21.1二重积分概念

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第二十一章 二重积分

§1 二重积分概念

教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质．

(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议

(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍．

(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序

一、平面图形的面积

（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

直线网T分割平面图形P，T的网眼中小闭矩形 i的分类： （ⅰ） i含的全是P的内点,

（ⅱ） i含的全是P的外点（不含P的点）, （ⅲ） i内含有P的边界点, 记sP T 为T的第ⅰ类 i的面积的和． 记SP T 为T的第ⅰ和第三类 i的面积的和． 记IP=记IP=

sup sP T T，称为P的内面积．

inf SP T T，称为P的外面积．

定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP=IP=IP为P的面积（约当，黎曼测度）

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定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的 0，总存在直线网T，使得

SP T sP T . （2）

证明 [必要性]设平面有界图形P的面积为IP．由定义1，有IP=P=IP．对任给的 ，由IP及P的定义知道，分别存在直线网T1与T2，使得

sP T1 IP ,SP T2 IP

22，

记T为由T1与T2这两个直线网合并的直线网，可证得

sP T1 sP T ，SP T2 SP T ， (3)

于是由（3）可得

sP T IP

2

,SP T IP

2，

从而得到对直线网T有 SP T sP T ，

[充分性]对任给的 0，存在直线网T，使得（2）式成立．但

sP T P IP SP T ，

所以 IP P SP T sP T ，

由 的任意性，因此P=IP，因而平面图形P可求面积．

推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积IP 0，即对任给的 0，存在直线网T，使得，

SP T ，

或对任给的 0，平面图形P能被有限个其面积总和小于 的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．

证明 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：对任给的 0，存在直线网T，使得SP T sP T ．由于

SK T SP T sP T ，

所以也有SK T ．由上述推论，P的边界K的面积为零．

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定理21.3 若曲线K为由定义在 a,b 上的连续函数f x 的图象，则曲线K的面积为零

证明 由于f x 在闭区间 a,b 上连续函数，从而一致连续．因而对任给的

0，总存在 0，当把区间 a,b 分成n个小区间 xi 1,xi i 1, ,n 并且满足max xi xi xi 1i 1, ,n 时，可使在每个小区间 xi 1,xi 上的振幅都成立 i

b a．现把曲线K按自变量x x0,x1, ,xn分成n个小段，这时每一个小段

都能被以 xi为宽， i为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为

x

ii 1

n

i

b a

x

i 1

n

i

，

所以由定理21．1的推论即得曲线K的面积为零．

还可证明得到：由参量方程x t ,Y t t 所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性

背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．

定义 设f x,y 是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域：

1, 2, , n,以 i表示 i的面积，这些小区域构成D的一个分割T，

以di表示 i的直径，称

n

max di 1 i n为分

f( i, i) i

, iTii割的细度，在每一个上任取一点（），作和式： i 1

称之为函数在上属于分割的一个积分和．

，

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定义2 设f x,y 是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，使对于D的任何分割T，当它的细度 时，属于T的所有积分和都有

f( , )

i

i

i 1

N

i

J

，

则称f x,y 在D上可积，数J称为函数f x,y 在D上的二重积分，记作

J=

f x,y d

D

，

其中f x,y 称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域．

fx,y 0几何意义：当时，二重积分D

为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.

直角坐标系下可表示为：

f x,y d

在几何上表示以z f x,y

f x,y d f x,y dxdy

D

=

D

.

可积的必要条件：f x,y 在可求面积的区域D上有界

函数f x,y 在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域 1, , n，令

Mi supf x,y

x,y i

，

mi inff x,y

x,y i

， i 1, ,n

f x,y 关于分割T的上和与下和：

S T Mi is T mi i

I I ,.

N

N

定理21.4 f x,y 在D上可积的充要条件是：

S T s T 0

= 0.

定理21.5 f x,y 在D上可积的充要条件是：对于任给的正数 ，存在D的某个分割T，使得S T s T ．

定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积．

定理21.7 设f x,y 是定义在有界闭区域D上的有界函数．若f x,y 的不

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连续点都落在有限条光滑曲线上，则f x,y 在D上可积.

证明 不失一般性，可设f x,y 的不连续点全部落在某一条光滑曲线L

l n 1

段： 上．记L的长度为l，于是对任给的 >0，把L等分成

L1, ,Ln，

l

在每段Li上取—点Pi，使段与其一端点的弧长为2n，以Pi为中心作边长为 的

正方形 i，则Li i，从而有面积为W，那么

L i

i 1

n

记

i

i 1

n

，则 为一多边形．设 的

l 2 l 2

W n 2 1 1 l

，

现在把区域D分成两部分．第一部分D1 D ．第二部分D21 D D1．由于

f x,y 在D2上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在D2的分割T2，使得S T2 s T2 ．又记

M supf x,y

x,y

，

m inff x,y

x,y

，以T表示由T2与

多边形 的边界所组成的区域D的分割，则有

S T s T S T2 s T2 M W m W W ． l 1 l ，

其中 是f x,y 在D上的振幅．由于f x,y 在D上有界，故 是有限值．于是由定理21，5就证明了f x,y 在上可积. 三、二重积分的性质

二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1. 若f x,y 在区域D上可积，k为常数，则kf x,y 在D上也可积，且

kf x,y d

D

=

f x,y d k

D

．

2．若f x,y ,g x,y 在D上都可积，则f x,y ±g x,y 在D上也可积，且

f x,y g x,y d f x,y d g x,y d

D

=

D

±

D

.

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3. 若f x,y 在D1和D2上都可积，且D1与D2无公共内点，则f x,y 在

D1 D2也可积，且D1 D2

f x,y d f x,y d f x,y d

=D1

+D2

.

4．若f x,y 与g x,y 在D上可积，且f x,y ≤g x,y ， x,y D，则

f x,y d g x,y d

D

≤

D

．

5．若f x,y 在D上可积，则函数f x,y在D上也可积，且

f x,y d

D

≤

f x,yd

D

.

6. 若f x,y 在D上可积．且 m≤f x,y ≤M， x,y D 则

mSD

f x,y d

D

MSD.

这里SD是积分区域D的面积．

7．(中值定理) 若f x,y 在有界闭区域D上连续，则存在 , D，使得

f x,y d

D

=f , SD，

这里SD是积分区域D的面积．

中值定理的几何意义：以D为底，z f x,y ,(f x,y 0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在f x,y 区域D中某点 , 的函数值f , ． 作业 P217 1-5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i5n4.html