圆锥曲线复习学案

十堰市一中2013级高二上数学（理）导学案 编写：程浩 审核：卢杰

圆锥曲线（一）

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2

例1 若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4则∠F1PF2等于( )

92A．30° B．60° C．120° D．150°

1

(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线x2－y2＝－的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P到x轴

2的距离为m，P到直线l：2x－y－4＝0的距离为n，则m＋n的最小值为________．

x2y23

(1)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交

ab2

点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) x2y2

A.＋＝1 82

x2y2

B.＋＝1 126

x2y2

C.＋＝1 164

x2y2

D.＋＝1 205

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A．y2＝9x C．y2＝3x

考点二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知离心率为e的双曲线和离心率为π

若∠F1PF2＝，则e等于( )

3

A.5 2

2

的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，2

5

B. 2

C.6

2

D．3

B．y2＝6x D．y2＝3x

x2y2a2

(2)设F1，F2分别是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂

abc线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.?0，?

2?3

B.?0，? 2?3??

C.?

2?

?2，1?

D.?

3?

?3，1?

x2y2

已知O为坐标原点，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线

ab

→→→

的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率e为( ) A．2 B．3 C.2 D.3

(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A.3 B．3 C.3m D．3m 考点三 直线与圆锥曲线

x2y2

例3 过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点

ab→6→

为C，已知AB＝BC.

13

1

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(1)求椭圆的离心率；

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

x2y22

已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，)，右焦点为F2.设A，B是C上的

ab2

1

两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．

2(1)求椭圆C的方程； →→(2)求F2P·F2Q的取值范围．

1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．

2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭

圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线．

c

3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c，计算e＝；(2)根据已知条件确定a，b，c的等量

ac

关系，然后把b用a，c代换，求.

a

2b2

4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过a椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c. 5．抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)． p22p

(1)y1y2＝－p，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)；

4sinα

2

p2112

(3)S△AOB＝； (4)＋为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

2sin α|FA||FB|p

2

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《圆锥曲线》练习案（一）

xy

1．已知椭圆＋2＝1(0

4b|AF2|的最大值为5，则b的值是( ) 3

A．1 B.2 C. D.3

2

x2y2y2x2x2y2

2．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)以及双曲线2－2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线2－2＝1

ababab的离心率为( ) 23A．2或

3C．2或3

B.6或

23 3

2

2

D.3或6 x2y2

3．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线

ab上，则双曲线的方程为( ) x2y2

A.－＝1 36108x2y2

C.－＝1 10836

x2y2

B.－＝1 927x2y2

D.－＝1 279

4. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )

3393639A. B. C. D. 48324

x2y2

5、椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且

ab

→→PF1·PF2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是( ) 11A．[，]

42C．(

2

，1) 2

12B．[，] 221

D．[，1)

2

6、已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________.

22xy

7、设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B

ab两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．

3

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难度提升

π

1．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆3和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 43A.

3C．3

23B. 3D．2

2．(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1A. 23C. 4

2

2

2B. 34D. 3

a2x2y2

3、已知圆x＋y＝上点E处的一条切线l过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支

16ab→1→→

交于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是_____________．

2

x2y2

4、设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．

ab1

(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；

2(2)若|AP|＝|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>3.

4

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圆锥曲线（二）

热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题

x2y2

例1 (2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点，

abC1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

13

已知椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点P(1，)．

22

(1)求椭圆C的标准方程；

→→

(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且PF2＝λF2Q，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．

热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题

例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．

5

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1

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83

2

y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

热点三 圆锥曲线中的探索性问题

例3 已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x y (1)求C1，C2的标准方程；

→→

(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．

(1)求抛物线C的方程及准线l的方程．

(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．

3 －23 －2 0 4 －4 2 2 2 6

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《圆锥曲线》练习案（二）

xy

1．已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为( )

169A．x2－y2＋26x＋25＝0 B．x2＋y2＋16x＋81＝0 C．x2＋y2＋26x＋25＝0 D．x2＋y2＋16x－81＝0

2．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( ) A.C.5 32 3

2

2

2

2B. 31D. 3

y2x2453．已知抛物线y＝8x的焦点F到双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2

ab5＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) y2x2

A.－＝1 23y22

C.－x＝1 4

x2

B．y－＝1

4

2

y2x2

D.－＝1 32

4、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) C．(2，＋∞)

B．[0,2] D．[2，＋∞)

x2y2

5、直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．

5m

6、在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点________．

x2y237、已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ＝.以双曲

ab2线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E. (1)求椭圆E的方程；

1

(2)设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为－，4问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．

7

十堰市一中2013级高二上数学（理）导学案 编写：程浩 审核：卢杰

难度提升 1、(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

x2y22

2、已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C

ab2于E、G两点，且△EGF2的周长为42. (1)求椭圆C的方程；

→→→

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB＝tOP(O为坐标→→25原点)，当|PA－PB|<时，求实数t的取值范围．

3

8

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