(文科)2010年全国(I)数学高考题(word可编辑版)

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（文科）2010年全国（I）数学高考题

数学（文）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2⑴ 集合P {x Z0 x 3},M {x Zx 9}，则PIM=

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}

⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是

（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i

⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是

（A）4321 (B) （C） (D) 5555

⑷若a,b是非零向量，且a b，a b，则函数f(x) (xa b) (xb a)是

（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数

（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数

（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的

正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体

的俯视图为：

(6)给定函数①y x，②y log1(x 1)，③y |x 1|，④y 2

212x 1，期中在区间（0，

1）上单调递减的函数序号是

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

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（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，

顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

（A）2sin 2cos 2； （B

）sin 3

（C

）3sin 1 （D）2sin cos 1

（8）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，

动点E、F在棱A1B1上。点Q是CD的中点，动点

P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y(x,y大于零)，

则三棱锥P-EFQ的体积：

（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；

（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；

第Ⅱ卷（共110分）

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

（9）已知函数y {log2x,x 2,2 x,x 2.右图表示的是给

定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，

①处应填写 ；②处应填写 。

（10）在 ABC中。若b

1，c c 2 ，则 3

（11）若点p（m，3）到直线4x 3y 1 0的距离为4，且点p在不等式2x y＜3表示的平面区域内，则m= 。

（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高

（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a= 。若要从身高在

[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的

学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动

，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数

应为 。

x2y2x2y2

1的焦点相同，（13）已知双曲线2 2 1的离心率为2，焦点与椭圆259ab

那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

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（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。

设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是

y f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；

y f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴

所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。

三、 解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数f(x) 2cos2x sin2x （Ⅰ）求f()的值；

3

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值

（16）（本小题共13分）

已知|an|为等差数列，且a3 6，a6 0。

（Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1 8，b2 a1 a2 a3，求|bn|的前n项和公式

（17）（本小题共13分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

(18) （本小题共14分）

设定函数f(x)

1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线y f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

（Ⅱ）若f(x)在( , )无极值点，求a的取值范围。

（19）（本小题共14分）

已知椭圆C的左、

右焦点坐标分别是(

，

a3'x bx2 cx d(a 0)，且方程f(x) 9x 0的两个根分别为3直线

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椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当

（20）（本小题共13分）

已知集合变化时，求y的最大值。 Sn {XX| x1x(…,xn,x 2，1)i ,对,于1,2,…{n0n ,1},A (a1,a2,…an,)，B (b1,b2,…bn,) Sn，定义A与B的差为

A B (|a1 b1|,|a2 b2|,…|an bn|);

A与B之间的距离为d(A,B) i 1|a1 b1|

（Ⅰ）当n=5时，设A (0,1,0,0,1),B (1,1,1,0,0)，求A B，d(A,B)； （Ⅱ）证明： A,B,C Sn,有A B Sn，且d(A C,B C) d(A,B);

(Ⅲ) 证明： A,B,C Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ A

⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ C

二、提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

⑼ x 2 y log2x ⑽ 1

⑾ -3 ⑿ 0.030 3

⒀ (

4,0) y 0 ⒁ 4 1

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

⒂（共13分）

解：（Ⅰ）f() 2cos

32 31 sin2= 1 3344

（Ⅱ）f(x) 2(2cos2x 1) (1 cos2x)

3cos2x 1,x R

因为cosx 1,1 ,所以，当cosx 1时f(x)取最大值2；当cosx 0时，f(x)去最小值-1。

⒃（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。

因为a3 6,a6 0

所以 a1 2d 6 解得a1 10,d 2 a 5d 0 1

所以an 10 (n 1) 2 2n 12

（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q

因为b2 a1 a2 a3 24,b 8

所以 8q 24 即q=3

b1(1 qn)所以{bn}的前n项和公式为Sn 4(1 3n) 1 q

⒄（共13分）

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证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=

所以四边形AGEF为平行四边形

所以AF∥EG

因为EG 平面BDE,AF 平面BDE,

所以AF∥平面

BDE 1AG=1 2

（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

(18)(共14分) 解：由f(x) a3x bx2 cx d 得 f (x) ax2 2bx c 3

因为f (x) 9x ax2 2bx c 9x 0的两个根分别为1,4，所以

（*）

（Ⅰ）当a 3时，又由（*）式得

解得b 3,c 12

又因为曲线y f(x)过原点，所以d 0

故f(x) x 3x 12x

（Ⅱ）由于a>0,所以“f(x)

232 a 2b c 9 0 16a 8b c 36 0 2b c 6 0 8b c 12 0a3x bx2 cx d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于3“f (x) ax 2bx c 0在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得2b 9 5a,c 4a。

又 (2b) 4ac 9(a 1)(a 9) 2

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解 a 0 得a 1,9

9(a 1)(a 9) 0

即a的取值范围 1,9

（19）（共14分）

解：

（Ⅰ）因为c，且c

a b 1

ax2

y2 1 所以椭圆C的方程为3

（Ⅱ）由题意知p(0,t)( 1 t 1) y t x 由 x2

得2 y 1 3

所以圆P

解得t 所以点P的坐标是（0

， 22

222（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x (y t) 3(1 t)。因为点Q(x,y)在圆P

上。所以

y t t设t cos ,

(0, )，则t cos 2sin(

当 6)

3，即t 1，且x 0，y取最大值2. 2

(20)(共13分) （Ⅰ）解：A B (0 1, ,0 ,0 0, =（1,0,1,0,1） d(A,B) 0 0 0 0 0=3

(Ⅱ)证明：设A (a1,a2, ,an),B (b1,b2, ,bn),C (c1,c2, ,cn) Sn

因为a1,b1 {0,1}，所以a1 b1 {0,1}(i 1,2, ,n) 从而A B (a1 b1,a2 b2, an bn) Sn

由题意知ai,bi,ci {0,1}(i 1,2, ,n)

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当ci 0时，ai ci bi ci ai bi

当ci 1时，ai ci bi ci (1 ai) (1 bi) ai bi 所以d(A C,B C) a bi

i 1ni d(A,B)

(Ⅲ)证明：设A (a1,a2, ,an),B (b1,b2, ,bn),C (c1,c2, ,cn) Sn d(A,B) k,d(A,C) l,d(B,C) h

记0 (0,0, 0) Sn由（Ⅱ）可知

d(A,B) d(A A,B A) d(0,B A) k

d(A,C) d(A A,C A) d(0,C A) l d(B,C) d(B A,C A) h

所以bi ai(i 1,2, ,n)中1的个数为k,ci ai(i 1,2, ,n)中1的个数为l 设t是使bi ai ci ai 1成立的i的个数。则h l k 2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数

即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

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