高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法琴生不等式素材新人教A版选修4_5 -

琴生不等式

不等式pf(a)?qf(b)?f(pa?qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数f(x)的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数x1,x2，都有 f??x1?x2?f(x1)?f(x2). （1） ??2?2?则称f(x)为[a,b]上的凸函数。

若把（1）式的不等号反向，则称这样的f(x)为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是：过y?f(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

其推广形式是：若函数f(x)的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数x1,x2,?xn，都有 f??x1?x2???xn?f(x1)?f(x2)???f(xn). （2） ??nn??当且仅当x1?x2???xn时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点x1,x2，有pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),

?其中p,q?R,p?q?1，则称f(x)是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即

有pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),则称f(x)是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设q1,q2,?,qn?R?,q1?q2???qn?1，f(x)是[a,b]上的凸函数，则

对

任

意

x1,x2,?,xn?[a,b],有

f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn)，

当且仅当x1?x2???xn时等号成立。

若f(x)是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

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