2013-2014版高一数学（北师大版）必修一活页训练 第3章 指数函数

双基达标 ?限时20分钟?

1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )．

A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c

解析 a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c. 答案 D 2．函数y＝

1

的定义域为( )．

log0.5?4x－3?

?3??3?，1??A.4 B.?4，＋∞? ????C．(1，＋∞)

?3?

D.?4，1?∪(1，＋∞) ??

解析 要使函数有意义，则log0.5(4x－3)＞0，∴0＜4x－3＜1， 3

∴4＜x＜1. 答案 A

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)＝( )．

1

A．log2x B． C.2x D．x2

解析 ∵函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax.∵f(x)＝logax的图像经过点(a，a)， 1

∴logaa＝a?a＝2，∴f(x)＝ 答案 B

lg?4－x?

4．函数f(x)＝的定义域为________．

x－3?4－x＞0，

解析 由?解得x＜4，且x≠3，

x－3≠0，?所以定义域为{x|x＜4，且x≠3}． 答案 {x|x＜4，且x≠3}

1

解析 ∵当x≤1时，f(x)＝ ≥2， 1

∴满足f(x)＝4的x∈(1，＋∞)， 14

即log81x＝4，∴x＝81＝3. 答案 3

6．求下列函数的定义域： (1)y＝

1

32x－1－27；

(2)y＝－lg?1－x?； (3)y＝

1

(a＞0，a≠1)．

1－loga?x＋a?

1

解 (1)由32x－1－27≥0，得x≥－1.∴所求定义域为[－1，＋∞)． ?1－x≤1，

(2)由－lg(1－x)≥0，得?即x∈[0,1)．

?1－x＞0，∴所求定义域为[0,1)．

(3)1－loga(x＋a)＞0时，函数有意义， 即loga(x＋a)＜1.①

?x＋a＜a，

当a＞1时，－a＜－1，由①，得?解得－a＜x＜0.

?x＋a＞0，∴定义域为(－a,0)； 当0＜a＜1时，－1＜－a＜0.

由①得，x＋a＞a.∴x＞0.∴定义域为(0，＋∞)． 故所求定义域是：当0＜a＜1时，x∈(0，＋∞)； 当a＞1时，x∈(－a,0)．

综合提高 ?限时25分钟?

7．已知a＞0，且a≠1，则函数y＝logax和y＝(a－1)x2在同一坐标系中的图像可能是( )．

解析 对于选项A，由对数函数单调递增可知a＞1，则a－1＞0，所以二次函数的图像开口向上，故A正确，C错误；

对于选项B，由对数函数单调递减可知0＜a＜1，则a－1＜0，所以二次函数的图像开口向下，故B错误；

对于选项D，对数函数的图像错误，故D错误． 答案 A

8．若a∈R，且loga(2a＋1)＜loga(3a)＜0，则a的取值范围是( )． 1?1????1??1?A.?0，3? B.?0，2? C.?2，1? D.?3，1? ????????

?2a＋1＞0，解析 原不等式等价于?2a＋1＜3a，

?0＜3a＜1

1

解得a∈?或3＜a＜1. 答案 D

a＞1，

?0＜a＜1，或?2a＋1＞3a，?3a＞1，

9．若指数函数f(x)＝ax(x∈R)的部分对应值如下表：

x f(x) －2 0.694 0 1 2 1.44 则不等式loga(x－1)＜0的解集为________． 解析 由题可知，a＝1.2，∴log1.2(x－1)＜0，

∴log1.2(x－1)＜log1.21，解得x＜2， 又∵x－1＞0，即x＞1，∴1＜x＜2， 故原不等式的解集为{x|1＜x＜2}． 答案 {x|1＜x＜2}

10．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________． 解析 令t＝3x，则x＝log3t，

log2t∴f(t)＝4log3t·log23＋233＝4·log23＋233＝4log2t＋233.

log3·

2

∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(1＋2＋3＋…＋8)＋8×233 ＝144＋1 864＝2 008. 答案 2 008

1

11．设x≥0，y≥0，且x＋2y＝2，求函数 (8xy＋4y2＋1)的最大值与最小值．

11

解 ∵x＋2y＝2，∴2y＝2－x，

11

设p＝8xy＋4y2＋1＝4x(2－x)＋(2－x)2＋1 514

＝－3x2＋x＋4＝－3(x－6)2＋3. 1

∵x≥0，y≥0，x＋2y＝2， 11∴2－x＝2y≥0，即x≤2，

1141

∴0≤x≤2，在此范围内，x＝6时，p的最大值为3，x＝2时，p的最小值为1， 11

∵0＜2＜1，∴log2p是p的减函数．

114

因此，函数 (8xy＋4y2＋1)的最大值是log21＝0，最小值是log23. 12．(创新拓展)已知a＞0，且a≠1，f(logax)＝(1)求f(x)；

a1(x－

x)． a2－1

(2)判断f(x)的单调性；

(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时有f(1＋m)＋f(2m＋1)＜0，求m的取值范围． 解 (1)令t＝logax(t∈R)，则x＝at， 且f(t)＝∴f(x)＝

a1(at－at)， a－1

2a

(ax－a－x)(x∈R)． 2a－1

x

－x

a

(2)当a＞1时，a－a为增函数，又2＞0，

a－1∴f(x)为增函数；当0＜a＜1时，ax－ax是减函数．

－

a

又2＜0，f(x)为增函数， a－1

∴不论a取何值，函数f(x)在R上为增函数． (3)由f(－x)＝

a

(a－x－ax)＝－f(x)， a－1

2∴f(x)是奇函数． ∵f(1＋m)＋f(1＋2m)＜0， ∴f(1＋2m)＜－f(1＋m)， ∴f(1＋2m)＜f(－1－m)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函数，

?－1＜1＋2m＜1∴?－1＜－1－m＜1?1＋2m＜－1－m

，

2

∴m的取值范围为{m|－1＜m＜－3}．

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