高等传热学基本方程推导

本文详细推导了高等传热学的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程

方程推导

1.导热微分方程

x方向导入微元体的热流量为 x

x+dx方向导出微元体的热流量为： Tdydz x

x dx x x Tdx x ( dydz)dx x x x

同理可得y、z方向的导入、导出热流量。

根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生

成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dU c

Tdxdydz 微元体内的生成热：qdxdydz T T T T

经整理有： c z z q x x y y

该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 T 1 T 1 T T

圆柱坐标系： c r 2 q r r r r z z

T 1 2 T 1 T 1 T

球坐标系： c r sin q r2 r r r2sin r2sin2

2.连续性方程 udx dx)(ux x)dydzd ，从右边流出的质量为 x2 x2

udx ( ux) dxdxdydzd ( )(ux x)dydzd ，二者的净质量差为： x x2 x2

dxdydzd ，因此可得平衡关同理可得y、z方向的质量变化，而经过dτ时间，微元体的质量变化为

u v w 0，此方程可以在有关条件下简化。 系，经整理，有 x y z对于微平行六面体，从左边流入的质量为：( 3.动量方程

根据牛顿第二定律写出x方向上的力平衡方程式：

fxdxdydz pxxdydz pxx

yx pxx dudx dydz yxdxdz ( yx dy)dxdz zxdxdy ( zx zxdz)dxdy x x y zd

dux1 pxx1 yx zx 经整理，有：，同理，可得其它方向的动量方程。 fx () d x y z

dui1 ij写成张量形式，有：，牛顿流体的本构方程为： ij p ij 2 ij，于是有： fi d xj

u ，则有：dui fi 1( p) j ui d xi xj xi xj

uj uj uj 0，而 对于不可压缩流体： 0，则有： xj xi xi xj xj

xj ui x j22 u udu1 pi 2i 2ui，则有：i fi () 2ui，即为N—S方程

x x xjd xijj ui uj1 ij 2 xj xi

本文详细推导了高等传热学的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程

4.能量方程：

12u v2 w2 2

ue ue dxdydz之差，即 dxdydz，x方向上流体携入控制体的净能量为 uedydz与 uedydz x x

ue ve we 同理可得y、z方向上的净能量，因而，dQconv dxdydz x y z 采用热力学第一定律分析：dQconv+dQcond+dW=dE，总能：e U

T T T 、、 dxdydz dxdydz dxdydz，则： x x z z y y

T T T dQcond dxdydz x x y y z z

e dE dxdydz，于是有能量守恒方程： 控制体总能量随时间的变化率为

T T T ue ve we e dxdydz dxdydz dW dxdydz y z x x x y y z z

T T T De引入连续性方程，则有： dxdydz dxdydz dW D x x y y z z x、y、z方向上的净导入能量分别为：

界面上作用力（粘性力、静压力和体积力）对流体所做的功，x方向的净功为：

( xxu) ( yxu) ( zxu) (pu) Fux dxdydz，y、z方向类似，三项之和为Dw y z x x

dW减去x、y、z方向上的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz的积，可以得到：dW D 12u v2 w2 D 2 dxdydz xx u u u v v v w w w yx zx xyyyzyxzyzzz y y z x y z x y z

u v w dxdydz p x y z dxdydz

令ηΦ为右侧方括号内各项(又称能量耗散函数)，则有

dW u v w ，整理，则有 p x y z dxdydz

u v w DU T T T p ，ηΦ又可表示为 D x x y y z z x y z DD 12 22u v wdxdydz 2 dxdydz

u 2 v 2 w 2 u v 2 u w 2 v w 2 2 u v w 2

2 2 2 x y z y x z x z y 3 x y z

温度形式的能量方程：

h=U+p/ρ, h h DhDU1DppD h ,h=h(T,p),dh dT dp cdT dp p D D D 2D T p p T p T

h 1 T 11 1 1 v dp，则 dh cdT 而， ,体积膨胀系数，则 pv p T T p p T

DT T T T Dp cp T v zD x x y y zD

1对于理想气体 v ,对于不可压缩流体 v 0，以及忽略耗散的情况，则可分别对上式简化。 T

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