高中数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

nan?1an3an?1an3an，则，故数列????{}是

2n?12n22n?12n22nan3a23以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，?1?(n?1)??1n12222231所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。

22解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得

n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为

an?1an3??，说明数列2n?12n2ana3是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{n}?1?(n?1)nn222n{an}的通项公式。

二、累加法

，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

2

，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1n 1

解：由

an?1?an?2?n?3得

1an?1?an?2?3n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1，进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

nnn

，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1n?1解：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得

nnan?1an21?n??n?1， n?13333则

an?1an21?n??n?1，故 n?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?332313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333

1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3?1转化为

an?1an21，???3n?13n33n?1 2

进而求出(anan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?an?，即得数列?)?(?)?(?)???(?)??n?3n3n?13n?13n?23n?23n?332313?3?的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法

例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则

nan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1?5n(n?1)2?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.

n评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为

an?1?2(n?1)5n，进而求an出

anan?1aa????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)

②

①

3

故

an?1?n?1(n?2) ananan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22所以an? ③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知

a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2an?1?n?1(n?2)，an评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为

进而求出

anan?1a????3?a2，从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的an?1an?2a2通项公式。 四、待定系数法

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。

n解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

④

nn?1n?2an?2x?5，等式两边消去

将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5nnn2an，得3?5n?x?5n?1?2,x??1,，两边除以5，得3?5x?2x则代入④式得x?5an?1?5n?1?2(an?5n)

⑤

an?1?5n?1n?2{a?5}是以由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列nnan?51na1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5nnnn?1?2(an?5n)，

从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列

4

{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1n?y?3(an?x?2n?y)

⑥

将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得

n3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。

nn

令??5?2x?3x?x?5，则?，代入⑥式得

?4?y?3y?y?2

⑦

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)

1由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式，

an?1?5?2n?1?2?3， 得an?5?2?2?0，则

an?5?2n?2n故数列{an?5?2?2}是以a1?5?2?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2?2?13?3nn?1n1，则an?13?3n?1?5?2n?2。

n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求

出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得

5

2222n

2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z

等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，

22?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨

由a1?3?1?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n?10n?18?0

22an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2，故数列{an?3n2?10n?18}为以则2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n?4n?5转化为

2an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列

2{an?3n2?10n?18}是等比数列，进而求出数列{an?3n?10n?18}的通项公式，最后再

求出数列{an}的通项公式。 五、对数变换法

例10 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)

⑩ 11 ○

n5n5n5 6

?lg?2xn(?将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?1)y?5(lgan?xn?y，两边消去

5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

lg3?x???lg3?x?5x?4，故? ?x?y?lg2?5ylg3lg2??y???164?代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg212 (n?1)???5(lgan?n??) ○

41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg212式， ?1???lg7??1???0及○

41644164lg3lg3lg2n???0， 4164lgan?1?则

lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等n??}是以lg7???41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1比数列，则lgan?n???(lg7???)5，因此

41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614

?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14则an?75?35n?4n?116?25n?1?14。

n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为

7

lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项

41644164lgan?1?公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 六、迭代法

例11 已知数列{an}满足an?1?an解：因为an?1?an3(n?1)?n?2?an?223(n?1)2n，a1?5，求数列{an}的通项公式。

3(n?1)?23n?2?[an] ?2n?2n?13(n?1)2n，所以an?an?13n?2n?1(n?2)?(n?1)3(n?2)?2?[an]3?33n?32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2?an?3???a13?an?1

?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1n(n?1)?n!?22。

3(n?1)2n评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即

nlgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。

七、数学归纳法

例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?8(n?1)8及，得 a?122(2n?1)(2n?3)9 8

8(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348a3?a2????

(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18?，所以等式成立。 （1）当n?1时，a1?(2?1?1)29(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时， 2(2k?1)ak?1?ak?8(k?1) 22(2k?1)(2k?3)(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222

(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

* 9

例13 已知数列{an}满足an?1?1求数列{an}的通项公式。 (1?4an?1?24an)，a1?1，

1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?故an?1?121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 241624即4bn?1?(bn?3)

因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?2213bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以列，因此bn?3?2()12n?1111?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得 2222111an?()n?()n?。

3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化

13从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，bn?1?bn?形式，

22最后再求出数列{an}的通项公式。 九、不动点法

例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?的24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?4x?14x?1两个不动点。因为

10

21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2。所以数列????21a?24an?1?39an?3n?321an?24?3(4an?1)9an?274an?1?an?2?a?2a1?24?21313??2为首项，以为公比的等比数列，故n?2()n?1，??是以

9a1?34?3an?39?an?3?则an?1132()n?1?19?3。

评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?个根x1?2，x2?3，进而可推出

21x?2421x?24的不动点，即方程x?的两

4x?14x?1?a?2?an?1?213an?2??，从而可知数列?n?为等比数

an?1?39an?3?an?3?列，再求出数列??an?2??的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 a?3?n?例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

2an?3解：令x?7x?23x?12，得2x?4x?2?0，则x?1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5?1?n，所以

2an?32an?3因为an?1?1?2111an?()n?()n?。

3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化

13从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，bn?1?bn?形式，

22最后再求出数列{an}的通项公式。 九、不动点法

例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1 11

解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?的24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?4x?14x?1两个不动点。因为

21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2。所以数列????an?1?321an?24?321an?24?3(4an?1)9an?279an?34an?1?an?2?an?2a1?24?213n?113是以为首项，以为公比的等比数列，故??2?2()，??9a1?34?3an?39?an?3?则an?1132()n?1?19?3。

评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?个根x1?2，x2?3，进而可推出

21x?2421x?24的不动点，即方程x?的两

4x?14x?1?a?2?an?1?213an?2??，从而可知数列?n?为等比数

a?3an?1?39an?3?n?列，再求出数列??an?2??的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。

?an?3?例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

2an?3解：令x?7x?23x?12，得2x?4x?2?0，则x?1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5?1?n，所以

2an?32an?3因为an?1?1?

12

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