高中数学选修2-3精讲精练第二章 - 图文

高中数学选修2-3 第二章 概率

第一讲 离散型随机变量的分布列................................................................................................. 3 第1.1练 ........................................................................................................................................... 5 第一练答案....................................................................................................................................... 6 第二练答案....................................................................................................................................... 6 第三练 参考答案 ............................................................................................................................. 6 第1.2练 离散型随机变量解答题 ............................................................................................ 7 第1.3练 离散型随机变量解答题 ............................................................................................ 9 离散型随机变量解答题答案......................................................................................................... 11 《概率》测试题 ............................................................................................................................ 15 选修2－3《概率》测试题答案.................................................................................................... 17 第二讲 离散型随机变量的期望值和方差 ................................................................................... 18 第二练 ............................................................................................................................................ 19 第三讲 超几何分布 .................................................................................................................... 20 第三练 超几何分布 ..................................................................................................................... 22 第四讲 条件概率 ........................................................................................................................... 23 第四练 条件概率 ........................................................................................................................... 29 第五讲 独立重复试验与二项分布 ............................................................................................. 31 第五练 二项分布及其应用 ......................................................................................................... 36 45分钟单元综合检测题答案 ........................................................................................................ 38 第六讲 正态分布 ......................................................................................................................... 39 第六练 正态分布 ........................................................................................................................... 41 第六练 概率分布参考答案： ................................................................................................... 43

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高中数学选修2-3 第二章 概率

第一讲 离散型随机变量的分布列

一、知识梳理

1.随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.

（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.

（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，?，xi，?，ξ取每一个值xi（i=1，2，?）的概率P（ξ=xi）=pi，则称表 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. （2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中

knk

这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=Ck. npq

－

其中k=0，1，?，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ P 00 Cnp0qn 11 Cnp1qn1 －? ? kk Cnpkqnk －? ? nn Cnpnq0 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记

knkCk=b（k；n，p）. npq

－

特别提示

二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.

（3）. 几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发

生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

? 1 q 2 qp k?13 q2p … … k qk?1p … … P 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qp，其中q?1?p.k?1,2,3?

三、例题剖析

【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 特别提示

求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.

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高中数学选修2-3 第二章 概率

【例2】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

【例3】 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.

思考讨论 若本题改为：若每次取1个，用完放回再取1个，用完再放回，再取1个用完放回，则怎样求此时ξ的分布列呢?

【例4】 （05年山东卷）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取??取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用?表示取球终止所需要的取球次数.

（I）求袋中所有的白球的个数；

（II）求随机变量?的概率分布； （III）求甲取到白球的概率.

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第1.1练

基础训练

1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是 A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点

D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是 A. ξ P －1 0.3 0 0.4 1 0.4 3 －0.1 1 0.3 B. ξ P 1 0.4 －1 0.3 2 0.7 0 0.4 C. ξ P D. ξ P 1 0.3 2 0.4 3 0.4 3.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=A.3 1612k，k=1，2，?，则P（2<ξ≤4）等于 C.1 16 B.

1 4 D.

1 54.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________.

5.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=

5，则P（η≥1）=______. 91*6.如果ξ～B（20，），则使P（ξ=k）取最大值的k的值是________.

3同步练习

1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是

A.5 B.9 C.10 D.25

2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）等于

3105A.C10（）2 12（）·

889C.C11（

3539B.C11（）9（）2·

888359D.C11（）9·（）2

88593）·（）2 88

3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒

数，则ξ的分布列是______.

4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=________.

5

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第一练答案

基础训练

1~3 DCA 4、 ξ P 0 0.95 1 0.5×0.94 2 0.1×0.93 3 0.01×0.92 4 4.5×0.14 5 0.15 5、

65 816、

??k?1)解析：P(P=(??k)?11k?1220?k?1Ck()20()331k220?kCk()()2033?k1=20×≥1， 2k?1得k≤6.

所以当k≤6时，P（ξ=k+1）≥P（ξ=k）， 当k＞0时，P（ξ=k+1）＜P（ξ=k）， 其中k=6时，P（ξ=k+1）=P（ξ=k）， 从而k=6或7时，P（ξ=k）取得最大值. 答案：6或7 同步练习

k1~2 BB 3、P（ξ=k）=C50.3k0.75k，k=0，1，?，5

－

4、

13 35第二练答案

1~6 BCBAAC 7、乙8、

1，5。 9、1.2 2第三练 参考答案

1-4题CACB；5、

5；9? P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 6、

7、略，8、0.007；9、略

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第1.2练 离散型随机变量解答题

1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，

试求下列事件的概率：

（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.

2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相

互独立的，并且概率都是.

（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。

3． 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小

球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望

4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，

数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中

（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？

（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少

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5．如图，A,B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. （I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x?6时，则保证信息畅通.

求线路信息畅通的概率；

（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

6．三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为

133,,,将它们中某两个元件并联后再和第三244元件串联接入电路.

（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.

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第1.3练 离散型随机变量解答题

7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.

8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差

9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？

厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；

(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．

10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出

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11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.

12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.

(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.

练习：

1． 抛掷2颗骰子，所得点数之和记为?，那么??4表示的随机试验结果为____________。 2． 设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量?描述1次试验的成功次数， 则P(??0)?_______________。 3．若?的分布列为：

（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？

（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？

12? P 0 p 1 q 其中p?(0,1)，则E??____________________，D?

?____________________，

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离散型随机变量解答题答案

1、解：设Ai?{第i次拨号接通电话}，i?1,2,3

（1）第3次才接通电话可表示为A1A2A3于是所求概率为P(A1A2A3)?9?8?1?1;

109810（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1?A1A2?A1A2A3于是所求概率为

P(A? P(A1?A1A2?AA1)?P(A1A2)1A2)?3所以 P?(1?1)(1?1)?1?4.

33327P(1A2A3A?)1919813??????. 101091098102、解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，

（2）易知?~B(6,). ∴E??6?1?2. D??6?1?(1?1)?4.

33333

3、解：设此次摇奖的奖金数额为?元，

当摇出的3个小球均标有数字2时，??6；

当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，??9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，??12。

31221CC788CC7所以，P(??6)? P(??9)?82? P(??12)?C2?1 ?3331515C10C1015C1011 E??6?(7?9?7?12?151539? )155 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是

39元 54、解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C，

则P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.85

（Ⅰ）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)

?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)]?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.85)?0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003 （Ⅱ）（P(A?B?C?A?B?C?A?B?C)）

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)?P(A?B?)C?(PA?B ?P(A?B?C ?)C ?P(A)?P(B)?P(C)?P(A?)P(B?)P(C?)P(?A)P(?B )P(C)?[1?P(A)P]B(P)C(?)PA(?)[1PB(P)]?C()PA(P)?B()[PC ?(1?0.9?) 8(10.?80.?85?0.9?(1?0.8)?0.?85?0.9?0.0.85)?0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329

111?C2?C21?5、解：（I）?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)? 34C651?2043?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)?20

21?2?3?4?9,?P(x?9)??201011313?P(x?6)?????4420104?1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)? （II）?1?1?2?4,P(x?4)?13 ,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)?1020 ∴线路通过信息量的数学期望 ?4?131131?5??6??7??8??9??6.5 10204420103答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是6.5

46、解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则

P(A1)?133,P(A2)?,P(A3)?. 244（Ⅰ）不发生故障的事件为(A2?A3)A1. ∴不发生故障的概率为

P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)?[1?

11115?]??44232

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（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为(A1?A2)A3 ∴不发生故障概率为

P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)??P2?P1

21 32图2不发生故障事件为(A1?A3)A2，同理不发生故障概率为P3?P2?P1

7、解：设事件A?“从甲机床抽得的一件是废品”；B?“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P(A)?0.05,P(B)?0.1 （1）至少有一件废品的概率

P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145（2）至多有一件废品的概率

P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995

8、解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. 则P(A)?P1?0.6,P(B)?P2

P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?PP12?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8(2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48

?的概率分布为:? 0 1 2 0.48 0.08 0.44 P E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48?0.1568?0.0704?0.1728?0.4或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.4

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高中数学选修2-3 第二章 概率

9、解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以? 表示公司每年的收益额，则?是一个随机变量，其分布列为：

? x x?a p 1?p P 因此，公司每年收益的期望值为E??x(1?p)?(x?a)p?x?ap． 故可得x?a．(p?0.1)

为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E??0.1， a，即x?ap?0.1a 即顾客交的保险金为 a(p?0.1)时，可使公司期望获益0.1a．

10、解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P?1?0.8?C5?0.8?0.2?0.263． (2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是： P1?C4?0.2?0.8?0.8

13514

五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是： P2?C4?0.2?0.8?0.2

13

由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P?P1?P2?C4?0.2?0.8?0.4096． 11、解：（I）参加单打的队员有A3种方法. 参加双打的队员有C2种方法.

所以，高三（1）班出场阵容共有A3?C2?12（种）

（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两

盘胜， 所以，连胜两盘的概率为

21213

1111113?????. 22222812、解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A,B，则

1C52?C323C52?C33?,P(B)?? P(A)? 77C84C84 ∵A,B为两个互斥事件 ∴P(A?B)?P(A)?P(B)? 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则

6 76 7C541113 P(C)?4?至少摸出一个黑球为事件C的对立事件 其概率为1??

C8141414

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《概率》测试题

一、选择题

1．10件产品中有3件次品，从10件产品中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X的取值为 （ ） A. 0,1 B. 0,2 C. 1,2 D. 0,1,2

2．设随机变量X等可能的取值1，2，3，?，n，如果P(X?4)?0.3，那么 （ ） A. n?3 B. n?4 C. n?9 D. n?10

3．在15个村庄中，有7个村庄不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村

C74C86庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于10的是 （ ）

C15 A. P(X?2) B. P(X?2) C. P(X?4) D. P(X?4)

4．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 （ ） A.

1212 B. C. D. 55335．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）

2553191 B. C. D.

2152162162166．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有4台这种型号的

A.

自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A. 0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728 7．已知随机变量X的分布为 0 1 X －1 则E(X)等于

A. 0 B. 0.2 C. －1 D. －0.3

8．随机变量Y?B(n,p)，且E(Y)?3.6,V(Y)?2.16，则此二项分布是 （ ） A. B(4,0.9) B. B(9,0.4) C. B(18,0.2) D. B(36,0.1) 二、填空题

9．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，则所剩数据的平均值是 ，方差是 . 10．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3

次的概率是0.9?0.1；③他至少击中目标1次的概率是1?0.1.其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.

11．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，

34P 0.5 0.3 0.2 （ ）

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高中数学选修2-3 第二章 概率

则第2次抽出正品的概率是 .

12．已知某工厂生产的某种型号卡车轮胎的使用寿命（单位：km）服从正态分布利用正态分布估计使用寿命N(36203,48272).一汽车公司一次从该厂买了500个轮胎，

在36203—2×4827～36203＋2×4827范围内的轮胎个数是 .

三、解答题

13．某种彩票的开奖是从1，2，3，?，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为

含有基本号码数 中奖等级

14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为为

求至少中三等奖的概率.

4 四等奖 5 三等奖 6 二等奖 7 一等奖 1，乙每次击中目标的概率22，（1）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望E(X)； 3（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

15．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为

1，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. 2（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至

少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽

成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X的概率分布列和期望.

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高中数学选修2-3 第二章 概率

选修2－3《概率》测试题答案

题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 D 5 D 6 D 7 D 8 B 9. 9.5 ; 0.016 10. ①③ 11.

95 12. 477 9952C7C298526?13.P(X?5)?H(5;7,7,36)? 7C36834768061C7C203 P(X?6)?H(6;7,7,36)?729?

C36834768070C7C291P(X?7)?H(7;7,7,36)?? 故至少中三等奖的概率为 7C368347680P(X?5)?P(X?5)?P(X?6)?P(X?7)? 14．（1）X的概率分布列为 X P 0 1 8730

83476802 3 3 813311 E(X)?0或E???1??2??3?1.5(X)?3??1.5

8888219323 （2）乙至多击中目标2次的概率为1?C3()?

3271 83 81 8 （3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0

次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2,则A?B1?B2,

31121B1、B2为互斥事件，P(A)?P(B1)?P(B2)?????

827892415．（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率 P?C5()?C5()?C5()? （2）X的概率分布列为 X P 1 2 3 4 5 3125412551251 2111 48161111131所以 E(X)?1??2??3??4??5??

248161616

1 21 1617

高中数学选修2-3 第二章 概率

第二讲 离散型随机变量的期望值和方差

一、知识梳理

1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，?，n，?），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.

2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.D?叫标准差，反映了ξ的离散程度.

3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）. （2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

二、例题剖析

【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ. ξ P －1 0 1－2q 1 q2 1 2拓展提高

既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=

3276，P（ξ=x2）=，且x1

解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有

Eξ=Dξ=

327x1+x2=， 55532226x1+x2－Eξ2=. 5525??3x1?2x2?7,从而得方程组?2 2??3x1?2x2?11.【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a

元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?

【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ. 特别提示 求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.

【例4】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

2D??1（2）求的最大值.

E?

18

高中数学选修2-3 第二章 概率

第二练

同步练习 离散型随机变量的期望值和方差

1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为

A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1

2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则

A.Eξ=3.5，Dξ=3.52

B.Eξ=3.5，Dξ=D.Eξ=3.5，Dξ=

35 1235 164.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是

A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1

C.Eξ=3.5，Dξ=3.5

C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910

－k

kD.P（ξ=k）=C10·0.99k·0.0110k

－

5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于 A.1 7 B.

1 6 C.

1 5 D.

1 46.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于

A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804

7.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好.

8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_______.

9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

2，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________. 519

高中数学选修2-3 第二章 概率

第三讲 超几何分布

1、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

X 1 0 P p 1-p

2、超几何分布

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=m

mM?mCnCN?n则P(X?m)?.此时我们称随机变量X服从超几何分布 MCN1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n 三、数学应用

例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得

41C10C20?0.029 P(X?4)?5C30 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列. 解：由题意 X P 例1、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量?表示所选三人中女生人数.（1）求?得分布列；（2）求所选三人中女生人数??1的概率. 解、（1）

0 0．58375 1 0.33939 2 0.07022 3 0.00638 4 0.00025 5 0.00001 ? P （2）P(??1)?

0 1 2 1 53 51 54 520

高中数学选修2-3 第二章 概率

例2、某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，求有两人会说日语的概率. 解、略

例3、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列. 解、

? P 2 6 10 28 4516 451 45例4、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用?表示其中的次品数，试求：

（1）抽取的4只中恰好有k只次品的概率；

（2）抽取的4只产品中次品超过1只的概率. 解、略

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高中数学选修2-3 第二章 概率

第三练 超几何分布

1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是 A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.2 2、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是 A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.078

3、盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是

A

37171017 B C D 424221211111 B C D 23454、一个小组有6人，任选2名代表，求其中某甲当选的概率是 A

5、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇

数的概率是________________.

6、从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有?个红球，则?得分布列是___________________________________. 7、从一副扑克（无王）中随意抽取5张，求其中黑桃张书的概率分布是___________________. 8、一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中随机抽取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列，并说明5件产品中有3件以上为次品的概率.(精确到0.001)

9、设袋中有N个球，其中有M个红球，N-M个黑球，从中任取n个球，问恰有k个红球的概率是多少？

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高中数学选修2-3 第二章 概率

第四讲 条件概率

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高中数学选修2-3 第二章 概率

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高中数学选修2-3 第二章 概率

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第四练 条件概率

1．已知P(B|A)=A．

1 231,P(A)=,则P(AB)=( ) 10532 B. C．

23 D.

3 502．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ）

1111 B. C. D. 2348423．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下

15151雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）

103381A. B. C. D.

284225A.

4．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一

个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 . ５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？ （2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

６．某种元件用满6000小时未坏的概率是

13，用满10000小时未坏的概率是，现有一个42此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表

（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率 （2）求这个代表恰好是团员代表的概率 （3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率

（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率

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高中数学选修2-3 第二章 概率

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？

(2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字） 9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每

个小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？

27400120

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高中数学选修2-3 第二章 概率

第五讲 独立重复试验与二项分布

二项分布定义：

在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为

P(X?k) kkn?k?Cp(1?p),(k?0,1,2,?n)n

则称随机变量X服从二项分布, 记作 X~B(n,p)，也叫Bernolli分布。

复习时应注意：

1. 独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次

的概率为Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k此式恰为[(1?P)?P]展开式中的第k?1项，可见排列

n组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。 再现型题组1．在相同的条件下重复做的 称为n次独立试验。在n次独立重复试验中，“在

相同条件下”等价于各次试验的 ，若Ai（i?1,2,?,n）是第i次试验的结果，则P(A1A2?An)?________________.2．若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P(X?k)?________其__中k的取值为

_________.此时随机就是X服从二项分布，记为 ，并称P为成功概

率。巩固型题组3.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率

4. 从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：

（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；

（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；

（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为?，求?的概率分布.提高型题组5．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．

(i)求恰好摸5次停止的概率；

1，从B中3(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布列。

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高中数学选修2-3 第二章 概率

(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2，求p的值．5【变式与拓展】加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为

9、1087、，且各道工序互不影响。98 (1) 求该种零件的合格率；

(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

6.某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.

【变式与拓展】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.

（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；

（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？

反馈型题组7.实力相等的甲、乙两队参加2008年乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．

8. 十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

参考答案

再现型题组

⒈ 【提示或答案】n次试验，结果不会受其它试验的影响，P(A1)P(A2)?P(An) ⒉ 【提示或答案】Cnp(1?p)kkn?k 0,1，2??n X~B(n,p)

巩固型题组

⒊解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率P5(4)?C5?0.8?(1?0.8)445?4?0.84?0.41

答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报

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高中数学选修2-3 第二章 概率

都准确的概率的和，即

5P?P5(4)?P5(5)?P5(4)?C54?0.84?(1?0.8)5?4?C5?0.85?(1?0.8)5?5

?0.84?0.85?0.410?0.328?0.74

答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． ⒋解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为1?3C63C10?1?15 ?.662（Ⅱ）同学甲被选中的概率为C9?3,则同学甲被中且通过测试的概率为

3C10100.3×0.7=0.21.

（Ⅲ）根据题意，?的可能取值为0、1、2、3，

3C41P(??0)?3?C103112C62C41C6C43P(??2)??;P(??1)??;332C1010C103C61P(??3)?3?;

C106所以，?的分布列为

提高型题组

2⒌解.（I） (i) C4?()2?()2?? 0 130 1 310 2 12 3 16P 132318?. 381(ii) 随机变量?的取值为0, 1, 2, 3.

kkp(1?p)n?k,得 由n次独立重复试验概率公式Pn(k)?Cn132118001P(??0)?C5?(1?)5?,P(??1)?C5??(1?)4?,

324333243118032?80?217P(??2)?C52?()2?(1?)3?,P(??3)?1??.

3324324381随机变量?的分布列是

0 1 2 3 ?

32808017P 243243243811m?2mp213（II） 设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。由3?,得p?.

303m5【点评】摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型，对于此种问题的解决关键是抓住是放

回式摸球还是不放回式摸球，以便于选择概率模型进行解决。 【变式与拓展】 解：（Ⅰ）P?9877???； 109810

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高中数学选修2-3 第二章 概率

7，由独立重复试验的概率公式得： 10317 恰好取到一件合格品的概率为 C3??()2?0.189， 10103 至少取到一件合格品的概率为 1?()3?0.973.

10 （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为 解法二：

1 恰好取到一件合格品的概率为C3?732?()?0.189， 101037317373 至少取到一件合格品的概率为 C3??()2?C32()2??C3()?0.973.

1010101010⒍解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p1,需要更换2只灯泡的概率

23为C5p1(1?p1)2;

5（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1－p1）；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1－p2)，故所求的概率为p?(1?p1)?p1(1?p2); （III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p（其中p为（II）

14中所求，下同）换4只的概率为C5，故至少换4只灯泡的概率为p（1-p）

5

2

214p3?p5?C5p(1?p).又当p1?0.8,p2?0.3时,p?0.22?0.8?0.7?0.6?p3?0.6?5?0.6?0.4?0.34.即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.54

【点评】分情况进行讨论，一定要注意不重不漏地全部考滤到。

【变式与拓展】 解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率， 即1?C6(0.5)06626?C1(0.5)?C(0.5)?1?661?6?1521?.

6432（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为

4666C6(0.5)6?C56(0.5)?C6(0.5)?11?0.3 32至少5人同时上网的概率为：

66(C56?C6)(0.5)?7?0.3. 64因此，至少5人同时上网的概率小于0.3. 课堂小结

求随机变量的分布列时，要找到随机变量的所有可能的取值，然后分别计算随机变量各个值

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高中数学选修2-3 第二章 概率

的概率，最后得出分布列。 反馈型题组

⒎解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为

11，乙获胜的概率为． 22记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，

记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

3∴甲打完3局取胜的概率为P(A)?C3()3?121． 8②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)?C3?()??2122113?． 2216③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

121213?．

22216(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D?A?B?C， 又因为事件A、B、C彼此互斥，

1331故P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)????．

8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为．

2∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)?C4?()?()?2⒏解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，??，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

113131651514919P?C9()()?C94()4()5?C9()()???C9()

222222219192333591990129? ?(C9?C94?C9???C9)()??2?(C?C?C)()?(2?46)()?999??2222561k1k19?k设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()?C9k()9，

222kk19∴当k?4或k?5时，C9最大，即C9()最大，

2233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

256

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高中数学选修2-3 第二章 概率

第五练 二项分布及其应用

一．选择题

1．一台X型自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一个小时之内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.9728

2．在一次试验中随机事件A发生的概率为P，设在k(k?N)次独立重复试验中随机事件A发生k次的概率为Pk，那么

*?P等于（ ）

ii?1nP(1?Pn)A． B．nP C．nPn D．1

1?P3．若X~B(10,0.8)，则P(X?8)等于（ ）

A．C10?0.8?0.2 B．C10?0.8?0.2C．0.8?0.2 D．0.8?0.24.若X~B(5,0.1)，那么P(X?2)等于（ ）

8828288228A．0.0729 B．0.00856 C．0.91854 D．0.99144

5.设随机变量?服从正态分布N(0,1)，则下列结论不正确的是：( ) A P(|?|?a)?P(|?|?a)?P(|?|?a)(a?0) B． P(|?|?a)?2P(??a)?1(a?0)C．P(|?|?a)?1?2P(??a)(a?0)D．P(|?|?a)?1?P(|?|?a)(a?0)6.某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）

3112A3A32?A2A3?A2? (A)1?3 (B) 33A5A5A5332321(C)1?()3 (D)C32?()2?()?C3?()1?()2

55555二．填空题

7．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）

8．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．

9．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为命中率为 ．

10. 设X~B(2,p),Y~B(4,p)，已知P(X?1)?

80，则此射手的815，则P(Y?1)?__________. 936

高中数学选修2-3 第二章 概率

三．解答题

11.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率

12. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

1，从B3中摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2，求p的值．5

37

45分钟单元综合检测题答案

265 10. . 38111. 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的

1-6.DAACCA 7. 0.784 8. 0.046 9. 概率P5(4)?C5?0.8?(1?0.8)445?4?0.84?0.41

答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

5P?P5(4)?P5(5)?P5(4)?C54?0.84?(1?0.8)5?4?C5?0.85?(1?0.8)5?5

?0.84?0.85?0.410?0.328?0.74

答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． 12. 解：（1）∵x?y?z?3,2y?x?z

?x?0?x?1?x?2???①?y?1 ②?y?1 ③?y?1 ?z?2?z?1?z?0???①表示：掷3次，1次出现2点或3点，2次出现4点，5点或6点，共C3种情况。

11011121

63241111②x?y?z?1的概率为6···＝

63261211101③x?2,y?1,z?0的概率为 3()()()?

632361114故n＝3时，x、y、z成等差数列，概率为???

46369故x?0,y?1,z?2的概率为3()()·()?（2）n=6时，x、y、z成等比数列。 ∴x?y?z?2 所求概率为C6()C4()C2()?2162213221225. 72

高中数学选修2-3 第二章 概率

第六讲 正态分布

1．正态分布N(?,?)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布

2

2．正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 （2）曲线关于直线x=μ对称 （3）当x=μ时，曲线位于最高点 （4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

3．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示

式是f(x)?12?e?x22，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 讲解新课：

非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过F(x)??(x???)转化成标准正态

总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化 例1．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：

(1)在N(1,4)下，求F(3) （2）在N（μ，σ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）F(3)＝?(2

3?1)＝Φ（1）＝0.8413 2?????（２）Ｆ（μ＋σ）＝?()＝Φ（1）＝0.8413

?Ｆ（μ－σ）＝?(Ｆ（μＦ（μＦ（μＦ（μ

?????)＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 ?－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 －1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 －2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 －3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997

2对于正态总体N(?,?)取值的概率：

39

高中数学选修2-3 第二章 概率

在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例2．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 12?，求总

解：正态分布的概率密度函数是f(x)?12??e?(x??)22?2,x?(??,??)，它是偶函数，

说明μ＝0，f(x)的最大值为f(?)＝布 12??，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分

P(?1.2?x?0.2)??(0.2)??(?1.2)??(0.2)?[1??(1.2)]??(0.2)??(1.2)?1?0.5793?0.8848?1?0.4642 课堂练习：

1.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率 （１）（0，１）； （２）（１，３） 解：（１）P＝Φ（1）－Φ（0）＝0.8413－0.5＝0.3413 （２）P＝Φ（3）－Φ（1）＝0.9887－0.8413＝0.1574

五、小结 ：正态总体N(μ，σ)转化为标准正态总体N(0,1)的等式F(x)??(应用 2

x???)及其

40

第六练 正态分布

一、判断题

1、所有正态分布都可以转化为标准正态分布。

2、当一组数据的每个观测值都转化为Z分数时，Z分数分布的平均数为零，标准差为10。 3、在一个标准正态分布中，大约有68%的数据分布在±S之间。 4、随机变量具有变异性、离散性和规律性的特点。 5、二项分布的分布函数是：

PX?x?Cnxpxqn?x。

6、某市5岁幼童身高的分布是一个连续型分布。 7、正态分布是以平均数0为中点的对称分布。

8、在一个正态分布中，Z=-1.46比Z=1.46离平均数更近。

9、同一个观测值在一个具有较大标准差的分布中的百分等级要比在一个具有较小标准差的分布中更大。

10、在正态分布密度曲线中，曲线下的面积代表概率，其大小为1。

二、选择题

1、一个正态分布的平均数为90，标准差为5，则在其分布中85-95之间包含数据的百分比约为：

A、34% B、50% C、68% D、84% E、100%

2、一位老师宣称只有班级的前15%的同学才能得优。期末考试结果是全班平均分为83，标准差为6，则得分至少为多少才能得优？ A、77 B、86 C、89 D、92 E、95 3、在一个标准正态分布中，Q1的Z值为

A、-0.68 B、-1.00 C、0 D、0.68 E、1.00

4、如果在一个分布中，P40对应的Z分数是一个正值，则这个分布可能是： A、正态分布 B、正偏态分布 C、负偏态分布 D、二项分布 E、不可能发生 5、假设你某次考试得了80分，你希望你所在班级的成绩是哪一个？

A、X?70,S?10 B=X?75,S?5 C、X?60,S?15 D、X?80,S?2 E、

X?76,S?2

高中数学选修2-3 第二章 概率

三、计算题

1、 假设下列表格中所列的变量分布都为正态分布，请参考正态分布表仿照第一行的计算完

成表格。 Mean S x Z 平均数到Z之间包含的面积 0.3413 0.2186 0.4154 Z之上曲线下的面积 0.1587 0.1168 百分等级 100.00 5.00 152.00 16.00 9.00 7.00 0.23 10.00 1.00 16.00 2.00 16.00 0.50 57.10 0.05 110.00 6.50 8.94 14.80 13.60 78.00 600.00 1.0000 -0.6000 -1.5333 1.5333 -1.3750 1.1909 2.4000 0.8413 0.9938

2、假设某公务员考试有1534人参加，所有考生成绩的分布为正态分布，平均数为112，标准差为7。据此完成以下计算：

A、张三所处百分等级为34%，则张三考了多少分？ B、李四所处百分等级为83%，则李四考了多少分？ C、王强考了119分，则其百分等级是多少？

D、公务员招收名额为10，复试定为50%的差额选拔，请问至少考多少分才可能进入复试？

42

第六练 概率分布参考答案：

判断题 对 错 对 对 错 对 错 错 对

10、 对 选择题 CCAEC 计算题

假设下列表格中所列的变量分布都为正态分布，请参考正态分布表仿照第一行的计算完成表格。 Mean S x Z 平均数到Z之间包含的面积 0.3413 0.43319 0.22575 0.43699 0.21904 0.43822 0.4154 0.4938 0.3832 0.4918 Z之上曲线百分等级 下的面积 0.1587 0.06681 0.72575 0.93699 0.71904 0.06178 0.9154 0.0062 0.1168 0.0082 0.8413 0.93319 0.27425 0.06301 0.28096 0.83822 0.0846 0.9938 0.8832 0.9918 100.00 5.00 152.00 12.00 16.00 9.00 100.00 7.00 532 0.23 10.00 1.00 16.00 2.00 2.07 3.00 16.00 0.50 57.10 0.05 110.00 6.50 142.4 8.94 14.80 13.62 78.00 8.25 600.00 0.35 1.0000 1.5000 -0.6000 -1.5300 -0.5800 1.5400 -1.3750 2.5000 1.1909 2.4000 2、假设某公务员考试有1534人参加，所有考生成绩的分布为正态分布，平均数为112，标准差为7。据此完成以下计算：

A、张三所处百分等级为34%，则张三考了多少分？ 解：P34对应Z=-0.41,则X=112-0.41*7=109

B、李四所处百分等级为83%，则李四考了多少分？ 解：P83对应Z=0.95,则X=112+0.95*7=118.65 C、王强考了119分，则其百分等级是多少？

解： Z=(119-112)/7=1.00,则P=0.34134,其百分等级为84.134%

D、公务员招收名额为10，复试定为50%的差额选拔，请问至少考多少分才可能进入复试？ 解：复试比例为20/1534=0.01303,其对应的百分等级为0.98697,Z=2.23,X=112+2.23*7=127.61

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