基于MATLAB的离散数据最小二乘拟合
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第30卷增刊
、,01.30
Suppl
文章编号:1008.0562(2011)增刊I-0202.03
辽宁工程技术大学学报(自然科学版)
JournalofLiaoningTechnicalUniversity(NattwalScience)
2011年5月
Mav
2011
基于MATLAB的离散数据最d'--乘拟合
李丽丹
C辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新123000)
摘要:针对科学与工程计算中常见的实验数据拟合问题,基于MATLAB数学软件,利用最d'-乘原理,确定变量之间的函数关系。通过几个案例分析,实验研究得出结论:基于MATLAB的最小二乘拟合方法简单、容易实现、工程应用广泛。
关键词:最小二乘法;MATLAB中图分类号:O
241.2
曲线拟合;多项式拟合;最佳平方逼近文献标识码:A
on
Leastsquaresfittingofdiscretedatabased
LILidan
MATLAB
(CollegeofScience,LiaoningTechnicalUniversity,Fuxin123000,China)
Abstract:Inviewofcommonexperimentaldatafittingproblemsin
scienceandengineering
calculations,
MATLABmathematical
software
and leastsquareprinciplewereadoptedtodeterminethefunctionrelation
on
betweenvariables.Caseanalysisshowthatleastsquaresfittingmethodbasedrealized
MATLABissimple,easily
andthereforewidelyusedinengineering.
Keywords:leastsquaresmethod;MATLAB;curvefitting;polynomialfitting;bestsquareapproximation
0
引
在科学技术的各领域中,不同变量之间的相互
式中,p(而)为点墨处的权函数,上述最佳平方逼
近曲线拟合方法称为最d,--乘法,而S(x)UP为所要找的函数关系。
当基函数缈,(功=XJ。,(,=0,1,…,栉)时,称拟合问题为多项式拟合,多项式拟合是最简单且常用的方法。
关系通常用函数描述。有些函数关系可由经典理论分析推导得出,不仅为进一步的分析研究工作提供理论基础,也可以方便的解决实际工程问题。但是,很多工程问题难以直接推导出变量之间的函数表达式,或者即使能得出表达式,公式也十分复杂,不利于进一步的分析与计算。由于研究需要,希望能得到这些变量之间的函数关系,这时就可以利用曲线拟合方法,用已知的实验数据结合数学方法得到变量之间的近似函数表达式。而在处理实验数据时,常用的是最小二乘法【IqJ。
2最小二乘拟合的应用
给出几个利用最小二乘法解决实际问题的应用案例,求解过程基于数学平台MATLAB。
案例一某建材公司有一大批水泥需要出售,根据以往统计资料,零售价增高,则销售量减少,具体数据如表1;如果作广告,可使销售量增加,具体增加量以售量提高因子k表示,k与广告费关系见表2。已知水泥的进价是250元/t,那么如何确定这批水泥的价格和广告费,才能使该公司的获利最大。
表I水泥预期销售量与价格关系
Tab.I
relationshipbetweencement∞叩ectedsalesandprices
260
270176
280150
290139
300125
310110
320100
1最小二乘原理
如何通过一组观测实验数据
(椎,Yt)(七=1,2,…,历)
确定Y与x的关系Y=厂(x),通常采用最佳平方逼近,即在①=span{CPo(X),伊l(x),…纯(x))中寻找
/(x)的逼近函数.鼬),使
∑p(x,)【厂(墨)一S(x川2=min
单价,(元 f1)250售量/万t
200
190
收稿日期:2011.03.05
作者简介:李丽丹(1980-),大连庄河人,讲师,主要从事计算数学理论与应用方面的研究。本文编校:曾繁慧
万方数据
增刊李丽丹:基于MATLAB的离散数据最小二乘拟合
203
裹2售量提高因子与广告费关系
Tab.2
relationshipbetweensalesimprovementfactorand
advertisementfees
用x,y,z和c分别表示销售单价、预期销售量、广告费和成本单价。表1与表2的数据如图1、图2。
200r
l
●
180}
_
R
160r
删独
。20【
。∞L———。———.————。———.———.———』L
1
_
№1
函
恒1掣
l
0100200300400500
广告费/万元
图2销售提高因子与广告费关系
Fig.2
relationship
betweellsalesimprovementfactorandadvertisementfees
由图l中可知售量与单价近似呈线性关系,因此可设
Y=a+缸
用最小二乘法解得
y=577.607l-1.5048x
(1)
由图2可知提高因子与广告费近似成二次关系,因此可设
k=d+ez+, z2
(2)
用最小二乘法解得
七=.1.182x10-5+O.0068z.1.182fxlO-522
设销售量为s,它等于预期销售量乘以提高因子,即s---砂。于是利润P可以表示为
卢收入.广告费=销售收入.成本支出.广告费=
万方数据
&一&一z=砂(X—C)-z
(3)
将式(1)、式(2)代入式(3),c'=250,可知P只是x和
z的函数,即
m孑户q切t归‘)(I口均哟∽k
为求出最大利润,需要利用函数求极值的方法,令
娑=o,_0t"=o,则得
Oxd2
芒:_+留啦:№-6c+2bx)
j3P一:(P+2启)(口+M(膏一c)一1
当b出P=o时,得z。=去(6c一力=316.93
o
再由蝥:o,可得
犷专[丽b—p2捌
进一步求P(工,z)在点(X0",Zo)的二阶导数,得
萨2拍(d+器+乒2)=。61724<o
a2P
塞吡啡)(口圳(一)=
_4.6215e-006=0
aP
:■了22f(a+幻0(x—c)=--01507<0
dz‘
根据多元函数极值的充分条件知,在点(X0Zo)利润P取得最大值P(Xo,‰)=13209.6元。
因此,将单价定为316.93元/t,花广告费282.21万元,实际销售量可达到201.58万t,可获利润13209.6万元。
对于可线性化的非线性逼近函数问题,也可利用最4'-乘法求解。
案例二
炼钢厂的钢水包在使用过程中,由
于钢液及炉渣对耐火材料的浸蚀,使其容积不断增大,经过多次实验与统计,得到钢包容积与相应的
!坚
里!兰堡垫查垄芏堂哩(自然科学版)
第30卷
使川次数多组数据,如图3
●
●
●
●
●
●
●
竹Ⅲ至言耐蹲
2
4
b
8
0
2
i4
6
I#
20
ⅫⅧam
罔3任用次数与铡包窖祝的关系
Fig3
relationshipbelweenuselimesandladlevolume
由圈3_J知.散点小能近似成直线,仉可看H{增眭的趋辨丌始变化较快,然后逐渐变慢,因此考虑烈曲线形式的inll)l方程
——…a
b
Y
x
令‘=I/T,Y.=1lyr
MATLAB{钊}汁算得线
性A槲H=O009+81867x10
4xI
则原方程为
】】一=0009+81867e.004二
y
x,}’方面,也可考虑对数函数曲线
Y=a+blog(x)
令x:=log(x),{'JfHMATLAB程序¨算得线性打栏
Y2=1063147+l
714Iog(x、
利用MATLAB面出两个拟合蛹数札再点的误差、F力条形l矧,如图4。训箅程序如r:
;jL铷L~
圈4荏箍比较
Fig
4…comparison
万方数据
Ff2
34578101114151618191;
y-『10642
10820
10958
1095
1lO00
10993
110491105911060110911076111IIl21;
yl=x/(0
009+什8
1867e一004);
y2=1063147+17140+log(x);
subplot(I,2,1);bar(x,(y—Y1)“2):
subplot(I,2,2);bar(x,(y—y2)“2),
由慢麓蚓4uJ知,双曲跌Z波动幅度没十I埘数洪差人,误芹、l’方和分别为
sum(眇"Y1)“2)=24842sum((v-Y2)“2)=2
6022
所以,』剞烈曲线逍近比爿J对数逼近效粜¨。
案例3刘ri.程汁算Il,常见的多变41}lllj题,蚓样可以利』II最小二乘法辅助建模求解。如F。维数据
卢【5836247859;76948373251,F『90
9595708555957555
901;
利州MATLAB程序计算-得函数y戈1:x3,J±的最小一乘趟近闻数为
y=198966十39807‘+702I-
3结论
科学‘I1.程汁算cI一常常需要处理离散的宴验
数据,通过=二个应什J案例,利Ⅲ最小:乘泄:拟☆数据.结介数学软,',1。MATLAB辅助建模,使计算夫人简化。参考文献
i]#≈mm**2』■n【M】nm:nmⅡ^{m%“2005
21
tn
E,M&“W怖№m"*&jfMⅣILAB∞№『M1IE/J(什}
。f{%十十200431
t{r*j“MmIab女Ⅸm十4*%n自川^cm
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m{目口}H,
2005.12(2):52 56
基于MATLAB的离散数据最小二乘拟合
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
李丽丹, LI Lidan
辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新,123000
辽宁工程技术大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF LIAONING TECHNICAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2011,30(z1)
本文链接:http://www.77cn.com.cn/Periodical_lngcjsdxxb2011z1061.aspx
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