专题18 三角函数的最值的求解策略-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

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1

【高考地位】

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一 配方法 使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子

解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式 函数；

第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.

第三步 得出结论.

例1 函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为 ． 【答案】

【解析】

试题分析

：

，；故填．学科网 考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．

【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令t sin x =，将其转化为关于t 的二次函数求最值问题.

【变式演练1】已知函数52sin cos 2

2++-+=a a x a x y 有最大值2，求实数a 的值． 【答案】43a =-321+ 【解析】 试题分析：22

sin sin 26y x a x a a =-+-++，令[]sin ,1,1x t t =∈-，

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2 则2226y t at a a =-+-++，对称轴为2

a t =，

考点：三角函数的最值． 【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x 的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a 的值．

【变式演练2】求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.

【答案】10与6.

【解析】

试题分析：将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含sin 2x 的式子，利用换元法，令sin 2x μ=，根据二次函数的性质求最值.

试题解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()

2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+272sin 2sin 2x x =-+()2

1sin 26x =-+

令sin 2,[1,1]x μμ=∈-， 由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为()2

max 11610z =--+= 最小值为()2min 1166z =-+=

故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6.

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3 考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.

方法二 化一法

使用情景：函数表达式形如22()sin cos sin cos f x a x b x c x x d =+++类型

解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如sin cos y a x b x c =++形

式；

第二步 利用辅助角公式22sin cos )a x b x a b x ?+=++化为只含有一个函数名的形式；

第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.

例 2 已知函数()322sin cos 44f x x x x ππ????=+++ ? ?????，则()f x 在02x π??∈???

?，上的最大值与最小值之差为 ．

【答案】3

【解析】

考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．

【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，

()32sin 232cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ??=++=+=+ ???，进而利用02x π??∈????，的范围得到72,666x πππ??+∈????，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法．学科网 【变式演练3】设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________． 【答案

】5-

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4 【解析】 试题分析：()()2sin cos 5sin f x x x x φ=--,其中255cos ,sin φφ==，故当函数()f x 取得最大值时，52,,cos cos 2sin 225k k Z k ππθφπθφπφ??-=+∈∴=++=-=- ???

考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域 【变式演练4】已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x π

ωωω=-+> 的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；

(2)求()f x 在[8

π，38π]上的最大值和最小值． 【答案】(1) (),63k k k Z ππππ??-++∈????

； (2) 最大值262-

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5 (2)当3,88x ππ??∈????时，72,61212x πππ????-∈ ???????(

)2sin 226f x x π???=-∈? ?????

,所以()f x 在3,88ππ??????上的最大值和最小值分别为2、622学科网 考点：1、三角函数的恒等变换；

2、函数()sin y A x ω?=+的性质；

【变式演练5】已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π

=，且当x θ=时，函数

()sin ()

g x x f x =+取得最大值，则cos θ= ． 【答案】

55 【解析】

考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．

【变式演练6】已知1)4(cos 2)sin (cos 3)(222++--=

πx x x x f 的定义域为[2,0π].

(1)求)(x f 的最小值.

(2)ABC ?中, 45=A ,23=b ,边a 的长为函数)(33x f -的最大值,求角B 大小及ABC ?的面积.

【答案】(1)函数)(x f 的最小值3-

(2) ABC ?的面积9(31)S =.

【解析】

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6 考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.

【变式演练7】已知函数233()cos()cos()32f x x x x ππ=+-. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值；

（II ）求()f x 在2[,]63

ππ上的单调递增区间． 【答案】（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（II ）5[

,]612

ππ． 【解析】 试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简()sin(2)3f x x π=-，即可求解()f x 的最小正周期和最大值；（II ）由()f x 递增时，求得51212k x k π

πππ-≤≤+()k Z ∈，即可得到()f x 在5[,]612

ππ上递增．

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7

考点：三角函数的图象与性质．

方法三 直线斜率法

使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子

解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式 函数；

第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.

第三步 得出结论.

例3 求函数2sin 2cos x y x

-=-的最值. 【答案】2sin 2cos x y x -=-47+47- 【解析】设(2,2),(cosx,sinx),A P 则2sin 2cos PA x k x -=

-，即PA k 为过点,A P 两点的斜率. 所以要求函数2sin 2cos x y x

-=-的最大值，只要求直线PA 的斜率PA k 的最大值即可. 因为22cos x sin x 1+=，所以(cosx,sinx)P 在单位圆上.因为直线PA 的方程为：(2)2PA y k x =--，所以直线PA 与单位圆相切时，斜率PA k 取得最值.

1=，

解得PA k =，所以2sin 2cos x y x -=-的

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8

最大值为43+

43

学科网 【变式演练8】求函数21sin 1sin x y x

--=-在区间[0,)2π上的最小值. 【答案】2sin 2cos x y x -=-的最大值为473+473

-.

【点评】若函数表达式可化为形如12

a t y

b t -=-（其中1t ，2t 为含有三角函数的式子），则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.

【高考再现】

1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x π

π

ω?ω?=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π

=为

()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ?? ???

，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5

【答案】

B

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9 考点：三角函数的性质

【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ω?ω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ω?ω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.

2. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π

向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A.12t =，s 的最小值为6πB.3t = ，s 的最小值为6π C.12t =

，s 的最小值为3πD.3t =，s 的最小值为3π 【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=?

-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126

πππ=个单位，故选A.

考点：三角函数图象平移

【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换

3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ .

【答案】

8. 考点：三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，

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10 斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识。学科网

4. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）

在?ABC 中，2222+=a c b ac .

（1）求B ∠ 的大小；

（22cos cos A C + 的最大值.

【答案】（1）

4

π；（2）1. 【解析】

考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.

【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．

5.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin(

)6y x k π?=++，

据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

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11

【答案】C

【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．学科网

【考点定位】三角函数的图象与性质．

【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x π???+=- ???时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x π???+= ???

时，y 取得最大值． 6.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当23

x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-

（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-

【答案】

A

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12 【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.

【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函

数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出?，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.

7.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 【答案】32

,2π

【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222

x f x x x x x x x -=++=++=-+ 23)42x π=-+，所以22T ππ==；min 32()2f x =. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.

8.【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2π??<<

个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12

min 3x x π-=，则?=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6

π 【答案】

D.

【考点定位】三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 )sin()(?ω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三

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13 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.

9.【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，???，m x 满足1206m x x x π≤<

且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值

为 ．

【答案】8

【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，

因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=的m 最小， 须取123456783579110,,,,,,,6,222222

x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质

【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.

10.【2015高考北京，理15】已知函数2()2cos 2222

x x x f x ． (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．

【答案】（1）2π，（2）21--

考点定位： 本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公

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14 式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等．

【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的sin()y A x ω?=+形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值. 学科网

【反馈练习】

1. 【2017届山东德州宁津县一中高三上月考二数学试卷，文

13】函数()()()c o s 22s i n s i n f x x

x ???=+++的最大值为____________． 【答案】1

【解析】

试题分析：()()()cos 22sin sin f x x x ???=+++()()cos cos sin sin x x φφφφ=+-+

()()()()2sin sin cos cos sin sin cos cos x x x x x φφφφφφφφ++=+++=+-=,故函数()x f 的最大值为1．应填1．

考点：1．两角和与差的余弦公式；2．三角函数的值域．

2. 【2017届浙江温州中学高三10月高考模拟数学试卷，理14】已知向量1(sin cos 1),(1,2cos ),,(0,).52

a b a b παααα=+=-?=∈ ，则sin α= 、αcos = ，设函数∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR ）

，)(x f 取得最大值时的x 的值是 . 【答案】

43,55，,8k k ππ+∈Z 【解析】

考点：向量的数量积公式及三角变换公式等知识的综合运用.

3．【 2017届湖北黄冈市高三9月质检数学试卷，理7】函数()sin()(0)f x A x A ?=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）

A ．()3f x π+是奇函数

B ．()3

f x π

+是偶函数

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15

C ．()3f x π-是奇函数

D ．()3f x π

-是偶函数 【答案】B

【解析】

考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性.

4．【 2017届湖南衡阳八中高三10月月考数学试卷，理9】已知函数()()sin (,,f x A x A ωκω?=+均为正的常数）的最小正周期为π，当23

x π=

时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-<

B ．()()()022f f f <<-

C ．()()()202f f f -<<

D ．()()()202f f f <<-

【答案】A

【解析】 试题分析：)(x f 最小正周期为π,所以2=ω．因为当23

x π=

时，函数()f x 取得最小值，所以232322ππ?π+=+?k ,可得62ππ?+=k ,令6π?=,所以)(x f )62sin(π+=x A ,)(x f 在)3

2,6(ππ上单调递减．)2()2(,21)0(-=-=πf f A f ,)0(2

165sin )632sin()3(f A A A f ===+=ππππ． 又32212523ππππ<<<-< ,)2()2()3(f f f <-<∴ππ,所以()()()220f f f <-<．故选A ．学科网 考点：求三角函数的解析式．

5．【 2017届河北武邑中学高三上调考三数学试卷，文8】已知函数()sin cos f x x a x =-图象的一条对称轴为34

x π=,记函数()f x 的两个极值点分别为12,x x ，则12x x +的最小值为（ ）

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16

A ．34π

B ．2π

C ．4

π D ．0 【答案】B

【解析】 试题分析：对称轴为12min 33,||||4442

x k k Z x x πππππ=+∈?+=-+=,故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．

6．【 2017届湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学试卷，理17】已知向量cos ,12x m ??=- ???

，23sin ,cos 22x x n ?=?? ，函数()1f x m n =?+ （Ⅰ）若,2x ππ??∈????

，求()x f 的最小值及对应的x 的值； （Ⅱ）若??????∈2,

0πx ，()1011=x f ，求sin x 的值. 【答案】（Ⅰ）π=x 时，()1min =x f ；（Ⅱ）

33410

． 【解析】

（Ⅱ）()1011=x f ，即1011216sin =+??? ??-πx ，得536sin =??? ?

?-πx

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17 20π

≤≤x ， 366π

π

π

≤-≤-∴x ，5

46cos =??? ??

-∴πx 31sin sin sin cos 66662x x x x ππππ??????=-+=-+-? ? ? ??????

? 3341334525210

=?+?=。学科网 考点：1、倍角公式；2、两角和与差的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．

7．【 2017届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，理18】某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A x π

ω?ω?=+><在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求()f x 的解析式；

（2）将函数()f x 的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的12

倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图象.试求()g x 在区间5[,

]2

ππ上的最值. 【答案】（1）1()4sin()36f x x π=-；（2）max ()2g x =，min ()1g x =. 【解析】

试题解析：（1）∵4A =，22π?ωπ=

+?，π?ωπ2213=+，联立解得31=ω，6π?-=， 令0631=-πx ，π，23π得πππ5,2

7,2=x ∴1()4sin()36

f x x π=-.

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18 （2）1()2sin()36g x x π=-

. ∵52x ππ≤≤，126363

x πππ≤-≤， 11sin()1236x π≤-≤，112sin()236

x π≤-≤， ∴max ()2g x =，min ()1g x =.

考点：（1）五点法作函数()?ω+=x A y sin 的图象；（2）函数()?ω+=x A y sin 的图象变换.

8．【 2017届河南息县一高中高三上月考一数学试卷，理18】设函数23()3sin cos f x x x x ωωω=-（0ω>），且()y f x =图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为

4π． （1）求ω的值；

（2）求()f x 在区间3,2ππ?

?????

上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的x 的值． 【答案】（1）1ω=；（2）最大值和最小值分别为

32，1-，相应x 值分别为x π=和1712x π=. 【解析】

试题解析：

（1）

23()3sin cos f x x x x ωωω=-31cos 213sin 222x x ωω-=-312sin 22x x ωω=-sin(2)3

x πω=--． ∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π

，又0ω>，所以2424

ππω=?，因此1ω=． （2）由（1）知()s i n (2)3f x x π

=--．当32x ππ<<时，582333x πππ≤-≤，

∴s i n (2)122

x π-≤-≤，

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19

因此1()f x -≤≤()f x 在区间3,2ππ??????

1-． 当5233x π

π-=，即x π=时，()f x 3当5232x ππ-=，即1712x π=时，()f x 取最小值为1-． 考点：三角函数的性质．

9．【 2017届河南天一大联考高三上段测二数学试卷，文19】已知函数23()2cos f x x x m =

--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若53,244x ππ??∈???

?时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值． 【答案】（1）T π=；（2）12m =

. 【解析】

试题解析：（1）23()2cos 2f x x x m =--31cos 2222

x x m +=--1sin(2)62x m π=---， 则函数()f x 的最小正周期T π=， 根据222262k x k π

π

π

ππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k π

π

ππ-+≤≤+，k Z ∈，

所以函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ??-++????

，k Z ∈．学科网 （2）因为53,244x ππ??∈?

???，所以42,643x πππ??-∈????， 则当262x π

π-=，3

x π=时，函数取得最大值0， 即1102m --=，解得12

m =．

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20 考点：1、三角函数值的周期性及单调性；2、三角函数在闭区间上的最值.

10．【 2017届河南天一大联考高三理上段测二数学试卷，理18】已知函数23()2cos f x x x m =

--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；

（2）若53,244x ππ??∈???

?时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值． 【答案】（1）T π=；（2）12m =

. 【解析】

试题解析：（1）23()2cos 2f x x x m =--31cos 2222

x x m +=--1sin(2)62x m π=---， 则函数()f x 的最小正周期T π=， 根据222262k x k π

π

π

ππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k π

π

ππ-+≤≤+，k Z ∈，

所以函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ??-++????

，k Z ∈． （2）因为53,244x ππ??∈?

???，所以42,643x πππ??-∈????， 则当262x π

π-=，3

x π=时，函数取得最大值0， 即1102m --=，解得12m =． 考点：1、三角函数值的周期性及单调性；2、三角函数在闭区间上的最值.

11．【 2017届广西河池课改联盟高三上联考二试数学试卷，文18】已知函数(

)()2cos 2cos 1f x x x x x R =+-∈．

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21 （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??????

上的最大值和最小值； （2）若()006,,542f x x ππ??=∈????

，求0cos 2x 的值． 【答案】（1）,2,1π-；（2）

10343-. 【解析】

试题解析：（1）由()223sinxcosx 2cos 1f x x =+-，得

())()232sin cos 2cos 132x cos 2x 2sin 26f x x x x x π??=+-=+=+ ??

?， 所以函数()f x 的最小正周期为π 因为0,2x π??∈????，所以712,,sin 2,166662x x ππππ??????+∈+∈- ???????????， 所以函数()2sin 26f x x π?

?

=+ ???在区间0,

2π??????上的最大值为2，则最小值为-1 （2）解：由（1）可知()002sin 26f x x π?

?=+ ???

， 又因为()065f x =，所以03sin 265x π??+= ??

?， 由0,42x ππ??∈????，得0272,636x πππ??+∈????，

从而04cos 265x π?

?+==- ???，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i6se.html