第9章 恒定电流

第九章 恒定电流

问题

9-1 两根截面不相同而材料相同的金属导体如图所示串联在一起，两端加在一定电压．问通过这两根导体的电流密度是否相同？两导体内的电场强度是否相同？如果两导体的长度相等，两导体上的电压是否相同？

解 通过这两根导体内的电流强度相等, 由于两导体截面积不同, 因而其电流密度并不相同．由j??E可知, 导体内的电场强度也不同．若两导体长度相等, 但横截面积不等, 即两导体电阻不相等, 所以其上的电压也不相同.

9-2 在导体中，电流密度不为零（即j?0）的地方，电荷体密度?可否等于零？

解 导体中电流密度不为零j?0处, 取一闭合曲面S. 在稳恒电流时

??

Sj?dS????E?dS=0

S??SE?dS=1??V?dV

由上可知,电荷体密度 ??0 同理, 在非稳恒条件下

??Sj?dS????E?dS=S???V?dV?0

因而电荷体密度 ??0

9-3 如图是汽车上的自动测量油面高低装置的示意，其中变阻器R的滑动接头连在杠杆的一端，从电流计A（作为油量表用）所指的刻度就可以知道油面的高低，这是什么道理？

解 变阻器一部分与电源，电流计构成一个电路，当开关闭合，电流计上的电流

I??R?

当油面降低时，变阻器中接入电路的部分电阻R?增大，电流计A中电流减小. 所以当电流计中指示减小时，可知油面降低.

9-4 如图，VB?VA是等于?(??IRi)，?(??IRi)，?(??IRi)，还是等于

?(??IRi)呢？VA?VB等于多少？

解 VB?VA??(??IRi)

I A Ri ? B

VA?VB??(??IRi)

9-5 如图，如图，VB?VA是等于?(??IRi)，?(??IRi)，?(??IRi)，还是等于?(??IRi)呢？VA?VB等于多少？

解 VB?VA??(??IRi)

?

A I B

RiVA?VB??(??IRi)

9-6 在什么情况下，电池的端电压可以超过它的电动势？

解 由全电路欧姆定律,当电流方向与电动势方向相反时,即电池处于充电状态,电池的端电压可以超过它的电动势.

习题

9-1 已知铜的摩尔质量M?63.75g?mol，密度??8.9g?cm，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子。（1）为了技术上的安全，铜线内最大电流密度为jm?6.0A?mm，求此时铜线内电子的漂移速率；（2）在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率的多少倍？

解 (1) 每一个铜原子贡献出一个自由电子,则导线内自由电子数密度等于铜原子数密度

n??2?1?3NA? M由j?envd可知铜线内电子的漂移速率为 vd?jjM??4.46?10?4m?s?1 ene?NA(2)在室温下（T?300K），电子热运动平均速率v与电子漂移速率vd之比为 vvd?1vd8RT?2.42?108 ??可见室温下电子热运动的平均速率远远大于电子在电场中的定向漂移速率.

9-2 有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20m，内圆柱面的半径为

3.0mm，外圆柱面的半径为9.0mm.若圆柱面之间有10?A电流沿径向流过,求

通过半径为6.0mm的圆柱面上的电流密度.

解 半径为6.0mm的圆柱柱面面积为S?2?rl,当10?A的电流通过时,其面上电流密度为

j?IS?I2?rl?13.3?A?m

9-3 把大地看作电阻率为?的均匀电介质.如图所示,用一半径为a的球形电极与大地表面相接,半个球体埋在地面下,电极本身的电阻可忽略,试证明此电极的接地电阻为

R??2?2?a

a 证明 设电荷Q均匀分布于埋在地下的半球表面，大地内部距球心r处的电场强度为

? E?导体球电势为

V?流过大地的电流强度为

Q2??0?rr2er

??aE?dr?Q2??0?ra

I?j2?r2?由欧姆定律可得接地电阻为

E?2?r2

R?

V? ?I2??9-4 一根双股地下电缆,其单位长度的电阻是一定的,电缆两端相距7.0km,由于电缆某处绝缘层漏电,使两股电线在该点以电阻R连接起来,检测人员测得,当电缆两端均开路时,两端电阻分别为660?和1.56?10?,当在一端加上12V电压时,另一端的电压为1.1V.依据以上检测数据,找出电阻R和故障点的位置.

解 把因故障点隔开的四段电线等效为四个电阻，其等效电路如右图所示。由题可知，当电缆两端均开路时两端电阻分别为

RA?2R1?R?660?

RB?2R2?R?1560? 若A端加电压，则两端电压关系为

3R1R2

A R1R R2 B

VAV?B

2R1?RR 又电缆单位长度的电阻一定，设故障点离A端距离为x，则

xL? R1R1?R2将VA?12V，VB?1.1V，L?7.0km代入以上几式可得故障点在离A端

x?2.0km处，电阻R?60.5?.。

9-5 如图所示,?1??2?2.0V,内阻

R1Ri1?Ri??,R1?5.0?,R2?4.8?,试20.1求：（1）电路中的电流；（2）电路中消耗的功率；（3）两电源的端电压。

解 （1）由全电路欧姆定律可知电路中的电流为

?1 Ri1R2 ?2

Ri2 I??1??2Ri1?Ri2?R1?R2?0.4A

（2）由P?I2R知，电路中消耗的功率为

P?I2(Ri1?Ri2?R1?R2)?1.6W

（3）两电源的端电压分别为

U1??1?IRi1?1.96V U2??2?IRi2?1.96V

9-6 如图所示的电路中，?1?6.0V，

?2 R2 AR3?1 R1I3 I4 B

?2?2.0V，R1?1.0?,R2?2.0?,

R3?3.0?，R4?4.0?.求：（1）流过各电阻的

电流；（2）A、B两点的电势差UAB.

解 （1）规定绕行正方向如图所示，由全电路欧姆定律

I

R4I??1??2R1?R2?R3R4(R3?R4)?0.85A

流过各个电阻的电流分别为

I1?I2?I?0.85A

I3?R4I?0.49A

R3?R4I4?I?I3?0.36A

（2）A、B两点的电势差为

UAB??E1?IR1??5.2V

负号表示A点电势低于B点电势。

9-7 一电路如图所示,已知?1?12.0V,?2?9.0V,?3?8.0V,

Ri1?Ri2?Ri3?1.0?,R1?R3?R4?R5?2.0?.求（1）A、B断开时的UAB；

（2）A、B短路时通过?2的电流的大小和方向.

解 （1） A、B断开时，R2中电流为零，回路中电流为

MI1?1,Ri1 R1C?2,Ri2 R2AI3I1R5DI??1??3R1?R3?R4?R5?Ri1?Ri3B?0.4A

R3N I2?3,Ri3 I3 R4A、B间电压为

UAB?I(R1?R5?Ri1)??1??2?1.0V

(2) A、B短路时,规定各电阻中电流流向如图所示. 对于回路CMDNC有

I1(R1?R5?Ri1)?I3(R3?R4?Ri3)??3??1?0

对于回路CMDC有

I2(R2?Ri2)?I1(R1?R5?Ri1)??1??2?0

对于节点D有

I1?I2?I3?0

将以上几式联立求解得通过?2的电流为

I2??0.15A

方向与规定的方向相反.

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