第九章 统计指标和统计指数

第九章 时间序列分析

时间序列是变量依相等时间间隔的顺序而形成的一系列变量值。大量社会经济统计指标都依年、季、月或日统计其指标值，随着时间的推移，形成了统计指标的时间序列。因此，时间序列是某一统计指标长期变动的数量表现。时间序列分析就是估算和研究某一时间序列在长期变动过程中所存在的统计规律性。如长期变动趋势、季节性变动规律、周期变动规律，以此预测今后的发展和变化。

第一节 时间序列的构成

一、时间序列的变动因素

时间序列是对某一统计指标，按照相等时间间隔的顺序搜集整理其指标值而形成的一组统计数据。一般认为，一个时间序列中包含四种变动因素：长期趋势变动、季节性变动、周期性变动和不规则变动。换言之，时间序列通常是上述四种变动因素综合作用的结果。

1、长期变动趋势（T：Secular Trend）

长期变动趋势是指变量值在一个长时期内的增或减的一般趋势。长期变动趋势可能呈现为直线型变动趋势，也可能呈现曲线型变动趋势，依变量不同而异。例如，表9-1是找国1979年至1991年国民收入总额（亿元）、人均国民收入（元）和人均粮

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食消费量（公斤），其图形分别如图9-1和9-2所示。

2、季节性变动（S：SeasonaI Variation）

季节性变动是指变量的时间序列值因受季节变化而产生的变动。季节变动是一种年年重复出现的一年内的季节性周期变动，即每年随季节替换，时间序列值呈周期变化。例如，冰淇淋的销售量具有明显的季节性变动特征，每年4、5、6三个月冰淇淋的销售量开始呈增长趋势，7、8、9三个月销售量达最高点，以后三个月的销售量呈下降趋势，第一季度的销售量为最低点。年年如此循环。 3、周期性变动（C：CyclicaI Variation）

周期性变动又称循环变动，它是指变量的时间序列值相隔数年后所呈现的周期变动。在一个时间序列中，循环变动的周期可以长短不一，变动的幅度也可大可小。例如，美国的经济危机曾呈现出相隔时间越来越短、危机时间越来越长、危机程度越来越大的周期性变动特征。

4、不规则变动（I：lrregular Variation）

不规则变动是指变量的时间序列值受突发事件，偶然因素或不明原因所引起的非趋势性、非季节性、非周期性的随机变动，因此，不规则变动是一种无法预测的波动。例如，1973年中东战争和1990年伊拉克人侵科威特都曾引起世界石油价格突变，就是一种由于突发事件引起油价不规则的变动。在其它正常年份，石油价格也有不规则波动，这是由于偶然因素或随机因素造成的。不规则变动具有不可预测性，所以不能用数学模型来表达和说明。不规则变动在一段时间内相互作用，归于消失，因此可不必考虑其影响。

一个时间序列通常包含上述四种变动因素，但不是所有的时间序列都含有这四种

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变动因素。例如，年份统计表数据就不存在季节性变动因素，而按季统计的数据不一定就存在循环变动因素。在某些时间序列中，季节变动和循环变动可能同时存在，亦可能不同时存在。图10-3所表示的香港地区1979年至1988年各季货物出口总额（按离岸价统计）就是呈现长期的增长趋势，又具有明显的季节变动趋势，同时也有不规则的变动现象。

二、时间序列的分析模型

一个时间序列通常包括上述的四种或其中几种变动因素，因此分析时间序列的基本思路就是将其中的变动因素一一分解出来，测定其变动规律，然后再综合反映它们的变动对时间序列变动的影响。

采用何种方法分析和测定时间序列中各因素的变动规律或变动特征取决于对四种变动因素之间相互关系的假设。一般可对时间序列各变动因素关系做二种不同的假设，即加法关系假设或乘法关系假设，由此形成了相应的加法模型或乘法模型。 1、加法模型

加法模型假设时间序列中四个变动因素之间是相互独立且其数值可依次相加，即

Y=T＋S＋C＋I

其中：Y表示变量在t时间的取值；

T表示变量在t时间的长期趋势值；

S、C和I分别表示季节变动、周期变动和不规则变动与长期趋势值的

tttttttttt离差。

显然，加法模型假设季节因素，周期因素和不规则因素的变动均围绕长期趋势值上下波动，它们可表现为正值或负值，以此测定其在长期趋势值的基础上增加或减少若干个单位，并且反映其各自对时间序列值的影响和作用。 2、乘法模型

乘法模型假设时间序列中四个变动因素之间为相乘关系，即变量的时间序列值是各因素的连乘积。以公式表示

Y=T×S×C×I

其中：Y表示变量在t时间的取值；

T表示变量在t时间的长期趋势值；

S、C和I分别表示季节变动、周期变动和不规则变动与长期趋势值的

tttttttttt变动率。

显然，乘法模型也假设季节因素，周期因素和不规则因素的变动围绕长期趋势值上下波动，但这种波动表现为一个大或小于1的系数或百分比，以此测定其在t时间的长期趋势值的基础上增加或减少的相对程度，并且反映其各自对时间序列值的影响和作用。

三、时间序列的分析步骤

一个时间序列通常存在长期趋势变动、季节变动、周期变动和不规则变动因素。时间序列分析的目的就是逐一分解和测定时间序列中各项因素的变动程度和变动规律，然后将其重新综合起来，预测统计指标今后综合的变化和发展情况。 时间序列的综合分析步骤如下：

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1、确定时间序列的变动因素和变动类型；

2、计算调整月（季）指数，以测定季节变动因素的影响程度； 3、调整时间序列的原始指标值，以消除季节变动因素的影响；

4、根据调整后的时间序列的指标值（简称调整值）拟合长期趋势模型； 5、计算趋势比率或周期余数比率，以度量周期波动幅度和周期长度； 6、预测统计指标今后的数值。

第二节 时间序列的分析方法

一、长期趋势的分析方法

长期趋势是统计指标在较长一段时期内发展变化的基本形式和方向。长期趋势的分析方法主要有移动平均法和回归分析法，二者可依据时间序列的变动特点分别使用或搭配使用。

（一）移动平均法

移动平均法就是以依次逐期推移的方式计算时间序列中一段期间的变量值的序时平均数的方法。通过依序逐期推移计算所得的一系列序时平均数，称移动平均数序列，其消除了时间序列的波动程度，结果比较均匀。因此，又称移动平均法是修匀方法。例如，“三项移动平均数”和“四项移动平均救”就是这种方法。值得注意的是，在计算偶数项移动平均数时，因移动平均数界于二个时期之间，因此还应计算“修正平均数”，它是相邻二个移动平均数的简单算术平均数。

移动平均数通过逐期推移计算平均数，当移动步长（平均项敖）与季节周期相一致、基本上可消除月份或季度变动的影响，因此可代表时间序列的长期趋势值。但是，移动平均数有一定的局限性。一是由于循环周期的间隔时间往往不相等，造成移动平均数的移动步长与循环周期不一致，在这种情况下，移动平均数难以消除循环变动因素的影响，因此其反映长期趋势值仍有不足之处。二是由于以移动平均数为长期趋势值时，其序列的首尾无移动平均数，因此无长期趋势值，造成了预测信息的不完整。表9-3就是计算移动平均数的方法。

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（二）回归分析法

时间序列的回归分析法是以时间t为自变量，以形成时间序列的统计指标y为因变量，应用最小二乘法，建立y和t之间的回归模型，以此测定时间序列的长期趋势值。其分析方法实际上与第六章所介绍的回归分析方法完全一致。

时间序列的长期变动趋势有直线和曲线之分，因此，应当根据其变动趋势的特征分别拟合相应的直线回归模型或曲线回归模型。

例如，根据表9-1的数据，对国民收入总额和人均国民收入分别拟合一条直线回归模型对于人均粮食消费量应拟合一曲线回归模型。

若设在1979年时，t=1，则 对于国民收入：

?=370.81+1103.5t yt?0.53, t??12.6,Rt2? ?0936.对于人均国民收入：

?=100.96+92.45t y.,t??133., Rt??183t2?0941.

对于人均粮食消费量：

?=184.83+14.82t+0.85t y.,t??1010., t?t?41372t?1??8.35,2R2 ?0935.

三个回归模型的相关系数都超过0.93，因此拟合效果是好的，反映了三个时间序列的长期趋势。

二、季节性变动的分析方法

季节性变动的分析方法依时间序列是否存在明显增或减的趋势而异。若时间序列无明显增长趋势，可采用“同月（季）平均法”；反之，可采用“移动平均数比率法”。季节性变动分析就是研究和测定统计指标随季节变动的规律性。 （一）同月（季）平均法

同月（季）平均法就是计算时间序列中统计指标各月（季）的平均数与总平均数之比，即月（季）指数，以此反映统计指标由于受季节变动因素的影响而高于或低于时间序列的总平均水平的程度。其计算公式为：

月（季）指数=同月（季）平均数／总平均数

显然，若在“旺月（季）”，月（或季）指数将大于1；若在“淡月（季）”，月（或季）指数将小于1。

但值得指出的是，按同月（季）平均法计算月（季）指数来反映季节变动时，要求统计指标的时间序列无明显的长期趋势，否则月（或季）指数就无法准确反映季节变动因素的影响程度。这是因为以该方法计算的月（或季）指数是同月（季）平均数与总平均数之比，其中总平均数是时间序列中所有统计指标值的平均值。此外，该方法还要求一定的时间序列长度，一般要求至少应有三年的分月份或季度的统计指标值。

（二）移动平均数比率法

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移动平均数比率法适用于具有明显长期趋势变动因素存在的时间序列的季节变动分析。该方法通过计算移动平均数，如12个月的移动平均数或4个季度的移动平均数，以此消除季节变动和某些周期变动和不规则变动的影响，然后计算月（季）的实际指标值与相应的的移动平均数的百分比，即月（季）指数，从而反映统计指标由于受季节变动因素的影响而形成的季节变化规律性。其计算公式是： 月（季）指数＝月（季）实际指标值／月（季）移动平均数

上式中，月（季）指数又称“移动平均数比率”。显然，若在“旺月（季）”移动平均数比率将大于1；反之，若在“淡月（季）”，移动平均数比率将小于1。 值得指出的是，依上式计算的月（季）指数是反映各月（季）的季节影响程度。为了反映在整个时间序中季节变动因素总的、平均的影响程度，还应计算“调整月（季）指数”。

调整月（季）指数的计算步骤是：

1、将各年份的月（季）指数按月（季）排列；

2、将各同月（季）指数中的最大值和最小值删除掉；

3、计算平均月（季）指数，即未调整月（或季）指数，它是各同月（季）指数，扣除其中最大值和最小值的平均值，计算公式是： 平均月?季?指数?各同月?季?指数之和??最大值?最小值?

各同月?季?指数项数?2 4、计算调整系数。由于月（季）指数是各月（季）指标的实际值与相应的移动平均数之比，因此各月（季）指数的计算基数不同。为了以百分比反映季节变动的影响程度，必须对于平均月（季）指数进行调整。调整系数的计算公式是： 调整系数?12个月?或4个季?基数之和

12个月?或4个季?平均月?季?指数总和 其中：若是月份统计数据，12个月基数总和为1200；若是季度统计数据，4个季度基数总和为400。

5、计算调整月（季）指数，即，

调整月（季）指数＝平均月（季）指数×调整系数

调整月（季）指数的作用是：

（1）消除时间序列中的季节变动因素。如果将时间序列各月（季）的实际指标值除以调整月（季）指数，其结果只反映时间序列的长期趋势，某种规律的周期波动和不规则变动，一般不再含有季节变动因素。

（2）配合长期趋势的模拟模型，预测统计指标在季节变动影响下的数值。即对已经消除季节变动和周期波动，基本反映长期趋势的时间序列值进行长期趋势模拟，建立相应的拟合模型。

（3）将拟合模型值乘以相应的调整月（季）指数，即得到该月（或季）的预测值。 例如，表9-3是某城市在过去5年每季度的游客的数量，其线形型如图9-3所示。 表9-3 某市86-90年各季的游客数量 单位：万人 年份 季度 1986 1987 1988 1989 1 101 108 109 113 2 118 123 125 131 3 90 94 96 102 4 79 83 86 91 106

1990 119 131 140 97 根据表9-3资料，调整季节指数的计算步骤如下： 1、计算4个季度的移动平均数： 86年第2季度=388／4=97.00 86年第3季度=395／4=98.75 86年第4季度=400／4=100.00 87年第1季度=404／4=101.00 ……

90年第2季度=464／4=116.00

将上述计算结果列于表9-4的第5栏中。 2、计算各季度的移正平均数：

86年第3季度=（97+98.72）／2＝97.875 86年第4季度=（98.75+100）／2＝99.375 87年第1季度=（100+101）／2＝100.50 87年第2季度=（101+102）／2＝101.50 ……

90年第2季度=（114.5+116）／2＝115.25

将上述计算结果列于表9-4第6栏中，其图形如图9-3所示。由图9-3可见，通过移动平均和修正，消除了季节变动的影响，使移动平均数序列只呈现出长期趋势和微小程度的周期变动及不规则变动。

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3、计算各季度的季节指数：

86年第3季度=90／97.875=91.954％ 86年第4季度=79／99.375=79.497％ 87年第1季度=108／100.50=107.463％ 87年第2季度=123／101.50=121.182％ ……

90年第2季度=140／115.25=121.475％ 将上述计算结果列于表9-4的第7栏中。

4、 计算平均季节指数，结果如表9-5所示。

5、 计算调整系数：

调整系数=400／（105.593+120.905+91.999+81.150）=400／399.647=1.0009 6、 计算调整季节指数，结果如表9-6所示。

由表可见，经过调整五年4个季节的平均季节指数表明：该城市的游客的旺季始于第一季度，第二季度达到高峰；每年的第三、第四季度是淡季。

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三、周期性变动的分析方法

周期性变动是指统计指标在一年以上的期间内沿其长期趋势线上下波动的幅度及其出现的周期。由于以年份统计的指标值形成的时间序列不体现季节性变动因素，因此其只包括长期趋势变动，周期性变动和不规则变动等三种因素。周期性变动的分析实际上就是把长期趋势、周期性变动和不规则变动从时间序列中逐一分离出来，并度量周期波动的幅度及出现的周期。但应该注意周期波动分析只是反映和描述统计指标的时间序列过去的变动特征，一般不能用于预测经济现象未来的状况。 周期性波动的分析方法主要有趋势比率法和周期余数比率法。 （一）趋势比率法

趋势比率法是度量周期波动幅度的方法，它把时间序列中的实际指标值除以相应的趋势拟合值，反映周期波动的相对程度。趋势比率的计算公式是： 趋势比率=（实际指标值／拟合指标值）×l00％ （二）周期余数比率法

周期余数比率法是度量周期波动幅度的另一种方法。周期余数比率的计算公式是：

?Y?Y 周期余数比率＝×100%

Y 例如：1949年至1990年我国粮食产量如表9-7，图形如图9-4所示。根据表9-7的数据，采用最小二乘法，我国粮食产量（万吨）的长期趋势模型是：

t??=9757.97＋726.91t (t=1,2,3,…42) y .,R?0916.?1132., t??2082t2为了计算趋势比率和周期余数比率，首先计算拟合值结果列于表9-7。然后计算趋势比率和周期余数比率。

?和残差（yt?y?ytt），

第三节 时间序列分析的应用

现在，以一个包括四种变动因素的时间序列为例，依照上述综合分析程序进行分

析。例如，表9-3是某市五年来各季度游客的数量，其中包含长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动四种因素（参见图9-3）。依照上述综合分析程序，在确定游客数量这一时间序列

的变动因素和变动类型后，应计算调整季节指数，结果见上节表9-6。 根据调整季节指数，可计算游客数量的时间序列的调整值，即 时间序列调整值=实际指标值／调整季节指数

通过调整后的时间序列的指标值，即调整值，消除了季节变动因素的影响，因此可用于模拟长期趋势模型。调整值的结果如表9-8和图9-5所示。

根据表9-8中的调整值，拟合一直线趋势模型，结果是：

?=93.75＋1.15t (t=1,2,3,…20) y ., R?0953.t??130.78,t??1915t2根据表9-8中的调整值和拟合值，计算趋势比例，其结果如表9-8所示。

现在，可以应用上述资料预测1991年第一季度的游客数量。步骤是：

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（1） 计算1991年第一季度游客的长期趋势，即

?=93.75＋1.15×21=117.9(万人) yt（2）计算含有季节变动因素的预测值，即

~?×第一季度平均季节指数 y=ytt =117.9×1.05668=124.58(万人)

练习题

9-1 下表是连续14年的黄金年底价（单位：美元），计算三项移动平均的时间

序列，并画图，讨论图形的特点。 年份 价格 年份 价格 年份 11 12 13 14 4 价格 405 480 410 369 1 135 6 399 2 166 7 450 3 227 8 385 4 533 9 308 5 591 10 329 9-2 下表是某股份公司7年间的每股收益 年份 季度 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0.362 0.370 0.621 0.384 0.389 0.389 0.639 0.431 0.411 0.448 0.712 0.584 0.620 0.620 0.891 0.570 0.540 0.690 0.870 0.680 0.780 0.440 0.800 0.780 0.690 0.400 1.030 0.940 (1) 画散点图，是否存在名显的季节影响？ (2) 求季节指数，并对原序列进行季节调整，对调整后的序列的散点图有何特点？ (3) 对调整后的数据，拟合一条趋势曲线。

9-3 以下是某地过去四年各季度的社会商品零售总额，应该用“同月（季）平均法”还是“移动平均数比率法”求季节指数？为什么？用你选择的方法计算月（季）指数。 年 季 1990 1991 1992 1993

1 87 85 84 88 2 105 108 104 103 3 86 83 87 88 4 122 124 125 121 110

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