选修2-1第三章空间向量与立体几何

选修2-1

第三章空间向量与立体几何教材分析

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：

“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”

一、内容与课程学习目标

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二、内容安排

本章包括2节，约需9课时，具体分配如下（仅供参考）： 3空间向量及其运算 约6课时 3立体几何中的向量方法 约3课时

三、教学要求 空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

例如：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．

本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力．

解法1： (Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．

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如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，

则 A (2a，0，0)，B (0，2a，0)，D(0，0，1)，

A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(2a2

a1)． 333

aa2 2a2a2 ∴ EG ， ， ，

DG ,, ． 33 3 3 33

∵EG⊥DG，

22224∴ EG DG a a 0，解得 a＝1． 999 2 41－)． 又 BE (1，－1，1)，BG (，333

241 BA1 BG ． ∴ cos ABG 1|BA1||BG|A1B与平面ABD所成角是7． 3(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

AE ED ( 1，，11) ( 1， 1，0) 0，

AA1 ED (0，，02) ( 1， 1，0) 0，

∴ ED⊥平面AA1E，又ED 平面AED，

∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED 面AA1E＝AE，

∴ 点A1在平面AED的射影K在AE上．

设 AK AE，

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则A1 A1 ( ， ， 2)． 由 AK AE 0，即 + + －2＝0， 1

2解得 ． 3 224 )． ∴ A1K ( ，333 ∴

|A1K| ．故A1到平面AED

3四、重、难点的分析

教学重点是：

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律.

②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.

③了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用.

④了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量 作为基底表示其它向量.

⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.

⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

教学的难点是：

①空间向量的基本定理

②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

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教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa|＝|λ||a| (2) 当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a

4. 三个力都是200N，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N的钢板？

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB=a+b， AB OB OA（指向被减向量）， OP λa ( R) （请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a+ (b + c)； ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb； ⑶数乘结合律：λ(ua) =(λu)a ． 4. 推广：⑴A1A2 A2A3 A3A4 An 1An A1An； ⑵A1A2 A2A3 A3A4 An 1An AnA1 0；⑶空间平行四边形法则．

5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑵AB AD AA'； ⑴AB BC；

1 1 (3)AB AD CC'； ⑷(AB AD AA')．23

师生共练 → 变式训练

6. 练习：课本P92 7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）

三、巩固练习： 作业：P106 A组 1、2题.

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教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这 些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝ a，其 中 是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数 ，使b＝ a（a≠0），则有a∥ b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. a⑵对于确定的和，b＝ a表示空间与a平行或共线，长度为 | a|，当 >0时与a 同向，当 <0时与a反向的所有向量. 3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O， 点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OP OA ta． 其中向量a叫做直线l的方向向量.

推论证明如下： ∵ l//a ，∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得AP ta．(*) 又∵ 对于空间任意一点O，有AP OP OA， ∴ OP OA ta ， OP OA ta． ① 若在l上取AB a，则有OP OA tAB．(**) 又∵ AB OB ∴ OP OA t(OB OA) (1 t) O AOA tO．B②

1 1 当t 时，OP (OA OB)．③ 22

理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，

是平面向量相关知识的推广． 4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）

5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分 别用OA、OB表示OC、OD.

三、巩固练习： 作业：

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教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．

教学重点：点在已知平面内的充要条件．

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．

教学过程：

一、复习引入

1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．

2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

二、新课讲授

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形 ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共

面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵ xa，yb分别与a、b共线， ∴ xa，yb都在a、b确定的平面内． 又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y， 使得MP xMA yMB，① 或对于空间任意一定点O，有 OP OM xM ② Ay．M 分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由OP OM xMA yMB得： ， ∴OP OM x(OA OM) y(OB OM)OP (1 x y)OM xOA yOB ③

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

7. 例题：课本P95例1 ，解略． → 小结：向量方法证明四点共面

三、巩固练习

1. 练习：课本P96 练习3题.

2. 作业：课本P96 练习2题.

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第4课时 §3.1.3空间向量的数量积运算

教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1.复习平面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.

二、新课讲授

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间 中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的

夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0 ＜a，b＞ ． 当＜a、b＞＝０时，a与b

同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝

2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞ (a,b)

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影 A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射 影．可以证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞； ⑵a⊥b a·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜； 当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜. 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a

a b ⑷cos＜a,b＞＝; ⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. a b

4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)； ⑵ a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)

说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

5. 教学例题：课本P98例2、例3（略）

三、巩固练习

作业：课本P101 例4

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第5课时 §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一、新课引入

1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，

2. 复习：平面向量基本定理.

二、讲授新课 1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量

这种分解就是平面向量的正交分解. 如果 1a1和 2a2，使a 1a1 2a2. 如果a1 a2时，

取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得

a xi yj，即得到平面向量的坐标表示a (x,y).

推广到空间向量，结论会如何呢？ (1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量 1a1、 2a2、 3a3，使a 1a1 2a2 3a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数 组{x,y,z}，使得p xa yb zc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，

则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k

的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为

坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2 x1,y2 y1,z2 z1)．

4. 向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)； ⑵a－b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)；

⑶λa＝( a1, a2, a3)( R)； ⑷a·b＝a1b1 a2b2 a3b3

证明方法：与平面向量一样，将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可．

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

aaa⑴a//b a＝λb a1 b1,a2 b2,a3 b3，( R) 1 2 3； b1b2b3

⑵a⊥b a·b=0 a1b1 a2b2 a3b3 0．

6. 练习：已知a＝(2, 3,5)，b＝( 3,1, 4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．

7. 出示例：课本P101 例4 . （解略）

三、巩固练习 作业：课本P102 练习2、3题 .

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第6课时 §3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）

教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学过程：

一、复习引入

1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)； ⑵a－b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)；

⑶λa＝( a1, a2, a3)( R)； ⑷a·b＝a1b1 a2b2 a3b3

上述运算法则怎样证明呢？（将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可）

2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）

二、新课讲授

⒈ 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模.

｜a

，｜b

向量的长度公式．

2. 夹角公式推导：∵ a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴ a1b1a2 b2a

cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x

2,y2,z2)，则

dA、B dA、B表示A与B两点间的距离．

3. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件． （答案：(2,

34x 6y 8z 7 0）,3) 2 1 x x2y1 y2z1 z2说明：⑴中点坐标公式：OM (OA OB)＝(1 ,,)；2222

⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三

元一次方程的图形是平面．

4. 出示例5：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1 D1F1 A1B1，求BE14

与DF1所成的角的余弦值．

分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P104、例6

5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

三.巩固练习

作业：课本P105练习 3题.

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教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？

2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ a b，可求两个向量的数量积或夹角⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝a b

问题；

⑵利用性质a⊥b a·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；

⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．

二、例题讲解

1. 出示例1：已知空间四边形OABC中，OA BC，OB AC．求证：OC AB． 证明：OC·AB＝OC·(OB OA) ＝OC·OB－OC·OA．

∵OA BC，OB AC， ∴OA·BC 0，OB·AC 0， OA·(OC OB) 0，OB·(OC OA) 0． ∴OA·OC OA·OB，OB·OC OB·OA． ∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0． ∴OC AB

2. 出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC ，线段BD⊥AB，线段DD' ， DBD' 30 ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．

解：由AC ，可知AC AB． 由 DBD' 30可知，＜CA,BD＞＝120 ， 2 2 2 2 2 ∴|CD|＝(CA AB BD)＝|CA|＋|AB|＋|BD|＋2(CA·AB＋CA·BD＋ AB·BD)

＝b2 a2 b2 2b2cos120 ＝a2 b2．

∴CD

3. 出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD A'B'C'D'的

棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角．

1 解：∵MN＝(CC' BC)，CD'＝CC' CD， 2 2 1 1∴MN·CD＋BC·CD'＝(CC' BC)·(CC' CD)＝(|CC'|＋CC' CC'＋22 BC·CD)． CC' CDCC' BCBC CD ∵，，，∴CC' CC' 0，BC·CD 0， CD 0，BC·

1 21 1 ∴MN·CD'＝|CC'|＝． …求得 cos＜MN,CD'＞ ，∴＜MN,CD'＞＝60 . 222

4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．

三、巩固练习 作业：课本P116 练习 1、2题.

选修2-1

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？

（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

二、例题讲解

1. 出示例1： 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、

CD的中点，求证：D1F 平面ADE． 证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝ j，DD1＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则

11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1F AD． 22 111 又 AE＝(0,1,)，∴AE·D1F＝(0,1,)·(0,,-1)＝0， ∴D1F AE． 222

又 AD AE A， ∴D1F 平面ADE．

说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．

2. 出示例2：课本P116 例3

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

3. 出示例3：课本P118 例4

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

4. 出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD． 证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝(x,y,z)． ∵BD⊥α， ∴BD⊥i，BD⊥j， ∴BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y＝0, ∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

5. 法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．

6. 小结：

向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.

三、巩固练习 作业：课本P120、 习题A组 1、2题.

选修2-1

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入 1. 法向量定义：如果直线l 平面 , 取直线l的方向向量为a，则向量a叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.

2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？ 直线AB与平面α所成的角 ，可看成是向量AB所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根 a b据两个向量所成角的余弦公式cosa,b ，我们可以得到如下向量法的公式： ab

AB n sin cosAB,n .

ABn

3. 讨论：如何利用向量求空间距离？

两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.

点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.

二、例题讲解：

1. 出示例1：长方体ABCD A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E、F分别是A1D1、AB的中点，O是BC1与B1C的交点. 求直线OF与平面DEF所成角的正弦.

解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、DD1为坐标轴，

建立如图所示的空间直角坐标系. 则

D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0).

设平面DEF的法向量为 n (x,y,z)， n DE 则 ， 而DE (1,0,2)， DF (2,2,0). n DF x 2z 0 n DE 0 ∴ ，即 , 解得x:y:z 2:2:1， ∴ n ( 2,2,1). 2x 2y 0 n DF 0

∵ n OF |n||OF|cos ， 而OF (1, 2, 1).

n OF∴ cos

|n| |OF|. 2. 变式： 用向量法求：二面角A1 DE O余弦；OF与DE的距离；O点到平面DEF的距离.

三、巩固练习

作业：课本P121、 习题A组 5、6题.

所以，直线OF与平面DEF

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