高考数学复习：导数及其应用

第三编 导数及其应用

§3.1 导数的概念及运算

基础自测

2

1.在曲线y=x+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则答案 Δx+2

2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)= . 答案 cos2x+cosx

?y为 ?x3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af(b)＞bf(a) ③af(a)＜bf(b) 答案 ①③④

②af(a)＞bf(b) ④af(b)＜bf(a)

???2

4.（20082辽宁理，6）设P为曲线C：y=x+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是?0,?，

?4?则点P横坐标的取值范围为 .

1??答案 ??1,??

2??5.(20082全国Ⅱ理，14)设曲线y=e在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2

例1 求函数y=x2?1在x0到x0+Δx之间的平均变化率.

2解 ∵Δy=(x0??x)2?1?x0?1

2(x0??x)2?1?x0?1ax

=

(x0??x)?1?22x0?1=

2x0?x?(?x)2(x0??x)?1?22x0，

?1∴

2x0??x?y=. ?x22(x0??x)?1?x0?1例2 求下列各函数的导数： （1）y=

x?x5?sinxx2；

（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）； （3）y=-sin（4）y=

x2x(1-2cos)； 2411?x+

11?x.

解 （1）∵y=

321x2?x5?sinxx2=x

?32+x+

3

sinxx2，

∴y′=（x

5?）′+(x)′+(xsinx)′

3-2

3?2-3-2

=-x2+3x-2xsinx+xcosx. 2(2)方法一 y=（x+3x+2）（x+3） =x+6x+11x+6， ∴y′=3x+12x+11. 方法二

y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′ =［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2） =（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2） =3x+12x+11. （3）∵y=-sin∴y′=(（4）y=

xx1(-cos)=sinx， 2222

2

3

2

2

111sinx) ′= （sinx）′=cosx. 22211?x+

11?x=

2，

(1?x)(1?x)1?x=

1?x?1?x∴y′=(

?2(1?x)?22)′==. 1?x(1?x)2(1?x)21(1?3x)2

例3 求下列函数的导数： （1）y=

4;

(2)y=sin(2x+

?); 3(3)y=x1?x2.

解 （1）设u=1-3x,y=u.

-4

则y x′=y u′2ux′=-4u2（-3）=

-5

12(1?3x)5.

(2)设y=u,u=sinv,v =2x+

2

?, 3则y x′=y u′2u v′2v x′=2u2cosv22

??????=4sin?2x??2cos?2x??

3?3???2???=2sin?4x??.

3??(3)y′=(x1?x2)′

=x′21?x2+x2（1?x2)′

x21?x2=1?x+

2=

1?2x21?x2.

例4 （14分）已知曲线y=

134x+. 33(1)求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x,

∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4. 即4x-y-4=0. （2）设曲线y=A(x0，

3分 6分

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),

2

134x+与过点P（2，4）的切线相切于点 33134x0+)，则切线的斜率 332

k=y′|x?x0=x0. ∴切线方程为y-(即y=x02x-2

8分

1342

x0+)=x0(x-x0), 33

2

234x0+. 33 10分

∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x0-即x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

23

2

3

2

2

234x0+,

33∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

14分

2

1.求y=x在x=x0处的导数.

?y=?x解

x0??x?x0?x

=

(x0??x?x0)(x0??x?x0)?x(x0??x?x0)

=

1x0??x?x01x0??x?x01，

当Δx无限趋近于0时，

无限趋近于.

12x0,

∴f′(x0)=

2x02.求y=tanx的导数.

??sinx?(sinx)?cosx?sinx(cosx)?解 y′=? ?=2?cosx?cosx=

cos2x?sin2xcos2x=

1cos2x.

3.设函数f（x）=cos（3x+?）（0＜?＜?）.若f(x)+f′(x)是奇函数,则?= . 答案

? 63

2

4.若直线y=kx与曲线y=x-3x+2x相切，则k= . 答案 2或-

1 4

一、填空题

1.若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时答案 -1

2.（20082全国Ⅰ理，7）设曲线y=答案 -2

32

3.若点P在曲线y=x-3x+(3-3)x+

f(x0?k)?f(x0)= .

2kx?1在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= . x?13上移动，经过点P的切线的倾斜角为?，则角?的取值范围4是 .

????2??答案 ?0,???,??

?2??3?4.曲线y=x-2x-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 .

3

2

答案 5x+y-2=0

5.（20092徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 . 答案 （1，0）

6.已知曲线S:y=3x-x及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条. 答案 3 7.曲线y=

12

和y=x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . x3 43

4

答案

8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 .

?1?答案 ?1,?

?a?二、解答题

9.求下列函数在x=x0处的导数. （1）f（x）=cosx2sinx+cosx，x0=

ex1?xex1?x2

3

?； 3（2）f（x）=?，x0=2；

（3）f（x）=

x?x3?x2lnxx2，x0=1.

2

2

解 （1）∵f′(x)=［cosx(sinx+cosx)］′ =(cosx)′=-sinx, ∴f′（

?3）=-.

32??2ex?? (2)∵f′(x)=??1?x???=

(2ex)?(1?x)?2ex(1?x)?(1?x)2

=

2(2?x)ex(1?x)2,∴f′(2)=0.

?32(3)∵f′(x)=(x∴f′(1)=-

3?1)′-x′+(lnx)′=-x2-1+,

x253. 210.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.

?1??(2x?1)??解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′|x?x0=?

?2x?1?x?x0=

22|x?x0==2. 2x?12x0?1|2?0?3|2?(?1)22解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0）， 点P到直线2x-y+3=0的距离为

?5,

∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是5. 11.（20082海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+处的切线方程为y=3. （1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. (1)解 f′(x)=a-1（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））x?b1(x?b)2,

1??2a?2?b?3,?于是?

1?a??0.2?(2?b)?9?a?,??a?1?4 解得?或??b??1?b??8?3?因为a,b∈Z,故f(x)=x+

1. x?1(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+由f′(x0)=1-

1）, x0?11(x0?1)2知,过此点的切线方程为

2?x0?x0?1?1y-=?1??(x-x0). 2x0?1(x?1)??0??令x=1,得y=

x0?1

, x0?1

?x0?1??切线与直线x=1的交点为??1,x?1?;

?0?令y=x,得y=2x0-1,

切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为

21x0?11?1|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.

2x0?12x0?1所以,所围三角形的面积为定值2.

12.偶函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.

解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. 故ax+bx+cx+dx+e=ax-bx+cx-dx+e. ∴b=0，d=0.

4

2

4

3

2

4

3

2

4

3

2

①

②

∴f（x）=ax+cx+1.

∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2， ∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.

3

③ ④

∵f′（1）=（4ax+2cx）|x=1=4a+2c， ∴4a+2c=1. 由③④得a=

59，c=-. 225492

x-x+1. 22∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=

§3.2 导数的应用

基础自测

1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f′(x)的图象是如图所示的一条直线， 则y=f(x)图象的顶点在第 象限. 答案 一

2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时，f′(x)＞0,g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x) 0,g′(x) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案 ＞ ＜

3.（20082广东理，7）设a∈R,若函数y=e+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是 . 答案 a＜-3

4.函数y=3x-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 . ?3??3?? ,??? ?0,答案 ??3??3?????

2

ax

5.（20082江苏，14）f(x)=ax-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= . 答案 4

例1 已知f(x)=e-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解 f′(x)= e-a.

(1)若a≤0，f′(x)= e-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a＞0, e-a≥0,∴e≥a,x≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna，+∞）.

（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立. ∴e-a≥0，即a≤e在R上恒成立. ∴a≤（e）min，又∵e＞0,∴a≤0.

（3）方法一 由题意知e-a≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a≥e在（-∞，0］上恒成立. ∵e在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e最大为1.∴a≥1.

同理可知e-a≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤e在［0，+∞）上恒成立.

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

3

∴a≤1，∴a=1.

方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e-a=0,∴a=1.

例2 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f（x)=x+ax+bx+c, 得f′(x)=3x+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=

①

2

3

2

3

2

0

2时，y=f(x）有极322时，y=f(x)有极值，则f′（）=0, 33

②

可得4a+3b+4=0

由①②解得a=2,b=-4.

由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5, ∴f′(x)=3x+4x-4, 令f′(x)=0,得x=-2,x=

2

3

2

2. 3当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x y? -3 (-3,-2) -2 (-2,2) 32 3(2,1) 31 8 + 单调增0 13 95 27- 单调递减 0 95 27+ 单调递增 4 y 递 ∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为

2-ax

例3 （14分）已知函数f(x)=xe(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 解 ∵f（x）=xe（a＞0）,

∴f′(x)=2xe+x2（-a)e=e(-ax+2x). 令f′(x)＞0,即e(-ax+2x)＞0,得0＜x＜

-ax

2

-ax

2

-ax

-ax

2

2-ax

3分

2. a?2?∴f(x)在（-∞,0),?,???上是减函数，

?a??2?在?0,?上是增函数. ?a?①当0＜

2＜1,即a＞2时,f(x）在（1，2）上是减函数, a-a

∴f（x）max=f（1）=e. ②当1≤

8分

2≤2,即1≤a≤2时， af(x)在（1, ∴f(x)max=f（③当

22）上是增函数，在（,2）上是减函数， aa2-2-2

）=4ae. a 12分

2＞2时，即0＜a＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数， a-2a

-2a

∴f（x）max=f（2）=4e.

综上所述，当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e, 当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4ae, 当a＞2时，f(x)的最大值为e.

-a

-2

-2

2

14分

例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）. 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x),x∈［9,11］. (2)L′(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L′=0得x=6+

2

2

2a或x=12（不合题意，舍去）. 3228a≤.

33∵3≤a≤5,∴8≤6+在x=6+

2a两侧L′的值由正变负. 329a＜9即3≤a＜时， 322

所以①当8≤6+

Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6-a). ②当9≤6+Lmax=L(6+=4(3-

2289a≤即≤a≤5时，

3322222

a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］ 33313a). 3?9(6?a),??所以Q(a)=??4(3?1a)3,?3?答 若3≤a＜

3?a?9,29?a?5.2

9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若29213

≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）(万元).

332

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