高等流体力学复习题及答案

《高等流体力学》复习题

一、基本概念

1．什么是流体，什么是流体质点？

答：在任何微小剪切应力作用下，都会发生连续不断变形的物质称为流体。

宏观无限小，微观无限大，由大量流体分子组成，能够反映流体运动状态的集合称为流体质点。

2.什么事连续介质模型？在流体力学中为什么要建立连续介质这一理论模型？

答：认为流体内的每一点都被确定的流体质点所占据，其中并无间隙，于是流体的任一参数

?（密度、压力、速度等）都可表示为空间坐标和时间的连续函数???(x,y,z,t)，而且是

连续可微函数，这就是流体连续介质假说，即流体连续介质模型。

建立“连续介质”模型，是对流体物质结构的简化，使在分析流体问题得到两大方便： 第一、 可以不考虑流体复杂的微观粒子运动，只考虑在外力作用下的微观运动； 第二、 能用数学分析的连续函数工具。

3．给出流体压缩性系数和膨胀性系数的定义及表达式。

答：压缩性系数：单位体积的相对减小所需的压强增值。 ??(d?/?)/d?

膨胀性系数：在一定压强下，单位温度升高所引起的液体体积的相对增加值。 av?(dV/V)dT??(d?/?)/dT

4．什么是理想流体，正压流体，不可压缩流体？

答：当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。

内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。

流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。

5．什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。

答：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。

其数学表达式为：???(r)

如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r，则这个场就被称为均匀场。其数学表达式为：???(t)

6．分别用数学表达式给出拉格朗日法和欧拉法的流体加速度表达式。

答：拉格朗日法： ax??uy?ux?u ay? az?z （点）

?t?t?t???du?u????(u??)u （场） 欧拉法： a?dt?t7:理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无年限？为什么？

答：理想流体运动时无切应力;粘性流体静止时无切应力。但是，静止时无切应力，而有粘性，因为粘性是流体的固有特性。

8流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？

[答]：

如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。

对于无旋流动来说，其速度场 总可以由某个速度标量函数（场） 的速度梯度来表示，即 ，则这个标量函数（场） 称为速度场 的速度势函数。 无旋运动与有势运动的关系：

势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。

9:什么是流函数？存在流函数的流体具有哪些条件（性质）？

答：

1:由平面不可压缩流体的连续性知： 即 =0，即 + =0,我们设法找出这样一个可微的标量函数 （x，y，t），使得 = ，Uy=- .这时我们称标量函数 （x，y，t）为不可压缩流动( Uy)的流函数。

2：流函数的性质：①流函数 加减一个常数C，所描述的流动相同

②流函数 的等值线 =c是流线，即是说其切线与其流动方向一致，事实上，在 =c上有d dx+ dy=-Uydx+Uxdy=0于是有 = ，可见，等值线的切线方向与速度方向一致，即为流线 ③在平面上，任意2点M和M0 间任意连线上的速度通量仅与流函数 在这2点值的差有关，即Q= Uydx+Uxdy)= dx+ dy)= =

④：在单连通域上的不可压缩流体过其上任意封闭曲线L上的通量为零，并且相应的流函数在其上单值；过任意2点间连线上的速度通量与这2点的连线的路径无关；而在多连通域上，过任意封闭曲线的速度通量则科恩那个不为零，流函数 也可能是多值的。

10：半面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？

答：复位势W（z）相差一个常数C，所描述的平面流动不变。

复位势W（z）的等值线族W（z）=C为等势线族 =c和等流线族 =c。它们在复平面上组成相互正交的曲线网。

共轭附属度 = 在复平面上的沿Zo到Z这2点间任意曲线上的复积分为 Γ+iQ

的实部为Z0到Z这2点间曲线上的速度环量，虚部为Z0到Z这两点间曲线上的速度通量或流量。

在单连通域上复位势w（z）是单值的，在复连通域上w（z）可能多值。

对于不可压缩流体的平面无旋运动，其势函数 和流函数 都应该满足Laplace方程，即 =0， =0.

11:什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes假设的基本事实依据是什么？

[答]：

第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。

对于不可压缩流体，可不考虑第二粘性系数。

Stokes假设的基本事实依据：平均法向正应力 就是压力函数的负值，即体变形粘性系数 。

12 作用在流体微团上的力分为哪两种？表面应力τij的两个下标分别表示？τij的正负如何规定？

答：作用在流体微团上的力分为体力和面力。τ法线方向，第二个字母表示应力分量的方向。τ称为正应力。

ij两下标：第一个字母表示应力所在面的外ij正负：应力分量在作用面法线方向的分量

13 从分子运动学观点看流体与固体比较有什么不同？

答：⑴若物质分子的平均动能远小于其结合能，即：1/2mv2＜＜ΔE，这时物质分子间所形成的对偶结构十分稳定，分子间的运动被严格地限定在很小的范围内，物质的分子只能在自己的平衡位置周围运动。这时物质表现为固态。

⑵若物质分子的平均动能远大于其结合能，即：1/2mv2＞＞ΔE，物质分子间几乎不能形成任何对偶结构，这时候，物质表现为气态。

⑶若物质分子的平均动能与其结合能大致相等，即：1/2mv2≈ΔE，其分子间的对偶结构不断的遭到破坏，又不断地形成新的对偶结构。这时，物质分子间不能形成固定的稳定的对偶结构，而表现出没有固定明确形状的也液态。

14 试述流体运动的Helmhottz速度分解定律并给出其表达式。

答：流体微团一点的速度可分解为平均速度分量与转动运动分量和变形运动分量之和，这称为流体微团的Helmhottz速度分解定律。

????表达式：V?V0?ω?δr??S??δr

15 流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？

??????答：V?V0?ω?δr??S??δr。⑴平均运动：V?V0

??1???ω?r0?V⑵转动运动：ω? ⑶变形运动：??S??r δr；216 什么是随体导数（加速度）、局部导数（加速度）及位变导数（加速度）？

答：随机导数：流体质点在其运动过程中的加速度所对应的微商。

局部导数：流体位置不变时的加速度所对应的微商。 位变导数：质点位移所造成的加速度所对应的微商。

17 什么是流体的速度梯度张量？试述其对称和反对称张量的物理意义。

?????V??δxj答：⑴对流体微团M，其中r0处的速度为V0，那么r处的速度可以表示为V?V0??xj????ui?ui??δxj即V?V0?δr(?V)，这里，??V为二阶张量，它是速度的或者Ui?U0i??xj?xj梯度，因此，称之为速度梯度张量。

??ui?V??A?S ⑵速度梯度张量可以分解为对称和反对称部分，即

?xj?反对称张量的物理意义：A表征流体微团旋转运动，所对应的矢量ω为流体微团的角速度矢

量。

?1??v?u??0?????2?x?y????1??v?u? A=?????0???2??x?y??1??ω?u?1??ω?v????????2?x?z??y??z??2?????=ε

ijkωk

1??ω?u??????2??x?z???01??ω?v???????=??ω3??2??y?z????ω2?0??ω30?ω1?ω2?ω1?? 0??????1?ω?ω1ex?ω2ey?ω3ez?r0tv

2对称张量的物理意义：S表征了流体微团的变形运动，其中，对角线上的元素（ε1ε2ε3）表示了流体微团在3个坐标轴上的体变形分量，而三角元素（了流体单元微团在3个坐标平面上的角变形分量的一半。

111θ1，θ2，θ3）表示222??u??x??1??v?u?S=????x??y??2????1??ω?u??2??x??z????

1??v?u?????2??x?y???v?y1??ω?v?????2??y?z??1??ω?u???????2??x?z???ε11??ω?v???1?????=?2θ32??y?z??????1θ2?ω???2?z?1θ32ε21θ121?θ22?1?θ1? 2?ε3???18.某平面上的应力与应力张量有什么关系？pmn?pnm的物理含义是什么？

[答]：教材P71

应力pn与应力张量P的关系：pn?n?pij?n?P ，即：空间某点处任意平面上的应力等

于这点处的应力张量与该平面法向单位矢量的左向内积。 ?

pmn?pnm的物理意义：

?pm?pn????pnm?(n?P)?m?pn?m?nipijmj?nipjimj?mjpjini

???应力张量的对称性，使得在以n为法线的平面上的应力p在 m 方向上

n???的投影等于（=）在以m为法线的平面上的应力p在 n方向上的投影。

m19.什么是广义的牛顿流体和非牛顿流体？

[答]：教材P86-87

牛顿内摩擦定律：流体微团的运动变形的的大小与其上所受的应力存在线性关系。 遵从或近似遵从牛顿内摩擦定律的一类流体称为牛顿流体。不遵从牛顿内摩擦定律的流

?????(m?P)?n?pm?n?pmn

?n?m体称为非牛顿流体。

广义牛顿内摩擦定律：偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。 遵从或近似遵从广义牛顿内摩擦定律的一类流体称为广义牛顿流体。

20. 粘性流动和理想流动的壁面边界条件有何不同？

[答]：粘性流动壁面边界条件Ｖｎ＝０，Ｖτ≠０ 理想流动壁面边界条件Ｖｎ＝０，Ｖτ＝０

21. 在理想有势的流动假设条件下，绕流物体产生的升力主要受那些因素的影响，有何规律？

[答]：教材P141

影响升力的主要因素：环量Γ,来流速度V∞，密度ρ。Ry=ρV∞Γ

升力的大小准确地与环量Γ成正比，与来流速度V∞及密度ρ成正比，其方向为在来流速度方向上按逆环量方向旋转900。

22．什么是层流运动、湍流运动、雷诺数和临界雷诺数？

[答]：层流流动是平稳有规律的流动状态，流体介质各部分之间分层流动，互不掺混，流体内部的微团具有连续而平滑的迹线，流场中各种有关物理量（参数）的变化较为缓慢，表现出明显的连续性和平稳性。

湍流流动是极不规则的流动形态，流体介质各部分之间，各层之间有着剧烈的掺混，其流体内部微团的运动迹线很不规则，杂乱无章，表征流体运动状态的各种物理量也表现出不同程度的跃变和随机性。

雷诺数：流体运动中，惯性力与粘性力的无量纲比值 Re?下临界雷诺数：从湍流状态到层流状态的转折点； 上临界雷诺数：从层流状态到湍流状态的转折点。

vd???vd ?23．圆管中定常不可压层流和湍流运动的速度分布规律是什么？

[答]：层流：u?p0?pl2(R?r2) （1） 定常流动的速度沿径向的分布规律，由式4?l（1）可以看出，流动截面上的速度分布是一抛物回转面。 湍流：光滑圆管中的速度分布：

yUu?5.756lg(*)?5.394 U*? 粗糙圆管中的速度分布与光滑圆管中的速度分布相同，只是改变方程的常数。

24. 流动相似的条件是什么？简述?定理的内容。

答：教材P178-179

如果2个不稳定流动系统的均时性准数Ho相等，则其速度场随时间的变化率是相似的。

Ho?utt??不变量 llu如果2个不稳定流动系统的傅鲁德准数Fr相等，则对应的流体质点的压力势能和动能相似，相应的重力和惯性力也存在相似关系。Fr?gl?gl??不变量 u2?u2如果2个流动系统的欧拉维数Eu相等，则相应的压力场相似，相应的惯性力场也存在相似关系。Eu?p?不变量 2?u如果2个流动系统的雷诺维数Re相等，则相应的速度场（或速度分布）是相似的。

Re??ulul??不变量 ???定理：描述其物理过程的各物理量之间的关系可表示为相应的相似准数

?1，?2，?，?n之间的函数关系：S??1，?2，?，?n??0。此关系式称为准则关系式或准

则方程式。

25. 流体的阻力可分为哪几种？管路中因阻力引起的损失通常分为哪几种？影响管路损失系数的主要因素有哪些？

答：粘性时产生阻力的根本原因，依据阻力产生的不同机理，可分为：摩擦阻力和压差阻力。管路中的阻力通常分为：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。

影响管路损失系数的主要因素有流体的粘度、流速、管道的内径以及管壁粗糙度等。

26. 怎样判断流动是否有旋，涡度与速度环量有何关系，流动是否有旋与流体质点的运动轨迹有关吗？

答：（1）看流体微团的旋转角速度是否等于零，旋转角速度不等于零的流动为有旋流动，旋转角速度等于零的流动为无旋流动。

（2）涡通量又称涡旋强度，由斯托克斯定理，在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲面的涡通量。

（3）有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否旋转来确定，与它的运动轨迹无关。

27．试说明粘性流体流动的三个基本特征，它们与理想流体运动相比有何不同？

答：教材P170-174

三个特征：（1）粘性运动的有旋性：粘性流体运动时，有旋是绝对的，粘性流体的无旋运动是不存在的。

（2）运动过程中有能量的损耗性：在粘性流动中永远伴随着机械能的损耗。这部分能量转换成热能形式传递给流体介质及相邻的固壁，使其温度升高而耗散。

（3）粘性涡旋运动的扩散性：在粘性流体中，涡旋强的地方要向涡旋弱的地方传送涡量，直至涡量相等为止。

与理想流体运动不同点：（1）粘性流体运动时，有旋是绝对的，几乎不存在粘性流体的无旋运动。而对于理想流体，当体力有势、流体正压时，理想流体的运动将遵从涡旋保持定律，即如果有旋将永远有旋，涡管保持为涡管，涡线保持为涡线。理想流体的运动如果无旋则将永远无旋。

（2）在粘性流动中，永远伴随着机械能的损耗。而理想流体运动时，则没有机械能的损耗。 （3）对于理想正压流体，当外力有势时，沿任意一封闭物质线上的速度环量以及过任意物质面上的涡通量在运动过程中保持不变；而在粘性流动中，涡旋强的地方要向涡旋弱的地方传送涡量，直至涡量相等为止。

28. 螺旋流、偶极子流和绕圆柱体有环流动分别是由哪些基本势流叠加而成？

答：螺旋流是由汇流和势涡叠加而成的；偶极子流是由源流和汇流叠加而成的；绕圆柱体有环流动是有均匀等速流、偶极子流和纯环流叠加而成的。

29. 试说明层流边界层和湍流边界层的速度分布特征。

答：层流边界层：层流边界层内的速度分布呈线性分布规律；

湍流边界层：分为层流底层和湍流核心区。层流底层内的速度分布呈线性分布，湍流核心区速度分布呈对数分布规律。

30. 试述平板湍流边界层的结构及其速度分布特征。

答：平板湍流边界层分为粘性底层和湍流核心区。 粘性底层内的速度分布是呈线性分布的， 湍流核心区的速度分布是呈对数分布规律。

31.边界层理论的基本思想是什么？平板不可呀定常层流边界层的厚度主要受哪些因素的影响？

大雷诺数流动可分成2个区域：一个是壁面附近很薄的流体层区域称为边界层；边界层内流体粘性作用即为重要不可忽略；另一个是边界层以外的区域，称为外流区，该区域内的流动可看成是理想流体的流动。

影响因素：将流体速度从u=0到u=0.99uo的流体层厚度为边界层厚度。

??crx，r流体运动粘度，uo来流速度，沿流动方向x板长。 uo32边界层分离的概念和原因是什么？分离点处的流动特征是什么？

当流体绕弯曲壁面流动时，边界层内伴随产生的压差会使边界层从某一位置开始脱离物体表面，在壁面附近出现回流，这种现象叫做边界层分离现象或脱离现象。 原因：1.流体具有粘性 2.在物面上的压力分不存在逆压区 在分离点处物面外流体质点速度为0，

?u?0 ?y33.以圆柱绕流为例，简述卡门涡街现象，并对涡街引发圆柱振动作简要说明。

up中等雷诺数下的绕流Re=o

v 当80~90

34.简述卡门涡街流量计测量流量的基本原理。

35.简述湍流的特点，湍流模型的概念和主要分类。

湍流特点：湍流是一种不规则的运动，当流体绕过固体表面或当相邻的同类流体互相流过或绕过时，一般会在流体中出现这种不规则的运动。湍流有旋性，使得各流层的流体发生强烈的混掺。扩散性，耗散性。 湍流模型的概念：把湍流分解为平均运动与脉动运动，湍流的物理量可以表示时均值与脉动值之和。

?稳态湍流：时均速度u稳定的湍流。 ?非稳态湍流：时均速度u随时间变化的湍流。

壁湍流：固壁附近的湍流运动。

自由湍流：不同速度流层间的湍流运动。

36.什么是壁面函数？引入避免函数的意义何在？

壁面函数是处理近壁区湍流的一种工程方法。常用的一种壁面函数是以混合长度模型为基础的,求出壁面应力后采用雷诺比拟求壁面热流。

壁面函数的基本思想是：对于湍流核心区的流动使用k??模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量值。

主要目的是简化田间，方便处理此现象的问题

壁面函数的引入,为工程上准确预测飞行器在湍流流动中表面受力与气动热提供了保障。

37.粘性流动的动能方程

D?V2??dt??2?????f?V???T?V???pV?p??V?T:??????中右边5项的物理意义依次为？

答：左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率； 右边第一项是单位时间内彻体力对单位质量所做的功；

第二项是单位时间内粘性力对运动着单位质量流体所输运的机械能； 第三项是单位时间内压力对单位质量的流体所做的功，即流动功； 第四项是单位时间的膨胀功；

第五项是单位时间内粘性力所做的变形功。

38.在流场中出现扰动时，亚超音速气流和超音速气流的流动状态有何本质上的区别？

答：如果在流场中，某处出现一个压力扰动，使该处的流体压强高于周围流体的压强，则这个扰动就以页面的形式在可压缩流体中传播开来，微弱压力扰动波可在压缩流体中的传播速度称为声速，记作C，某处的气流速度U与该处的声速C的比值，U/C称为马赫数，记作 Ma。 当Ma<1时的气流称为亚声速气流，此时速度随断面的增大而减慢，随断面的减小而加快； 当Ma>1时的气流称为超声速气流，此时速度随断面的增大而加快，随断面的减小而减慢； 当U

当U>C时，微弱压力扰动只能传播到马赫锥面的内侧，此扰动不能传播到扰动源上游，也不能传播到马赫锥的外部。

39.什么是压气机的喘振现象，喘振和旋转失速有何关系？

答：压气机喘振是指气流沿压气机轴线方向发生的低频率、高振幅的气流振荡现象。 通道中逆压梯度下叶片吸力面发生失速,特别是叶片尖部的失速是导致压气机喘振的主要因素;

40.什么是激波，激波在什么条件下才会出现，激波通常分为哪三种？

答：激波---气体、液体和固体介质中应力(或压强)、密度和温度在波阵面上发生突跃变化的压缩波，又称冲击波。

条件：激波发生在超声速气流的压缩过程中。

正激波---波面与波的运动方向或气流方向垂直的激波称为正激波； 斜激波---面与波的运动方向或气流方向倾斜的激波称为斜激波； 离体激波---那种不依附于物体的激波称为离体激波，或者脱体激波。

二、推到及证明

1.根据质量守恒定律推导连续方程。

证明：

在体元素??中，若流体介质的密度为?，那么其质量就为?m=?分?中的质量m为m=???。

??，于是有限体积

??根据质量守恒定律的物理含义：体积分?中的质量m在其运动过程中保持不变，即：

dmd?(???)?0 dtdt??又因为

dd?d??(????)??(????)【注：就是将积分号与微分号互换】 dt?dtdt???d??且???V?? 【注：记住就可以了】代入上式得：

dt????d???(????V)???0或者写成?(????V)???0 ?dt???t所以当被积函数为零可直接得到微分形式的连续性方程：

????d???????V?0或???(?V)?0 dt?t2.根据动量定律推导出微分形式的动量方程

证明：

?? 封闭曲面S所围成的体积?中流体的动量积分为：??V??

????? 该物质体?上所受的外力为质量力和面力：??F?????pn?S(??n?P?S)

?SS? 由动量定理可得：某物质体的动量变化等于该物体所受外力之和。 所以：

?????????d(??V??)???F????pn?S???F???(?n?P?S) ??dt??S?S对左边进行处理

??????????????d?dVddd??)?????V(??V)?? (??V??)??(?V)?????V????(Vdtdtdt?dt???dt?????d???dV???????V(????V)??

dtdt????d? 因为????V=0，所以上式第二项为0.所以：

dt???????????ddV(?V??)?????=??F????pn?S???F???(?n?P?S) ??dt?dt???S?S????? 再由奥高公式【面积分转为体积分】：??n?P?S????P??

S???????dV?????F??????P?? 所以??dt???

微分形式的动量方程为

??????dV???F???P dt3.试推导理想流体平面二维运动的欧拉微分方程。

?p dy?p?y ?pdx?p dy p ?x dx p

x方向的合力：(y方向的合力：(?pdx?p)dy?pdy ?x?pdy?p)dx?pdx ?y质 量 力：fx?dxdy和fy?dxdy

?pdudxdy+fx?dxdy=?dxdy ?xdt?pdu即 ： ?fx????xdt由牛顿第二定律：x方向 同理y方向：

?pdv ?fy????ydt????1dVf??p?

?dt

pV2z???C(?)?g2g4.从N-S方程出发，试推导Bernouli公式，其中?表示流线。

证明：由N-S方程：

????1??dV??1?F??p?2?[??S??(??V)]【背吧】 dt?3???????????dV?V?VV2?????V??V=??()???V【背吧】 又因为dt?t?t2所以

????1??1????VV2???F??p?2?[??S??(??V)]???()???V

?3?t2在理想流体下，?=0，上式变为：

????1??VV2???F??p???()???V

??t2?????V1上式如果满足：外部质量力有势：流体正压：定常流动：?0； F???G；????p；

?t?则可继续化为：

?V2????(??G?)???V?0

2????设s为流场的某条流线，es为该流线的切向单位矢量。以es对方程两边做数量积，

???V2?????es??(??G?)?es?(??V)?0

2??????????因为es//V，所以es?(??V)=0。

V2所以??G?=C(?)

2在重力作用下，G=gz，不可压缩流体?=常数，Bernouli积分变为：

pV2z???C(?)

?g2g5.试利用N-S方程证明不可压平面层流的流函数?（x,y）满足：

?2????2????2???22??????(??) 其中：?t?y?x?x?y???2??2?4?4?4?4?222?4 ?x?xy?y[证明]：粘性不可压缩流体涡旋运动方程：

?d??d??(???)V???? ???? dtdt???????u?v???? ?t?x?y考虑流函数 u????? v?? ?y?x?v?u????2? ?x?y旋度计算式 ????????????????u?v???2??(??2?)?(??2?)???(??2?) ?t?x?y?t?y?x?x?y两边取负号

?2????2????2???22??????(??) ?t?y?x?x?y?6.进行圆管中流体摩擦试验时，发现圆管中沿轴向的压降?p是流速u、密度?、

?h的函数，而且?p与l成正比。dl12试用因次分析方法证明?p???u，其中????k,Re?为无因次系数。

d2粘性系数?、管长l、管内径d及管壁粗糙度k?[证明]：由题意可假设存在关系 ?p??(k,Re) ld?u （1）

1???[M]?M????[?]?[d]?[L]相应各量的量纲（因次）为：??p?? ?L3? [L][T]2???L?[u]???

?T????式（1）对应量纲的协调条件为：[M][L][T]?[M][L]于是，对于M量纲，有： ??1

T量纲，有： ????2 ??2 L 量纲，有： 1???3?????1

1-1-2β1?α?3β?γ[T]?γ

???1

l12?u d2将：???1 ??1 ??2 带入（1）式，得：?p??此题得证。

7.从不可压流动的N-S方程出发，推导出平板定常不可压二维层流的Prantl边界层方程

N-S方程：

?u?v??0?x?y?u?u?u1?p?u?u?u?v????(2?2)?t?x?y??x?x?y22

?v?v?v1?p?2v?2v?u?v????(2?2) ?t?x?y??y?x?y根据边界层流动特点，对方程各项数量级的大小进行详细分析，可化简N-S方程

选择来流速度u0 作为速度比较基准，x可作为长度比较基准，并取u0 和x的数量级为1，用符号o(1)表示，因为δ/x＜＜1所以δ的数量级o(δ) ＜＜o(1)

定义u0～o(1)，x～o(1);因为0＜y＜δ，0＜u＜u0 所以y和u的数量级为：y～o(δ)，u～o(1) 由此可得u各阶导数的数量级为

?u?2u?u11?2u～o(1) ～o(1) ～o() ～o() 222?y?x?x??y?由连续方程

?v?u??～o(1)而y～o(δ)所以v～o(δ) ?y?x所以v各阶导数的数量级

?2v?v?2v?v1～o(1) ～o() ～o(δ) ～o(δ) 22?y?x?y?x?将其代入x方向动量方程o(1)+ o(1) o(1)+ o(δ) o(

1?p11)=-+?[o(1)?+ o(2)] ??x??因为边界层粘性作用强，粘性项?[o(而且与方程左边比较可知?[o(

1?2)]不能忽略

1?2)]的数量级为o(1)因为o(

1?2)﹥﹥o(1)

意味着运动粘度数量级为?～o(δ2) 再代入y向动量方程 o(δ)+ o(1) o(δ)+ o(δ) o(1)= -

1?p1+ o(δ2)[ o(δ)+ o()] ??y??p=0 ?y该方程中各项的数量级都小于或等于o(δ)，所以

意味着1.相对于各项数量级均为o(1)的x轴方向运动方程而言，y方向运动方程并不重要

2.因为

?p?pdp=0，所以= ?y?xdx 3.既然边界层内p与y无关，因而p可取为边界层处边界处的压力，再由外边界处的

duu20dp伯努利方程??gy?const 可得??u00

?2dxdxp?u?v??0?x?yudu?u?u?u?v?u00???x?ydx?y22所以普朗特边界层方程

边界条件：y=0，u=0，v=0 y=∞,u=u0

三、计算题

????1.已知??xy?yz，求在点M（2，-1，1）处沿向量l?2i?2j?k方向的方导数。

23方向导数：cos???x2?z2?z1?；cos???；cos???? ?s3?s3?s3????22211?????cos??cos??cos?= y?(2xy?z3)?(3yz2)???y?z3333?s?x =

22211y?(2xy?z3)?(3yz3)?? 33332y2x;u?yx2?y2x2?y2。求（1）当地加速度的表

ux?4t?2.设流场的速度分布为：

达式；（2）t=0时在点（1，1）处流体质点的加速度。

???u?u?uy?x??4i （1）局部加速度： a=?t?t?t（2）质点的加速度：

????????du?u?u?x?u?y?u?u?ua??????ux?uydt?t?x?t?y?t?t?x?y4xy2x(?2y)?4i?ux2?u y(x?y2)2(x2?y2)2?3i?j

3.在柱坐标系下，vr?cos?sin?，，vz?0，求流线族。 v??22rrdrrd?dz ??vrv?vz[解]：柱坐标系下的流线方程为：

所以，

drrd? ?cos?sin?r2r2drrd?drcos?d?， 因此，有： ??cos?sin?rsin?drdsin?即： ?rsin?即，

所以，有：lnr?lnsin??C 即，lnr?lnsin??C lnrr?C ?C1 sin?sin??r?sin??C1所以，流线族为：?

?z?C2?

4.在直角坐标系下，u?x?t,v?y?t,w?0,求流线族和迹线族。

解:由速度场知其是二维流场，那么二维流线方程为：

dxdy ?uv即：

dxdy ?x?ty?t这里将t视为常数，于是有：ln(x?t)?ln(y?t)?c

即：ln(x?t)x?t?c 亦即：?c1

(y?t)y?t?x?t?y?t?c1?于是流线族方程为：?

?z?c2???dx?x?cet?t?1?dt?u?x?t?(t)1???dy由二维的迹线方程得：??v?y?t 解得迹线族方程为：?y(t)?c2et?t?1

??dtz(t)?c3dz???w?0??dt?

5.如图所示，一充满水的圆柱形容器，直径d=1.2m，绕垂直轴等角速旋转，在r顶盖0=0.43m处安装一开口测压管，管中水位h=0.5m.。问此时容器的转速为多

少时，顶盖上所受静水总压力为零。

Pa

z r0 ?h o 解：

d

6.有一个二维流动，假定流体是不可压缩流体，其速度分量为

ux??xy ;u??y2222x?yx?y试问：1）流动是否满足连续性方程；2）流动是否无旋？

[解]：

1）由题意得：

?uy?uxy2?x2x2?y2， ??2??22222?x(x?y)?y(x?y)?ux?uy将上述结果带入二维不可压流动的连续性方程??0，得到：

?x?y?ux?uyy2?x2x2?y2-2= 0 ??-22222?x?y(x?y)(x?y)

故该流动满足连续性方程。

2）由题意得：

该流体流动的旋度为：

???u?uy??uy?ux??ux?uz?xrotu?0rotu?(?)ex?(?)ey?(?)ez

?y?z?z?x?x?y?uxy2?x2??2由题意知：该流体流动为二维流动，故Z方向上分量为0，将，?x(x?y2)2?uy?x2?y2??2带入上式，得：rotu?0， 22?y(x?y)故该流体流动为无旋。

1??7.试分析复位势W?z??mln?z??的基本流动；

z??[解]：

?z2?1?1???(z?1)(z?1)??W?z??mln?z???mln??mln???mln(z?1)?mln(z?1)?mlnz??z?z????z?当 m 为正实数时， 复位势描述的流动由两个强度均为 m ，位置分别在（-1，0）和（1，0）的点源及一个强度为 m ，位置在（0，0）的点汇组成。

8.已知流体通过漏斗时旋转的速度分布可用柱坐标表示为：（a为漏斗半径）

1?当 0?r?a: v?0 v?? r vz?0r??2 ? 21a? 当 r?a : vr?0 v??? vz?02r?求：涡量??rot V，说明在什么区域是有旋的，什么区域是无旋的？（?是常数）

???er?1? rot V?r?rvr?re????rv??ez? ?zvz[解]：计算涡量 柱坐标

?er?1???r?rur?re????ru??ez??zuz???1??r????????1?r?????er??r0?er??r0?re?????r22?re?????a22?ez???ez?r (0?r?a)?z0

?ez??0 (r?a)?z0

9.带有自由面的粘性不可压缩流体在倾斜平板上由于重力的作用而发生运动。 设：平板无限大，与水平面的倾角为?，流体的深度为 h，作定常层流运动。求：速度分布、平均流速及作用在平板上的摩擦力。

[解]：不可压缩，定常

h ?????ux??x?0?2uxsin?g? ??u2?y??uxx??gsin??v?ux??xsin?g2ux?y?Ay?B y?0 ux?0 B?0

2?2?U?sin?gh2 y?h ux?U A?

2?hux?sin?gUy(y?h)?y 2?h平均流速

sin?guy(y?h)?y)dycos???2vhux平均=Q/(h/cos?)=0?0h/cos?h?sin?gh3uh?(2?3cos?)??12vcos3??cos?22cos???? hsin?gh2u?(2?3cos?)?12vcos2?2cos?udy(作用在平板上的摩擦力

h/cos?h/cos?

10．如图所示的管流是定常不可压缩流动，它的进口断面是1和2，出口断面是3，各断面参数如图所示，流体密度为?，求管子对流体的总的作用力。（忽略质量力）。

y A2,V2,P2?x A1,V1,P1

A3,V3,P3

11.题

由题意知流体全部打在平板上，所以，流体的速度均垂直于平板，设为流体面积为

2v，打在平板上的

1A,来流面积为A

10Q?v?d/4

u?iv?m2xm2x得 v=0 u?2?x2?h22?x2?h2

应用伯努利方程，有

221211mx2p0?p??u得p?p0??u?p0??2222??x2?h2?2上式说明在平板上表面原点处压强为滞止压强，与无穷远处未受扰动压强相等，离开原点向

平板左右两侧移动，由于有速度存在，压强减小。 （3）求平板的总压力，

1m2x2F??[p0??2]dx

??2?x2?h22???1m2 =?22?=

??x???x22?h22?dx

?m24?h

18.有一半径为a=2m的圆柱体被速度为??=5m/s的均匀流绕过。如果发现绕过圆柱体时只在圆柱表面上有一驻点（0，-2m）。试问绕过圆柱时是否有环量存在？若有，试求此环量。

解：

由题意可以画出上图，

圆周上驻点位置

? ??32

得

由公式：sin? ??Γ4?RV?Γ ??4?RV?sin?=125.6m2/s

19.给定流场速度为vx??cycx,,z=0.式中c为常数，作一个围绕轴v?y2222x?yx?y的任意封闭曲线。试用斯托克斯定理求封闭围线的速度环量，并说明此环量与所

取封闭围线的形状无关。

解：斯托克斯定理 ??v?dL?L? ????ndAA? ????v?2w

1??w?v????wx????0 2??y?z?? wy?1??u?w?????0 2??z?x?1??v?u??????0 2??x?y??wz?

因为流动为无旋流动，所以与形状无关

20设有一定常流动为 u ? y ? 2 z

求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面

v?x?2zw?x?y上的合力。（设流体介质的动力粘性系数为μ ，压力函数为 p）

解：

速度梯度张量

应力张量 P

变形速度张量

x2?y2?z2?1??p2?3?????2??p3??1???p?ij??ij??p?ij?2?(sij?skk?ij)??3?3?3??p?????u???x??uj??u?V????xi?y??u????z?v?x?v?y?v?z?w???x??w??y???w???z??011?????101????220???S???u??x??1?u?v?(?)?2?y?x?1(?u??w)?2?z?x?1?v?u(?)2?x?y?v?y1?v?w(?)2?z?y1?w?u??0(?)??2?x?z??1?w?v???1(?)??2?y?z??3?w??2???z?10323??2?3?2??0?? ?02?3????偏应力张量

?2?03?? ?ijijkkij??

?3?3?0? ??

球面上的合力

Sr

rxy ??p2?3?? P?pij??2??p3???? 3?3??p?? ?2?F?Sipijs?0sinipij 0 ??2??esin??? x?0?0(-psin?cos??2?sin?sin??3?cos?)??

??2?

?ey?0sin????0(2?sin?cos?-psin?sin??3?cos?)??

??2?

?ez?0sin????0(3?sin?cos? ?3?sin?sin??pcos?)??

???2?

F?ex?0sin????0(-psin?cos??2?sin?sin??3?cos?)?? ??2??esin??? y?0?0(2?sin?cos?-psin?sin??3?cos?)????2?

?ez?0sin????0(3?sin?cos? ?3?sin?sin??pcos?)??

?????2?2?

F?ex?03?cos??0sin????ey?03?cos??0sin???

??2?

?ez?0?pcos??0sin??? ?????(3? e?3? e?pe)2? xyy?0cos? sin????0

研究生考试题

1??2?(s?s?)3F???e?P?s????e?sin?cos? e?sin?sin? e?cos? ez??i???????????

A1?Q?A0/cos???d/4cos?1102Av?Av

2v1?Vcos?2设板对流体的作用力大小为F方向沿y轴正方向，列y方向的动量方程为：F???uA1?(??v1A1)??(vcos??u)?d/4cos?2222由作用力与反作用力知流体对板的作用力大小为F方向沿y负方向12.题

由问题可知：

速度的方向处处与轴平行，即：

；

流动是平面的，即：

流动是定常的，即： 于是问题可简化为：

边界条件：

，

积分得：

应用边界条件可得；

于是本问题的解为：

（本题中假设平板左右两端压力分别为

p和p12）

13、如图，水平放置的两块平行无穷平板间有厚度为a、b，粘性系数分别为?a、

?b的不相混的不可压缩流体作平行于平板的定常的层流运动。试求：速度沿厚度方向的分布以及两层流体在界面上的切应力?ab（设沿流动方向上的压力梯度为常数，即

dp。 ???0）

dx[解]：定常、层流、水平流动控制方程：

?ux??0???x ?1?p?0???v?ux???x???ux?0???x ?1?p??ux????x???ux?0???x?? ??ux????d2ux?dux?? ? y ? A 2dy?dy?a 层流动 ua?Y ?2y?A1y?B1 2?a?2y?A2y?B2 2?baO ?a b 层流动 ub?边界条件：

b?b X ???Auay?a?b?0??1??B1uby?b?0?uay?b?0???

??A2dudu???B2?bb??aadyy?b?0dyy?b?0??uby?0?0

14、如图所示，均匀来流以速度u0流过无限薄平板，在平板上形成了层流边界层，假设边界层内任意断面上的速度分布ux与y得函数关系为三次多项式，试

计算边界层厚度δ(x)的近似解析式。（提示：该平板层流边界层积分形式的动量方程为=

,其中

为平板壁面切应力）

边界层外边界

解：设ux=a+by+cy2+dy3

边界条件：y=0, ux=0; y=δ, ux= u0

duxdyy??d2ux?0

dy2?0

y??由此，得 a=0, b=故，ux?3u0?, c=?3u0?2, d=

u0?3

3u0??y?3u0?2y2?u0?3y3-----------(*)

d?w???ux(u0?ux)dy

dx0将（*）代入上式，得：?w?故?(x)?

32ds ?u028dx28?wx 23?u015 拉格朗日变数（

x0,y,z0）给出的流体运动规律为x?0xe0?2t，

y?y(1?t)02，

?2z?z0e2t?1?t?

（1）求以欧拉变数描述的速度场： （2）问流动是否为定常： （3）求加速度。

解：（1）

ux?uy?ddddxt??2x0e?2t??2x 2y (1?t)yt?2y(1?t)?0uz?ddzt?2z0t(1?t)?3e2t?z(2t)(1?t)

?1?1u??2xi?2yj?z?2t?1?t1?t?ux?x?ux?y??k

?uz?ux?z?4x

（2）流动不是定常 （3）

ax??ux?t?ux?uy

ay?az?uy?t?uz?t?ux?ux2y?uy?x?uz?xj??uy?uy?uy?y?uz?y2?uz?uzk

?uy?z?2y(1?t)2

2

??uz?z?2z?4zt(1?t)2

因此a?4xi?

?1?t?22z?4zt(1?t)216，设流场由均匀流和点源迭加而成，速度为U的均匀流自左向右沿正x轴方向流动，源强伟Q的点源布置在原点。试确定 (1)流场中驻点的位置； (2)通过驻点的流线方程。

解：均匀流：速度场

点源：速度场

??u1x ，流函数

??u1y

QQ，流函数lnr??22??22?? QQ复合流动速度势：??ux?lnr?urcos??lnr

2?2?QQ复合流动流函数：??uy???ursin???

2?2????Q???ucos????ur?r2?r ?1??????usin???u?r??令

ur?0,u??0 在???,r?Q带入?。 2?uQ处有驻点。 2?u将???,r?故过驻点的流线方程为：

ursin??QQ?? 2?217：一无限长的平板沿y=0放置，一强度为m的点源位于平板上部，距平板距离

为h。试求：

（1） 写出平版以上区域内的复位势

（2） 利用伯努利方程求平版以上表面的压力分布

（3） 求流体对平板的总压力。设平板下部压强等于流体的滞止压强

解：（1）利用平面定理，有

?(z)???z????z??mmmmln(z?hi)?ln(z?hi)?ln(z?hi)?ln(z2h2)2?2?2?2?

在x轴上，y=0，z=x,于是

??z??mln(x2?h2) 2?复位势只有实部，实轴上ψ=0,为一条流线。 （2）复速度为

d?m=V?dz2?2zz2?h2

在平板上表面，y=0,z=x,于是沿平板表面上的表面速度分布为

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