?12、所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R)的子空间. ( ). 3、n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基. ( ). 4、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组?1,?2,?,?s线性表出，则维(W)＝s.

5、 子空间L(?1,?2,?,?r)的维数等于向量组?1,?2,?,?r的秩 （ ） 6、?1,?2,?,?s为V的基，?1,?2,?,?s为V中向量，且

(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?s)A，则?1,?2,?,?s为V的基当且仅当A可逆。（ ）

7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ）

8. 设?1,?2,?,?n是向量空间V的一个基, f是V到W的一个同构映射, 则W的一个基是f(?1),f(?2),?,f(?n).

9、.如果向量空间V是3维的，那么V中任意4个向量必是线性相关的( )。 10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。 11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数.

12、设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足 V1?V2?{0}，则V?V1?V2。 ( ).

14．若V?V1?V2，?1,?2,?,?r是V1的基，?r?1,?r?2,?,?s是V2的基，则?1,?2,?,?s是V的基.

二、填空题

1、 复数域C作为实数域R上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. 2、在P4中，若?1?(1,2,0,1),?2?(1,1,1,1),?3?(1,k,?1,1),?4?(0,1,k,1)线性无关，则k的取值范围是____________.

3、若V?V1?V2，则V1?V2? ;

4、若dim(V1?V2)?dimV1?dimV2，则V1?V2? ; 5、

P[x]32中由基1,x,x到基1?x,1?2x,1?2x?3x的过渡矩阵是 , 1?x?x22在这两组基下的坐标分别是 , .

?a?|A?0??0?bd0c??e的维数= ; ?f??6、子空间W?{A?P3?37、设基?1?2?1??2?3?3,?2??1??2,?3??3，则由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵T= ；

8、在P2?2中，已知A1???11??，A2???1???基，那么，A???3??1?11??11??1??A?，3?00???1??1??A?，4?00???0?2?2?是的P0??2??在该基下的坐标为 。 ?4??x1?x2?x3?x4?09、设W1是方程组x1?x2?x3?x4?0解空间，W2是方程组?那么W1?x1?x2?x3?x4?0∩W2是方程组 的解空间。

10、设W1??L?1,1,0?,?1,0,1??,W2?L??0,1,1?,?1,2,3?? dim?W1?W2?? 。 三、选择题

1、R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．

33w2?{(x1,x2,x3)?R|x3?0} (A)．w1?{(x1,x2,x3)?R|x2?1} (B)．

33(C)．w3?{(x1,x2,x3)?R|x1?x2?x3} (D)．w4?{(x1,x2,x3)?R|x1?x2?x3}

2、设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（ ）必成立。

(A). M由四个向量组成 (B). M由四维向量组成

(C). M由四个线性无关的四维向量组成 (D). M由四个线性相关的四维向量组成 3、若W1,W2都是n维线性空间V的子空间，那么（ ）

(A)维W1+维(W1?W2)=维W1+维(W1+W2)； (B) 维(W1+W2)=维W1+维W2； (C)维W1+维(W1+W2)=维W1+维(W1?W2)； (D) 维W1+维(W1?W2) =维(W1+W2)-维W2。

4、设a1,a2,a3,a4为线性空间V的一组基,则V的维数是( )

(A).4 (B).3 (C).2 (D).不确定

5、设?是数域P上线性空间V的向量，k?P，如果k?是零向量，那么（ ）

（A）仅当k?0时k??0. （B）k?0,??0时可能有k??0. （C）仅当??0时k??0. （D）k?0或??0时k??0. 6、设?1,?2,?,?r是数域P上线性空间V的向量，则（ ）

（A） 当r?n时?1,?2,?,?r线性无关。 （B） 当r?n时?1,?2,?,?r是V的基。 （C） 当r?n时?1,?2,?,?r线性相关。

（D） 当r?n时?1,?2,?,?r可能线性无关。

7、W?{(a,b,c,d)a,b,c,d?R,d?a?b,c?a?b}是R4的子向量，则dimW?（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

8、设V是数域P上n维线性空间，V1,V2是V的子向量，则（ ）

（A）dimV1?dimV2?n. （B）V1,V2的基的并集所含的向量是V的基。 （C）V1?V2?{0}. （D）dim(V1?V2)?n. 9、若V1,V2是V的子空间，且dimV1?dimV2?dimV, 则（ ）

（A）V?V1?V2. （B）V?V1?V2.

（C）V?V1?V2. （D）V1?V2是V的子空间。 10、由3阶对称矩阵构成的子空间的维数是（ ）；

（A）9 （B） 6 （C）2 （D）3

四、计算题

1、 下列子空间的维数是几?

1) L((2,?3,1),(1,4,2),(5,?2,4))?R; 2)L(x?1,1?x,x?x)?F[x]

2、证明?1?(1,1,0),?2?(0,1,1),?3?(1,0,1)是R3的一个基，并求??(3,1,2)在这个基下的坐标。

3、 设W1?L(?1,?2,?3),W2?L(?1,?2),求W1?W2和W1?W2. 其中

?1?(1,2,?1,?2),?2?(3,1,1,1),?3?(?1,0,1,1); ?1?(2,5,?6,5),?2?(?1,2,?7,3). 4、 在向量空间R4中, 求由向量?1?(2,1,3,?1),?2?(4,5,3,?1),?3?(?1,1,?3,1)

322?4?(1,5,?3,1)生成的子空间的一个基和维数.

5、设

W1?L(?1,?2),?1?(1,1,0),?2?(0,1,1，W2是齐次方程x1?x2?x3?0的解空

间，求W1+W2，W1?W2的一组基和维数。

6、.求实数域上关于矩阵A的全体实系数多项式构成的向量空间V的一个基与维数.其中 ?1? A?0??0?00??1?3i?0,??. ?22????07、在线性空间P2?2中，

?1A1???12???1,A??2?0??11??2,B??1?1??0?1??1,B??2?1??3?1?? 7?1） 求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基. 2） 求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基.

8、设V为数域P上全体次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间下的生成子空间,

V1?L(?1,?2),2其中?1?1?x,?2=1?x,V2?L(?1,?2),其中?1?x,?2?x

2P[x]3,考虑如

求V1+V2,V1?V2的各一组基.

a,i?ja?9、设A?(aij)是n?n矩阵，其中ij1,i?j

? （a）求行列式detA的值，这里detA表示矩阵A的行列式； (b) 设W??XAX?0?，求W的维数及W的一组基。

10、设V是数域F上x的次数小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换A，使A[f(x)]?xf'(x)?f(x)，其中f'(x)表示f(x)的导数，求A的核与值域，并证明线性空间V是A(0)与AV的直和。

?1五、证明题

1、设W1,W2为向量空间V的两个子空间. 证明: W1?W2是V的即含W1又含W2的最小子空间.

2、证明: n维向量空间V中, 任意n个线性无关的向量都可作为V的一个基.

3、设n维向量空间V的向量组?1,?2,?,?n的秩为r, 使得k1?1?k2?2???kn?n?0全

体n维向量(k1,k2,?,kn)的集合为W. 证明W是Fn的n?r维子空间.

4、 设?1,?2,?,?n为向量空间的一个基, 令?i??1??2????i,i?1,2,?,n且

Wi?L(?i).证明 V?W1?W2???Wn.

5、 证明: x2?x,x2?x,x?1是F2[x]的一个基, 并求2x2?7x?3关于这个基的坐标. 6、设?,?,??V，如果a??b??c??0，并且ac?0，那么L(?,?)?L(?,?). 7、设W1,W2分别是齐次线性方程组x1?x2???xn?0与x1?x2???xn的解空间. 证明: Fn?W1?W2.

Fn?W1?W2.

8、证明 每一个n维向量空间都可以表成n个一维子空间的直和. 9、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

W1?{f(x)f(x)?V,f(x)?f(?x)},W2?{f(x)f(x)?V,f(x)??f(?x)}

证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2. 10、设A?Pn?n，且A2?A,记

V1?{A?|??P}，V2?{?|A??0,??P} 证：P

nnn?V1?V2。

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