第24章 圆 归纳总结

本章归纳总结

【知识与技能】

掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理，公式解决具体问题. 【过程与方法】

通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.

【情感态度】

在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.

【教学重点】

回顾本章知识点，构建知识体系. 【教学难点】

利用圆的相关知识定理解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑，加深理解

1.垂径定理及推论的应用

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

拓展：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.

特别注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.

2.三角形内切圆的半径r，周长l与面积S之间的关系 与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.

3.两圆相交作公共弦的问题

两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题，但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧. 三、典例精析，复习新知

例1如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径. 则下列结论中不正确的是（）

分析：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径.∴由垂径定理的推论及“三线合一”的性质即可判断.由题意易判断出D项结论不正确.

例2如图，在垂径定理的运用中，常涉及弦长a，弦心距d，半径r，以及弓形高h这四者之间的关系，它们的关系是_____.

分析：根据这两个公式，在a、d、h、r四个量中，知道任意两个即可求出其他两个.由题意易求得它们的关系为r2=(a/2)2+d2,r=d+h.

例3如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，

CD=2，BF=3.且△ABC的面积为6,则内切圆的半径r=_____.

分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积已知，因此，可转化为面积法来求，连接AO、BO、CO，则△ABC分为三部分，由面积可求出半径.

6=

111×(AF+BF)·r+×(BD+CD)·r+×(AE+EC)·r 222111×4r+×5r+×3r 222即：6=r=

2?6=1.

4?5?3引申：在上题中，若△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S,周长为l.则r?2s2s. ?a?b?cl例4相交两圆的公共弦长6，两圆半径分别为32和5，求两圆的圆心距. 分析：两圆相交作公共弦，运用圆的轴对称性知连心线O1O2垂直平分公共弦，构造直角三角形，同时要注意两圆心分布在公共弦的同侧或异侧这两种情况.

例5如图，已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G.

（1）∠BFG与∠BGF是否相等?为什么？

（2）求由DG、GE和ED所围成图形的面积（阴影部分）.

解：（1）∠BFG=∠BGF.连OD，∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.又∵∠C=90°,即GC⊥AC∴OD∥GC.∴∠BGF=∠ODF，又∵∠BFG=∠OFD,∴∠BFG=∠BGF.

例6如图⊙O的半径为1，过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，交y轴于点C.

（1）求线段AB的长.

（2）求以直线AC为图象的一次函数的解析式.

【教学说明】师生共同回顾本章主要知识点，教师适时给予评讲，阐明应用各知识点需要注意哪些问题.对于所述例题，可根据需要适当增减例题. 四、复习训练，巩固提高

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P，若AP∶PB=1∶4,CD=8,则AB=______.

第1题图第2题图

2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.

3.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为______.这样的滚珠最多能放______颗.

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2，O、H 分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转120°到△A1BC1的位置，则整

个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.

5.如图，已知直线AB：y=-1/2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，O1为y轴上的点，以O1为圆心，经过A、B两点作圆，⊙O1与x轴交于另一点C，AF切⊙O1于点A，直线BD∥AF交⊙O1于点D，交OA于点E.

（1）求⊙O1的半径； （2）求点E的坐标.

【教学说明】这部分安排了五个本章较典型的重点.题型是为了加强本章知

识的综合应用，前三小题可让学生自由讨论，后两小题可师生共同探讨得出结论.

【答案】1.102.50° 3.26

五、师生互动，课堂小结

本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆相关的证明方法？你还有哪些困惑与疑问？

【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.

1.布置作业:练习册P46-47

本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点前提下，又能抓住重点.

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