关于求解三重积分的方法

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

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关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy+ yi o 9 2,于题则 o p≤=n s0≤≤对本有{< 1≤t= zz—0<∞ O≤z+ l≤0叮 0≤2r

解J』‘ a: zdo z』』 a a zz竹:

dy d2批 x z 1』 y_ d= d』 x 2区域。

z z

j a盯一】 .。[譬 手=詈d,其中 n是由球面 x y z z v 2 2 围成的闭++-

2给出的曲面形如 z f,, C .=( y z x )=

例 5计算、:/

() -, 1若CO关于z的积分一般是 I f,zz() CO关于z (,;若>, x) 2 Yd 的积分一般是 J,】;、【zz ),根据需要有时 yd会给出x的函来确定x,数， y, y的取值范围。

f= sn o o O x ri q s c

O≤r+≤

分析本题可以用球面坐 yrns o o‘ 1标{ s‘i ≤P r=iPn≤【: c s z ro O 0≤ e≤2 r 1

例化重分 y x z三积，分域是曲 2三积 J 'd d次分积区 Q由 f,d为 (z y x)n

则有 r cs r 0‘,≤c

s 0 P 2 0(≤cs 0≤r 0‘≤‘≤r P p P≤

面 zx及 xy lOzO围成的闭区域。:y+-=, - 分析 (根据情况( )依题意有 O zx,有 x>,有 x y 10, 1)<< y则 yO再+一=

解9、

d v:勘

9

得出闭区域在平面上的最大投影区域 D{,[<<-, x1,=(y Oy lx<< ) x) O则

f xz眠 dd d=

d,z y’ z ) d闭区域。

n s吾 i n:

例 6计算 zv其中 0是由曲面 X ( a≤ax ) d, 2 z ) 2r围成的+—+2≤z

例3化三重积分l(y) d z , d y为三次积分， f,x d xz积分区域n是由曲面￣.+2 z l围成的闭区域。 X y及= 2 分析给出的曲面形如￣fx )-l,。故闭区域在平面上的最大投，,, fx ) (yz y

分析本题显然可以使用球面坐标

影区 D{yxy≤}: y—≤≤I、二≤≤v域= ) 22 l即D{ ) l x,/ y I+ I -fI f EI

),

带曲方有人面程1‘} oP ≤≤

as j r。仨 c 0

f r 2 c sp O≤￣ a 0‘<

再情 () 2<,矗(, xd fd f—d f f根据况 2+ l ,)d z x Vl yx+,,有xy则《 xz y= — ( fYd x一

yz z,d。 ) 3给出形如 z f 2或 z f 2 . _《+ x=(, x

曲面围成的闭区域形如 z x y曲面围成的闭区域可以用柱坐标变换。 22+)一般的 z的最高次项是一次， y x的最高次项是二次都可使用柱坐标变换。 ' 形如 2 )曲面围成的闭区域可以用球面坐标变换。一般 Z,,Y X的最高次项都是二次可使用球面坐标变换。 上面的两种坐标变换是固定的变换形式，可以代回给出的曲面方程判断新的参数的范围。

解： f■r ndO jv f c q f o d￣ irl“

-霄 2 -霄 0 4￣ s i‘‘ a 2 ac s p P o d= n

以上例题均来自参考文献【, 1本文介绍在空间图像不好想象的情】况下，可以根据给出封闭曲面的函数形式，来划分积分区问，从而将三重积分化为累次积分。参考文献[] 1同济大学应用数学系主编 .高等数学(五版 )M]高教出版社[ .2 0 . 0 2

例计 jv其

n由面= 4算，中是曲 z/ z d、n

及=y成 z+围的 x2 2

闭区域。

分析先判断闭曲面的最大投影，、[=z 2令/一x y则有 x y 1+, 22,+:(上接第 19页 ) 0

其它极限的方法结合使用，以便简化运算。参考文献[】大学教学系陈传璋等编.学分析》上册 ) 1复旦《数 (第二版 .:北京 高等教育出版社。9 3 . 18 . 7[]东师范大学数学系编.学分析》上册 ) 2华《数 (第三版 .北京：高等教育出版社 .0 16 2 0 .. [] 3刘玉琏编.学分析讲义》上册 )《数 (第四版.:北京高等教育出版社 .0 37 2 0 ..

解它是一个型的不定式，运用洛必达法则，得∞

l i m一

±x

:l一 i mr lx+r—一

:l i m+田

±X

:…

.

如此反复下去，并不能解得结果。改用其它方法，得la i r+ X

:i lmr— l

:l 。

四、束语结洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但有时计算比较麻烦，应及时化简(通过代数、三角变形、等价无穷小代替等 )且最好能与，一

[]乐斌编. 4邓《数学分析的理论、方法与技巧》 .:中科技大学武汉华出版社 . 0 51 . 20. 2

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