2014届高考数学总复习 第五章 平面向量配套单元测试（含解析）理 新人教A版

第五章 单元测试

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．与向量a＝(－5,12)方向相反的单位向量是 A．(5，－12) 13

C．(，－)

22答案 D

解析 与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.

512

B．(－，)

1313512D．(，－)

1313

( )

a－5，12512

也可用公式n＝－＝－＝(，－)求得． 22|a|1313－5＋12

2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为( ) A.C.π

32π 3

B.D.π 23π 4

答案 C

→

解析 如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记AB＝a，→

AD＝b，则a与b的夹角为

2π

，故选C. 3

→→→

3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于

→→A．2OA－OB 2→1→C.OA－OB 33答案 A

→→→→→→→→→→→

解析 OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，∴OC＝2OA－OB.故选A.

→→B．－OA＋2OB 1→2→D．－OA＋OB

33

( )

1

1＋2i4．已知复数z＝

3－4iA．0 C．－1 答案 A

1＋2i解析 z＝

3－4i故选A.

2

2

1

，则＋z等于

|z|

B．1 D．2

( )

4i－33＋4i－16－91＝＝＝－1，所以＋z＝1－1＝0.

2525|z|

5．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数i的“错位共轭”复数为

A．－31

－i 62

B．－33＋i 22

31－22

( )

C.

31＋i 62

D.

33＋i 22

答案 D

解析 方法一 由(z－i)(

3113133－i)＝1可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋22222231

－i22

i.

方法二 (z－i)(－i＝

313131

－i)＝1且|－i|＝1，所以z－i和－i是共轭复数，即z222222

3133

＋i，故z＝＋i. 2222

6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于 A．(2,1) 31C．(，) 22答案 A

解析 设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b??x＝2，?

?y＝1，?

??x＋1－y－2＝0，

可得?

??y＋1＝2x－1，

B．(1,0) D．(0，－1)

解得

因此c＝(2,1)．

π

，则|b|＝ 3

7．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝7，〈a，b〉＝A．2

B．3

( )

2

C.3 答案 A

D．4

π2222

解析 由|a＋b|＝7，可得|a＋b|＝a＋2a2b＋b＝1＋2313|b|cos＋|b|＝7，

3所以|b|＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．故选A.

→→→→→

8．若O为平面内任一点且(OB＋OC－2OA)2(AB－AC)＝0，则△ABC是( ) A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C

→→→→→→→→→

解析 由(OB＋OC－2OA)(AB－AC)＝0，得(AB＋AC)2(AB－AC)＝0. →2→2→→∴AB－AC＝0，即|AB|＝|AC|. ∴AB＝AC.

52

9．设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为

2A．(2,14) 2

C．(－2，－)

7答案 B

解析 方法一 (验证排除法) ∵b在x轴上的投影为2，

∴b的横坐标为2，排除C，D项；又|b|≤14，排除A项；故选B.

522a2b2

方法二 设向量b＝(2，y)，由题意得＝cosα＝＝.将a＝(4,3)，b＝(2，

|a||b||a|2

2B．(2，－)

7D．(3,6)

2

y)代入上式计算，得y＝－或y＝14.又|b|≤14，故y＝14不合题意，舍去．

22

则y＝－，即b＝(2，－)．

77故应选B.

7117

10．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是( )

2222

2

7

3

43A．(，－)

55

4343B．(，－)或(－，)

5555221C．(，－) 33

221221D．(，－)或(－，－)

3333答案 B

解析 方法一 |a|＝|b|，要使所求向量e与a、b夹角相等，只需a2e＝b2e. 714317435

∵(，)2(，－)＝(，－)2(，－)＝，排除C、D. 225522552714317435

又∵(，)2(－，)＝(，－)2(，)＝－.∴排除A.

225522552

→→

方法二 设a＝OA，b＝OB.由已知得|a|＝|b|，a⊥b，则与向量a，b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上，与a＋b共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与a＋b共线的单位向量为±

a＋b434343

＝±(，－)，即(，－)或(－，)． |a＋b|555555

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 1－3i11．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z的模等于________．

3＋i答案 1

1－3i－i－3i－i解析 z＝＝＝3＋i3＋i

2

i＋33＋i

＝－i，|z|＝|i|＝1.

→→→→→22

12．已知A，B，C是圆O：x＋y＝1上三点，OA＋OB＝OC，则AB2OA＝________. 3

答案 －

2

→→

解析 由题意知，OACB为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝3，∴AB2OA＝3313cos150°3＝－.

2

13．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a2b，则n＝________. 答案 3

解析 易知a＋b＝(3，n＋1)，a2b＝2＋n.∵|a＋b|＝a2b，∴3＋n＋122＝2＋

n，解得n＝3.

→→→→→→

14．已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA2OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC＝mOA

4

＋nOB(m，n∈R)，则＝________.

答案 3

解析 方法一 如图所示，

→

mn

→→→→∵OA2OB＝0，∴OB⊥OA.

→→→→→

不妨设|OC|＝2，过C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则四边形ODCE是矩形． →

OC＝OD＋DC＝OD＋OE.

→

∵|OC|＝2，∠COD＝30°， →→

∴|DC|＝1，|OD|＝3. →→

又∵|OB|＝3，|OA|＝1， →→→3→故OD＝3 OA，OE＝OB.

3

→→3→3∴OC＝3 OA＋OB，此时m＝3，n＝. 33∴＝→→→→

mn333

＝3.

→→

方法二 由OA2OB＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立→→→→→→

平面直角坐标系，则可知OA＝(1,0)，OB＝(0，3)，又由OC＝mOA＋nOB，可知OC＝(m，3

n)，故由tan30°＝

3n3m＝，可知＝3. m3n2

2

→→→→

15．已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝4交于A、B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．

答案 ±2

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i79t.html