2016秋季数学集训队国庆专题训练4A(参考答案)

2016秋季数学集训四队国庆专题训练A参考答案

一．计算题。

125×55×7×16×5 3＋33＋333＋3333＋33333＋333333

＝125×5×11×7×2×8×5 ＝(9＋99＋999＋9999＋99999＋999999)÷3

＝(125×8)×(5×2)×35×11 ＝(10＋100＋1000＋10000＋100000＋1000000－1×6)÷3 ＝3850000 ＝1111104÷3

＝370368

54×378×54÷126 333×332333－332×333332

＝(54×54)×(378÷126) ＝333×(332332＋1)－332×(333333－1) ＝2916×3 ＝333×332332＋333－332×333333＋332

＝8748 ＝333×332×1001＋333－332×333×1001＋332

＝665

99999×77778＋33333×66666 99999×7＋11111×36 ＝99999×77778＋99999×22222 ＝11111×63＋11111×36 ＝99999×(77778＋22222) ＝11111×(63＋36) ＝99999×100000 ＝11111×(100－1) ＝9999900000 ＝1111100－11111

＝1099989

356×68＋829×32＋473×18 490×48＋49×550－147×10 ＝356×68＋(356＋473)×32＋473×18 ＝490×48＋490×55－490×3 ＝356×68＋356×32＋473×32＋473×18 ＝490×(48＋55－3) ＝356×(68＋32)＋473×(32＋18) ＝490×100 ＝35600＋23650 ＝49000 ＝59250

3333×5555＋6×4444×2222 54321×99＋54321×999－98×54321 ＝3×5×1111×1111＋6×4×2×1111×1111 ＝54321×(99＋999－98) ＝1111×1111×(15＋48) ＝54321×1000 ＝7777×9999 ＝54321000 ＝77770000－7777 ＝77762223

222×17＋333×4＋666×9 77×27＋55×14＋7×62×11 ＝111×(34＋12＋54) ＝77×27＋5×11×7×2＋77×62 ＝111×100 ＝77×(27＋10＋62) ＝11100 ＝77×99

＝7700－77 ＝7623

1

3861÷39×97713÷987＋98＋1 332333×123124－332332×123123

＝(3900－39)÷39×(98700－987)÷987＋99 ＝332333×(123123＋1)－(332333－1)×123123 ＝(100－1)×(100－1)＋99 ＝332333×123123＋332333－332333×123123 ＝99×(99＋1) ＋123123 ＝9900 ＝455456

5014×5016－5013×5017 1－2＋3－4＋5－6＋……－2000＋2001 ＝(5015－1)×(5015＋1)－(5015－2)×(5015＋2) ＝(2001－2000)＋(1999－1998)＋…＋ ＝50152－1－50152＋22 (3－2)＋1 ＝3 ＝2000÷2×1＋1

＝1001

(1×2×3×……×9×10×11)÷(22×24×25×27)

＝1×(2×11)×(3×9)×(4×6)×(5×10)×7×8÷22÷24÷25÷27 ＝1×7×8×2 ＝112

606－603＋600－597＋594－591＋……＋138－135

＝(606－603)＋(600－597)＋(594－591)＋……＋(138－135) ＝3×[(606－135)÷3＋1]÷2 ＝237

2＋4－6＋8＋10－12＋14＋16－18＋……＋2006＋2008－2010

＝(2＋4－6)＋(8＋10－12)＋(14＋16－18)＋……＋(2006＋2008－2010) ＝0＋6＋12＋……＋2004

＝(0＋2004)×[(2004－0)÷6＋1]÷2 ＝335670

3000＋3999－3998－3997＋3996＋3995－3994－3993＋……＋303－302－301

＝3000＋(3999－3998－3997＋3996)＋(3995－3994－3993＋3992)＋…＋(307－306－305＋ 304)＋(303－302－301) ＝3000＋0＋0＋……＋0－300 ＝2700

(142857＋428571＋285714＋857142＋571428＋714285)÷9 ＝(111111＋222222＋444444＋555555＋777777＋888888)÷9 ＝111111×(1＋2＋4＋5＋7＋8)÷9 ＝111111×27÷9 ＝333333

1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷…÷(2014÷2015)÷(2015÷2016) ＝1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷…÷2014×2015÷2015×2016 ＝1×2016÷2 ＝1008

100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1

＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050

2

472634×472634＋472635×472635－472633×472635－472634×472636 ＝472634×472634－472633×472635＋472635×472635－472634×472636

＝4726342－(472634－1)×(472634＋1)＋4726352－(472635－1)×(472635＋1) ＝4726342－(4726342－12)＋4726352－(4726352－12) ＝1＋1 ＝2

9＋99＋999＋……＋999?99?333?333?333144424443 333144424443×333144424443＋333144424443

100个933个333个333个3＝10＋100＋1000＋10000＋…＋1000????????????144424443－100 ＝999144424443×1111442443＋333144424443

100个033个933个133个3＝???????????????1442443010 ＝1111442443×(1000144424443－1)＋333144424443

98个133个133个033个3＝111???000?????????1442443144424443－1111442443＋333144424443

33个133个033个133个3＝111???222???1442443144424443

33个133个2

二．智巧趣题。

1.在天平的一端放砝码，另一端放物体。若要称出1～125克之间所有整数物体的重量，最少应该准备多少个不同的砝码？ 解：因为只在天平的一端放砝码，所以应该根据“二分法”的原理，采用1、2、4、8、16、……这个等比数列。又因为1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＞125，所以需使用1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克的砝码各一个，共7个砝码，可使准备的砝码个数最少。 答：最少应该准备7个砝码。

2.现有8节链子，每节上有6个环。每打开一个环要八分钱，每封上一个环要一角二分钱。现要把这8节链子连接成一根不封闭的长链子，最少得需要多少钱？

解：8条链子排成一排，中间7个间隔，若将其中一条全拆散，则剩7条，共6个间隔，而拆散的那条恰好有6个环，可将7节连成一条长链。

所以最少需要(8＋12)×6＝120(分)＝1元2角。 答：最少得需要1元2角钱。

3.甲桶装油12千克，另外有乙、丙两个空桶，分别能装油7千克、5千克。请你设计一下，如何把甲桶的油平均分成每份6千克的两份？(写出简要的分析过程) 解：

7－1＝6 5＋1＝6 6 13－7＝6 11－5＝6

由上图推知，本题的核心是找“1”。

5×3－7×2＝1，7×3－5×4＝1。可知方法不唯一。列举一种，具体的操作，如下表。 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 甲(装油12千克) 7 7 2 2 9 9 4 4 11 11 6 6 乙(可装油7千克) 0 5 5 7 0 3 3 7 0 1 1 6 丙(可装油5千克) 5 0 5 3 3 0 5 1 1 0 5 0 答：按上述方法，都可把甲桶的油平均分成每份6千克的两份。

3

4.一农民，在集市买了一头牛花了1200元，转手以1380元卖给了别人，随后又以1400元买回了这头牛。过了不久，这个农民又以1380元把这头牛卖了，最后他又以1200元买回这头牛。问：这个农民买这头牛实际花了多少钱？ 解：总付出－总收入＝实际成本

(1200＋1400＋1200)－(1380＋1380)＝1040(元) 答：这个农民买这头牛实际花了1040元。

5.有8个大小完全一样的球，其中有一个重量较轻的次品。用一架没有砝码的天平，至少称多少次才可以保证找到这个次品球？

解：根据题意，把找次品球的过程用树形图表示如下： 平 衡： 没称那个(2次)

不平衡： 轻3(1，1，1)

8(3，3，2) 不平衡： 轻的那个(2次)

平 衡： ，1) 轻的那个(2次) 2(1

答：至少称2次才可以保证找到这个次品球。

说明：实际上，因为31＜8≤32，所以至少需要称2次。

6.有11颗外形完全相同的珠子，其中10颗为珍珠，另1颗为假珠，且已知假珠与真珠的重量稍有不同。如果手头仅有一架无砝码的天平，那么至少需要称几次，才能确保找出假珠？(列出解决方案)

解：∵ 32＜11≤33，且不知道假珠是轻还是重

∴ 至少需要称3＋1＝4次，才能确保找出假珠。 答：至少需要称4次，才能确保找出假珠。(具体方案略)

7.用15条直线，最多可把平面分成几个部分？ 解：1＋15×16÷2＝121(个)

或 1＋1＋2＋3＋…＋15＝121(个) 答：最多可把平面分成121个部分。

8.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天可向沙漠深处走35千米，每人最多携带27天的食物和水。如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米？(要求两人最后都要返回出发点)

解：甲、乙二人同时出发，走9天后其中一个人返还（携带回程9天所需要的食物和水），把多余的9天的食物和水给另一人。这时另一个人还有27天的食物和水，他可以再往前走9天，然后携带18天的食物和水正好足够返回。所以，最远可以深入沙漠18天的距离，即18×35＝630(千米)

综合算式：(27÷3＋27)÷2×35＝630(千米) 答：其中一人最远可以深入沙漠630千米。

9.师生共52人外出秋游。到达目的地后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，于是给了班长买矿泉水的钱。班长看到商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可以换1瓶矿泉水。问：班长只要买多少瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶？ 解：52÷5＝10……2

10×(5－1)＋2＝42(瓶)

答：班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。

4

10.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开始，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？ 解：公共汽车从各站出发时的人数，列表如下： 站名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 上车 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 下车 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 车上人数 14 26 36 44 50 54 56 56 54 50 44 36 26 14 0 由上表可以看出，在第7、第8站，车上人数达到峰值。所以，这辆公共汽车至少应有56个座位。

11.实验室里有1克、3克、9克、27克、81克的天平砝码各一个。如果天平两端均可放置砝码，那么最多可以称出多少种不同的重量？ 解：1＋3＋9＋27＋81＝121(种)

答：最多可以称出121种不同的重量。

12.黑板上写有1、2、3、4、…、1998这1998个数，每次将其中任意两数擦去，并写上它们的差。这样操作若干次后，黑板上只剩下一个数“0”。这种情况有可能发生吗？为什么？ 解：1＋2＋3＋…＋1998＝1999×999，是个奇数。

①若擦去的两个是奇数，则这两个数的差是偶数，黑板上剩下的数之和仍是奇数； ②若擦去的两个是偶数，则这两个数的差是偶数，黑板上剩下的数之和仍是奇数；

③若擦去的是一个奇数一个偶数，则这两个数的差是奇数，黑板上剩下的数之和变为偶数，但写上一个奇数后，黑板上所有的数之和仍是奇数。

所以，若最后黑板上只剩下一个数，则此数必为奇数。而0是偶数，所以不可能。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i6g7.html